Òåîðèÿ íà Âåðîÿòíîñòèòå
Óïðàæíåíèÿ 3
ÅÊ, ÌÐÑ
10.03.2021
1 Óñëîâíà âåðîÿòíîñò è íåçàâèñèìîñò
1.1
Óñëîâíà âåðîÿòíîñò è íåçàâèñèìîñò
Íåêà
E
å åêñïåðèìåíò ñ âåðîÿòíîñòíî ïðîñòðàíñòâî
A ∈ A
óñëîâèå B è
Âåðîÿòíîñòòà äà íàñòúïè ñúáèòèå
óñëîâíà âåðîÿòíîñò íà
A
ïðè
ñå çàïèñâà ÷ðåç
P(A|B) =
Äåôèíèöèîííîòî ðàâåíñòâî
P(A|B) =
(Ω, A, P).
Íåêà
B ∈ A,
êàòî
ïðè óñëîâèå, ÷å å íàñòúïèëî ñúáèòèå
P(A|B),
B
P(B) > 0.
ñå íàðè÷à
êàòî
P(AB)
.
P(B)
P(AB)
P(B) å íàïúëíî åñòåñòâåíî ïîðàäè ïðåäïîëîæåíèåòî,
÷å P(A|B) è P(AB) òðÿáâà äà ñà ïðîïîðöèîíàëíè ñ êîåôèöèåíò çàâèñåù ñàìî îò B , òîåñò
1
P(A|B) = c(B).P(AB), êàòî ïðè A = B íàìèðàìå c(B) = P(B)
. Òî÷íîòî îïèñàíèå å ñëåäíîòî:
óñëîâíàòà âåðîÿòíîñò P(A|B) ñå ðåàëèçèðà êàòî áåçóñëîâíà âåðîÿòíîñò P(AB) íà ñúáèòèåòî
AB âúâ âåðîÿòíîñòíî ïðîñòðàíñòâî (Ω∗ , A∗ , P∗ ), êúäåòî:
Ω∗ = B, A∗ = {CB | C ∈ A}, P∗ (CB) =
P(CB)
.
P(B)
P(A) > 0 è P(B) > 0, òî ñúãëàñíî äåôèíèöèÿòà íà óñëîâíà âåðîÿòíîñò ïîëó÷àâàìå
P(AB) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B).  îáùíîñò, àêî A1 , A2 , . . . , An ∈ A ñà òàêèâà, ÷å
P(∩n−1
k=1 Ak ) > 0, òî ïðèëàãàéêè äåôèíèöèÿòà çà óñëîâíà âåðîÿòíîñò íàìèðàìå
Aêî
P(∩nk=1 Ak ) = P(A1 A2 . . . An−1 )P(An |A1 A2 . . . An−1 )
= · · · = P(A1 )P(A2 |A1 )P(A3 |A1 A2 ) · · · P(An |A1 A2 . . . An−1 ).
Òåîðåìà 1.1.
֌
(Òåîðåìà çà óìíîæåíèå íà âåðîÿòíîñòèòå) Íåêà
A1 , A2 , . . . , An ∈ A ñà òàêèâà,
P(A1 A2 . . . An−1 ) > 0. Òîãàâà å â ñèëà ðàâåíñòâîòî
P(A1 A2 . . . An ) = P(A1 )P(A2 |A1 )P(A3 |A1 A2 ) · · · P(An |A1 A2 . . . An−1 ).
A1 , A2 , . . . , An ñå íàðè÷àò íåçàâèñèìè, àêî çà âñÿêî k ∈ {2, 3, . . . , n} e â ñèëà ðàP(Ai1 Ai2 . . . Aik ) = P(Ai1 )P(Ai2 ) . . . P(Aik ).  ÷àñòíîñò ïðè n = 2 ñúáèòèÿòà A
è B ñà íåçàâèñèìè, àêî P(AB) = P(A)P(B).  òîçè ñëó÷àé, ïðè P(B) > 0 ïîëó÷àâàìå
P(A)P(B)
P(A|B) = P(AB)
= P(A).
P(B) =
P(B)
Ñúáèòèÿòà
âåíñòâîòî:
1
P(A|B) = P(A) èçðàçÿâà âðúçêàòà ìåæäó ïîíÿòèÿòà óñëîâíà
âåðîÿòíîñò è íåçàâèñèìîñò. Àêî P(B) > 0, òî ñúáèòèÿòà A è B ñà íåçàâèñèìè, òîãàâà è
ñàìî òîãàâà, êîãàòî å â ñèëà P(A|B) = P(A). Àêî P(B) = 0, òî A è B ñà íåçàâèñèìè.
Çàáåëåæêà 1.2.
Ðàâåíñòâîòî
Çàáåëåæêà 1.3. Aêî A è B ñà íåñúâìåñòèìè ñúáèòèÿ ñ ïîëîæèòåëíà âåðîÿòíîñò, òîåñò
AB = ∅ è P(A) > 0, P(B) > 0, òî òå ñà çàâèñèìè, ïîðàäè P(AB) = P(∅) = 0 6= P(A)P(B).
Çàáåëåæêà 1.4.
Àêî
A è B ñà íåçàâèñèìè ñúáèòèÿ, òî:
à)
AèB
b) A è B
ñúùî ñà íåçàâèñèìè. Òâúðäåíèåòî íà çàäà÷àòà ñå îáîáùàâà ïî èíäóêöèÿ çà
1.2
n ≥ 3 ñúáèòèÿ.
Óñëîâèÿ íà çàäà÷èòå îò óïðàæíåíèå 3
2
3 , àêî óëó÷è òîé ïîëó÷àâà ïðàâî íà âòîðè
1
èçñòðåë. Âåðîÿòíîñòòà çà óëó÷âàíå è íà äâåòå ìèøåíè å . Êàêâà å âåðîÿòíîñòòà çà óëó÷âàíå
2
Çàäà÷à 1 Âåðîÿòíîñòòà ñòðåëåö äà óëó÷è ìèøåíà å
íà âòîðàòà ìèøåíà, àêî ñòðåëåöúò å ïîëó÷èë ïðàâî äà ñòðåëÿ âòîðè ïúò?
Çàäà÷à 2 Çàñòðàõîâàòåëíà êîìïàíèÿ âîäè ñòàòèñòèêà çà ñâîèòå êëèåíòè:
- âñè÷êè êëèåíòè ïîñåùàâàò ïîíå âåäíúæ ãîäèøíî ëåêàð;
- 60% ïîñåùàâàò ïîâå÷å îò âåäíúæ ãîäèøíî ëåêàð;
- 17% ïîñåùàâàò õèðóðã;
- 15% îò òåçè, êîèòî ïîñåùàâàò ïîâå÷å îò âåäíúæ ãîäèøíî ëåêàð, ïîñåùàâàò õèðóðã. Êàêâà å
âåðîÿòíîñòòà ñëó÷àéíî èçáðàí êëèåíò, êîéòî ïîñåùàâà ñàìî âåäíúæ ãîäèøíî ëåêàð, äà íå å
áèë ïðè õèðóðã?
Çàäà÷à 3 Äà ñå îïðåäåëè âåðîÿòíîñòòà, ñëó÷àéíî èçáðàíî åñòåñòâåíî ÷èñëî, äà íå ñå äåëè:
à) íèòî íà äâå, íèòî íà òðè;
b)íà äâå èëè íà òðè.
Çàäà÷à 4 Õâúðëÿò ñå äâà çàðà. Êàêâà å âåðîÿòíîñòòà ñóìàòà îò ïàäíàëèòå ñå ÷èñëà äà å ïî-
ìàëêà îò 8, àêî ñå çíàå, ÷å òÿ å íå÷åòíà? Íåçàâèñèìè ëè ñà äâåòå ñúáèòèÿ?
Çàäà÷à 5 Îêîëî ìàñà ñÿäàò 10 ìúæå è 10 æåíè. Êàêâà å âåðîÿòíîñòòà ëèöà îò åäíàêúâ ïîë äà
íå ñåäÿò åäíî äî äðóãî?
Çàäà÷à 6 Êàêúâ å íàé-ìàëêèÿò áðîé õîðà, êîèòî òðÿáâà äà ñå èçáåðàò ïî ñëó÷àåí íà÷èí, òàêà
÷å âåðîÿòíîñòòà ðîæäåííèòå äíè íà ïîíå äâàìà îò òÿõ äà ñúâïàäàò äà å ïî-ãîëÿìà îò
1/2.
Çàäà÷à 7 Äâàìà èãðà÷è ïîñëåäîâàòåëíî õâúðëÿò ìîíåòà, èãðàòà ïå÷åëè òîçè, êîéòî ïúðâè
õâúðëè ãåðá. Äà ñå íàìåðè âåðîÿòíîñòòà çà ñïå÷åëâàíå íà èãðàòà çà âñåêè îò äâàìàòà èãðà÷è.
Çàäà÷à 8 À ïîëó÷àâà èíôîðìàöèÿ (0 èëè 1) è ÿ ïðåäàâà íà Á, òîé ÿ ïðåäàâà íà Â, òîé ïúê íà
Ã. à ñúîáùàâà ïîëó÷åíàòà èíôîðìàöèÿ. Èçâåñòíî å, ÷å âñåêè îò òÿõ êàçâà èñòèíà ñàìî â åäèí
îò òðè ñëó÷àÿ. Àêî èçëúæàò òî÷íî äâàìà, îòíîâî ñå ïîëó÷àâà èñòèíà. Êàêâà å âåðîÿòíîñòòà
À äà íå å èçëúãàë, àêî å èçâåñòíî, ÷å à å ñúîáùèë "èñòèíàòà"(òîåñò îòãîâîðúò íà à ñúâïàäà ñ
2
èíôîðìàöèÿòà, êîÿòî À ïîëó÷àâà)?
n ïèñìà, ñëîæèëà ãè â ïëèêîâå è ãè çàïå÷àòàëà. Çàáðàâèëà êîå
ïèñìî â êîé ïëèê å, íî âúïðåêè òîâà íàïèñàëà îòãîðå n ðàçëè÷íè àäðåñà è èçïðàòèëà ïèñìàòà.
Çàäà÷à 9 Ñåêðåòàðêà íàïèñàëà
Äà ñå ïðåäåëè âåðîÿòíîñòòà íèòî åäíî ëèöå äà íå ïîëó÷è ñâîåòî ïèñìî.
Çàäà÷à 10 Íåêà
S = {f : N −→ N | f − áèåêöèÿ}
å ìíîæåñòâîòî íà âñè÷êè áèåêöèè
Äà ñå îïðåäåëè âåðîÿòíîñòòà ïðè ñëó÷àåí èçáîð íà åëåìåíò îò
S,
N −→ N.
òîé äà íÿìà íåïîäâèæíà
òî÷êà.
Çàäà÷à 11 Êàêâà å âåðîÿòíîñòòà äà ñå ïîëó÷è íåñúêðàòèìà äðîá, àêî ÷èñëèòåëÿò è çíàìå-
íàòåëÿò ñà ÷èñëà, êîèòî ñå èçáèðàò îò ðåäèöàòà íà åñòåñòâåíèòå ÷èñëà ïî ñëó÷àåí íà÷èí è
íåçàâèñèìî åäíî îò äðóãî.
1.3
Ðåøåíèÿ íà çàäà÷èòå îò óïðàæíåíèå 3
Çàäà÷à 1 Ð-å: Íåêà
è
P(A1 ∩ A2 ) =
Ai
ñà ñúáèòèÿòà - ñòðåëåöúò óëó÷âà
1
2 , îòêúäåòî
Çàäà÷à 2 Ð-å: Íåêà
A, B
P(A2 |A1 ) =
è
C
P (A1 ∩A2 )
P (A2 )
=
1
2
2
3
i−òàòà ìèøåíà. Ïî óñëîâèå P(A1 ) =
=
2
3
3
4.
ñà ñúîòâåòíî ñúáèòèÿòà - ñëó÷àéíî èçáðàí êëèåíò äà ïîñå-
ùàâà òî÷íî âåäíúæ, ïîâå÷å îò âåäíúæ ãîäèøíî ëåêàð è äà ïîñåùàâà õèðóðã. Ïî óñëîâèå
A = B
è
P(B) =
60
100
3
5,
=
P(A) = 1 − P(A) = 1 − P(B) =
P(A)−P(C)+P(C|B)P(B)
P(A)
=
Çàäà÷à 3 Ð-å: a) Íåêà
17
100 ,
P(C) =
2
5 è
15
3
100 = 20 . Òúðñèì P(C|A). Ïðåñìÿòàìå
P(C∩A)
P(A)−P(CA)
= P(A)−(P(C)−P(CB))
=
P(A) =
P(A)
P(A)
P(C|B) =
P(C|A) =
4
5.
A, B
è
C
ñà ñúîòâåòíî ñúáèòèÿòà - ñëó÷àéíî èçáðàíî åñòåñòâåíî
÷èñëî äà íå ñå äåëè íà 2, äà íå ñå äåëè íà 3, äà å âçàèìíî-ïðîñòî ñ 6. Òîãàâà
è òúðñèì
P(AB) = P(C).
C = AB
Çà äà ïðèëîæèì â òîçè ñëó÷àé êëàñè÷åñêà âåðîÿòíîñò å íåîá-
P(C) = limn→∞ |Dnn | , êúäåòî |Dn | å áðîÿò íà ÷èñëàòà oò
{1, 2, . . . , n}, âçàèìíî ïðîñòè ñ 6. Ïîëó÷àâàìå P(C) = P(AB) = P(A) + P(B) − P(A ∪ B) =
P(A) + P(B) − (1 − P(A ∪ B)) = P(A) + P(B) + P(A ∩ B) − 1 = 12 + 23 + 61 − 1 = 13 .
õîäèìî äà ÿ äîäåôèíèðàìå ÷ðåç
b)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(AB) =
Çàäà÷à 4 Ð-å: Íåêà
AèB
1
2
+
2
3
−
1
3
=
ñà ñúîòâåòíî ñúáèòèÿòà ïðè õâúðëÿíå íà 2 çàðà, ñóìàòà îò ïàäíàëèòå
ñå ÷èñëà å ïî-ìàëêà îò 8, ñóìàòà å íå÷åòíà. Òúðñèì
12
36
18
36
=
2
3 . Ñúáèòèÿòà
A
Çàäà÷à 5 Ð-å: Íåêà
è
A
B
5
6.
ñà çàâèñèìè, ïîíåæå
P(A|B).
P(A)P(B) =
Ïðåñìÿòàìå
7
12
×
1
2
6=
1
3
P(A|B) =
P(AB)
P(B)
=
= P(AB).
å ñúáèòèåòî - ïðè ñÿäàíå íà 10 ìúæå è 10 æåíè íà åäíà ïåéêà, äà
íÿìà ñúñåäè îò åäèí è ñúùè ïîë. Åêâèâàëåíòíà èíòåðïðåòàöèÿ íà óñëîâèåòî å äà íàìåðèì
âåðîÿòíîñòòà ïðè ñëó÷àåí èçáîð (êëàñè÷åñêà âåðîÿòíîñò) íà 20 ÷ëåííà ðåäèöà îò åëåìåíòè íà
{m, w},
âñåêè îò êîèòî ó÷àñòâà òî÷íî 10 ïúòè, äà íÿìà äâà ñúñåäíè åäíàêâè. Òîãàâà
3
P(A) =
2
|P (20;10,10)|
=
2(10!)2
20! .
Âòîðî ðåøåíèå - ÷ðåç îïðåäåëÿíå ïîçèöèèòå íà 10-òå æåíè, òå ìîãàò äà áúäàò èëè âñè÷êèòå
10 ÷åòíè ïîçèöèè èëè âñè÷êè íå÷åòíè ïîçèöèè (àêî ñìå ãè íîìåðèðàëè ïîñëåäîâàòåëíî çà
îïðåäåëåíîñò), ò.å.
2(10!)
âúçìîæíîñòè, íà âñÿêà îò êîèòî ñúîòâåòñòâàò
ðàïîëîæåíèåòî íà ìúæåòå. Òàêà
P(A) =
10!
âúçìîæíîñòè çà
2(10!)2
20! .
Íåêà ñåãà ðàçãëåäàìå ñúùàòà çàäà÷à, íî çà êðúãëà ìàñà. Ùå äîêàæåì è èçïîëçâàìå ñëåäíîòî
òâúðäåíèå:
Ëåìà 1.5.
íèÿ) íà
Áðîÿ íà ðàçëè÷íèòå íàðåæäàíèÿ (ðàçëè÷íè ñ òî÷íîñò äî ðîòàöèè, áåç îòðàæå-
n ëèöà íà êðúãëà ìàñà ñ n ïîçèöèè å (n − 1)!.
Äîêàçàòåëñòâî: Áåç îãðàíè÷åíèå, îçíà÷àâàìå
n-òå
ïîçèöèè è
n-òå
ëèöà ñ
1, 2, . . . , n
è ñúïîñ-
òàâÿìå íà âñÿêî íàðåæäàíå, ïåðìóòàöèÿ, ÷ðåç ñúîòâåòíàòà áèåêöèÿ çàäàâàùà íàðåæäàíåòî:
{1, 2, . . . , n} −→ {1, 2, . . . , n}
ïîçèöèÿ
7−→
÷îâåê.  ìíîæåñòâîòî
Sn
íà ïåðìóòàèöèèòå âú-
σ, τ ∈ Sn ñà åêâèâàëåíòíè, àêî ñúùåñòâóâà
k ∈ {0, 1, . . . , n−1} : σ(i)−τ (i) ≡ k mod n, ∀i = 1, 2, . . . , n. Åêâèâàëåíòíîñòòà íà äâå íàðåæäàâåæäàìå ñëåäíàòà ðåëàöèÿ íà åêâèâàëåíòíîñò:
íèÿ ñ òî÷íîñò äî ðîòàöèÿ å ðàâíîñèëíà íà åêâèâàëåíòíîñò íà çàäàâàùèòå ãè ïåðìóòàöèè. Âñåêè
Sn ñå ñúñòîè îò òî÷íî n ïåðìóòàöèè: êëàñúò ñ ïðåäñòàâèòåë τ ∈ Sn
τk ≡ τ + k mod n, k = 0, 1, . . . , n − 1. Òîåñò, çà âñÿêî i = 1, 2, . . . , n
äåôèíèðàìå τk (i) äà å ðàâåí íà îñòàòúêúò ïðè äåëåíèå íà τ (i) + k íà n, àêî îñòàòúêúò å ðàçëè÷åí îò íóëà, â ïðîòèâåí ñëó÷àé ïîëàãàìå τk (i) = n. Ïîëó÷àâàìå, ÷å íà âñÿêî íàðåæäàíå
ñúîòâåòñòâàò òî÷íî n ïåðìóòàöèè, è òúðñåíèÿò áðîé ðàçëè÷íè íàðåæäàíèÿ å ðàâåí íà áðîÿ íà
|Sn |
n!
êëàñîâåòå íà åêâèâàëåíòíîñò â Sn . Ñëåäîâàòåëíî òúðñåíèÿò áðîé å
n = n = (n − 1)!.
êëàñ íà åêâèâàëåíòíîñò â
ñå ñúñòîè îò åëåìåíòèòå
Ëåìà 1.6.
íà
Áðîÿ íà ðàçëè÷íèòå íàðåæäàíèÿ (ðàçëè÷íè ñ òî÷íîñò äî ðîòàöèè è îòðàæåíèÿ)
n ëèöà íà êðúãëà ìàñà ñ n ≥ 3 ïîçèöèè å
(n−1)!
2 .
Äîêàçàòåëñòâî: Ðàçñúæäåíèÿòà ñà àíàëîãè÷íè íà äîêàçàòåëñòâîòî íà ïðåäõîäíàòà ëåìà 1.5,
çàòîâà ùå èçïîëçâàìå âúâåäåíèòå òàì îçíà÷åíèÿ.  ìíîæåñòâîòî
äàìå ñëåäíàòà ðåëàöèÿ íà åêâèâàëåíòíîñò:
σ, τ ∈ Sn
Sn
íà ïåðìóòàèöèèòå âúâåæ-
ñà åêâèâàëåíòíè, àêî å èçïúëíåíî åäíî
îò ñëåäíèòå äâå óñëîâèÿ:
k ∈ {0, 1, . . . , n − 1} : σ(i) − τ (i) ≡ k mod n, ∀i = 1, 2, . . . , n;
σ(i) + τ (i) = n + 1, ∀i = 1, 2, . . . , n
(1) ñúùåñòâóâà
(2)
Sn , ïðè n ≥ 3, ñå ñúñòîè îò òî÷íî 2n ïåðìóòàöèè: êëàñúò ñ
τ ∈ Sn ñå ñúñòîè îò ïåðìóòàöèèòå τk ≡ τ + k mod n, k = 0, 1, . . . , n − 1, êàêòî è
′
îò ïåðìóòàöèèòå τk (i) = n + 1 − τk (i), k = 0, 1, . . . , n − 1. Ïîëó÷àâàìå, ÷å íà âñÿêî íàðåæäàíå
ñúîòâåòñòâàò òî÷íî 2n ïåðìóòàöèè, è òúðñåíèÿò áðîé ðàçëè÷íè íàðåæäàíèÿ å ðàâåí íà áðîÿ
|Sn |
(n−1)!
n!
íà êëàñîâåòå íà åêâèâàëåíòíîñò â Sn . Ñëåäîâàòåëíî òúðñåíèÿò áðîé å
2n = 2n =
2 .
Âñåêè êëàñ íà åêâèâàëåíòíîñò â
ïðåäñòàâèòåë
Ðåøåíèå íà çàäà÷àòà: ôèêñèðàìå 10 ïîçèöèè, íèêîè äâå îò êîèòî íå ñà ñúñåäíè è ðàçïîëàãàìå ïî
10!
10
= 9!
10! âúçìîæíè íà÷èíà íà
9!10!. Îáùèÿ áðîé ðàçïðåäå-
íà÷èíà æåíèòå íà òåçè ïîçèöèè. Çà ìúæåòå èìàìå
ðàçïðåäåëÿíå. Îáùèÿ áðîé ðàçïðåäåëåíèÿ áåç ñúñåäíè åäíàêâè å
ëåíèÿ áåç îãðàíè÷åíèÿ å
20!
20
= 19!.
Òîãàâà
P(A) =
n ≤ 366, A(n) å ñúáèòèåòî - ïðè ñëó÷àåí èçáîð íà n ÷î1
ðîæäåííà äàòà. Òúðñèì min{n| P(A(n)) > }. Îò P(A(n)) =
2
Çàäà÷à 6 Ð-å: Íåêà çà âñÿêî åñòåñòâåíî
âåêà, äà èìà ïîíå 2-ìà ñ åäíàêâà
2(10!)2
20! .
4
Vn
365
< 12 } =
1 − P(A(n)), òî min{n| P(A(n)) > 12 } = min{n| P(A(n)) < 12 } = min{n| V (365;n)
∏
n(n−1)
k
1
1
min{n| n−1
k=1 (1− 365 ) < 2 } = min{n| exp(− 730 ) < 2 } = min{n| n(n−1)−730 ln(2) > 0} = 23.
A, B, Ai , Bi , i = 1, 2, . . . ñà ñúîòâåòíî ñúáèòèÿòà - èãðàòà å ñïå÷åëåíà
i−òîòî õâúðëÿíå íà èãðà÷ 1, 2 ñå ïàäà ëèöå. Íåêà çà âñÿêî
k, A(k) å ñúáèòèåòî - ïúðâèÿ èãðà÷ ïå÷åëè íà (2k − 1)-âè õîä. Ñëåäîâàòåëíî
Çàäà÷à 7 Ð-å: Íåêà
îò ïúðâèÿ, âòîðèÿ èãðà÷, ïðè
åñòåñòâåíî
A(k) = A1 B1 A2 B2 · · · Ak−1 Bk−1 Ak .
Ùå ñ÷èòàìå, ÷å âåðîÿòíîñòòà çà ãåðá å
1
2 , îòêúäåòî ïîëó÷àâàìå:
P(A1 ) = P(B1 |A1 ) = P(A2 |A1 B1 ) = P(B2 |A1 B1 A2 ) = · · · = P(Bk−1 |A1 B1 A2 B2 · · · Ak−1 ) =
Ñúãëàñíî òåîðåìà 1.1 çà
1
= P(Ak |A1 B1 A2 B2 · · · Ak−1 Bk−1 ) = .
2
âåðîÿòíîñòòà íà ñúáèòèåòî A(k) íàìèðàìå
P(A(k)) = P(A1 B1 A2 B2 · · · Ak−1 Bk−1 Ak )
= P(A1 )P(B1 |A1 )P(A2 |A1 B1 ) · · · P(Ak |A1 B1 A2 B2 · · · Ak−1 Bk−1 ) =
Ïîíåæå
A(k) ∩ A(l) = ∅
k 6= l (A(k)
ïðè
P(A) = lim
N →∞
è
P(∪N
k=1 A(k))
A(l)
ïðè
= lim
N →∞
k 6= l
N
∑
1
22k−1
,
ñà ðàçëè÷íè åëåìåíòàðíè èçõîäè), òî
P(A(k)) = lim
N
∑
N →∞
k=1
k=1
1
22k−1
N −1
1 − 41N
1∑ 1
2
= lim
= lim
= .
N →∞ 2
N →∞ 2(1 − 1 )
3
4k
4
k=0
Ïîíåæå
A = B,
òî
P(B) = 1 − P(B) = 1 − P(A) =
1
3.
A è B ñà ñúîòâåòíî ñúáèòèÿòà - ïúðâèÿ å êàçàë èñòèíàòà (1), ÷åòâúðòèÿò å
P(A|B). Ñúáèòèåòî A ∩ B ñå ïðåäñòàâÿ êàòî îáåäèíåíèå íà 2 íåñúâìåñòèìè
Çàäà÷à 8 Ð-å: Íåêà
êàçàë (1). Òúðñèì
ñúáèòèÿ - âñè÷êè êàâàò èñòèíàòà (ñúáèòèå C), òî÷íî äâàìà ðàçëè÷íè îò ïúðâèÿ ëúæàò (êàçâàò
P(AB) = P(C ∪ D) = P(C) + P(D) = 314 +
êàòî îáåäèíåíèå íà 3 íåñúâìåñòèìè ñúáèòèÿ -
0) (ñúáèòèå D). Ñëåäîâàòåëíî
Ñúáèòèåòî
B
ñå ïðåäñòàâÿ
(3)
2
( 13 )2 ( 32 )2 =
13
81 .
âñè÷êè êàçâàò èñòè-
íàòà (ñúáèòèå E), âñè÷êè ëúæàò (ñúáèòèå F), òî÷íî äâàìà êàçâàò èñòèíàòà (ñúáèòèå G). Òàêà
P(B) = P(E ∪F ∪G) = P(E)+P(F )+P(G) =
Çàäà÷à 9 Ð-å: Íåêà
Sn
1
34
4
+ 324 +
(4)
2
( 31 )2 ( 23 )2 =
41
81 , îòêúäåòî
P(A|B) =
13
41 .
n−åëåìåíòíî ìíîæåñòâî. Òúðñèì
Ak ⊂ Sn , k = 1, . . . , n ñe ñúñòîè îò âñè÷êè
å ìíîæåñòâîòî íà âñè÷êè áèåêöèè íà
áðîÿ íà áèåêöèèòå áåç íåïîäâèæíà òî÷êà. Íåêà
k íåïîäâèæíî.
∑Òîãàâà áðîÿ
∑ íà áèåêöèèòå áåç íåïîäâèæíà òî÷êà
|Sn − ∪nk=1 Ak | = |Sn | − | ∪nk=1 Ak | = n! − ( i |Ai | − i<j |Ai ∩ Aj | + · · · + (−1)n−1 | ∩ni=1 Ai |) =
( )
( )
( )
( )
n! n!
n n!
n!−( n1 (n−1)!− n2 (n−2)!+ n3 (n−3)!+· · ·+(−1)n−1 nn (n−n)!) = n!− n!
1! + 2! − 3! +· · ·+(−1) n! =
∑n (−1)k
n! k=2 k! . Òúðñåíàòà âåðîÿòíîñò å
k
∑
n
∑
n! nk=2 (−1)
|Sn − ∪nk=1 Ak |
(−1)k
k!
P=
=
=
.
|Sn |
n!
k!
áèåêöèè, äúðæàùè åëåìåíòà
å:
k=2
5
P(A) = P(AΩ) = P(A(B ∪ B)) = P(AB ∪ AB) = P(AB) + P(AB),
ñëåäâà P(AB) = P(A) − P(AB) = P(A) − P(A)P(B) = P(A)(1 − P(B)) = P(A)P(B). Òîãàâà
A è B ñà íåçàâèñèìè. Îò òîçè ðåçóëòàò è ñìÿíàòà A −→ A ïîëó÷àâàìå, ÷å A è B ñúùî ñà íåçàâèñèìè. Îáîáùåíèå íà òâúðäåíèåòî ñå ïîëó÷àâà ÷ðåç èíäóêöèÿ ïî áðîÿ n íà ðàçãëåæäàíèòå
Äîêàçàòåëñòâî íà 1.4 Îò
íåçàâèñèìè ñúáèòèÿ.
a, b ∈ N ñà ñëó÷àéíî èçáðàíèòå åñòåñòâåíè ÷èñëà. Äðîáòà ab å íåñúêðàòèìà,
àêî gcd(a, b) = 1. Íåêà P å ìíîæåñòâîòî íà ïðîñòèòå ÷èñëà è çà âñåêèè l, n ∈ N, äåôèíèðàìå
ñúáèòèåòî A(n, l) äà áúäå: l íå äåëè n. Çà ïðîèçâîëíî p ∈ P äåôèíèðàìå Ap = A(a, p) ∪ A(b, p)
Çàäà÷à 11 Íåêà
∩
è
A :=
p∈P
Òúðñèì
•
P(A),
Aêo
∩
Ap ; A(n) :=
p∈P; p≤n
êàòî ùå äîêàæåì è ïðèëîæèì ñëåäíèòå ðåçóëòàòè:
a, b ∈ N
ñà ðàçëè÷íè, òî
A(a, p)
è
A(b, p)
ñà íåçàâèñèìè, êàòî ñúãëàñíî çàäà÷à 3:
P(A(a, p)) = P(A(b, p)) =
• P(Ap ) = 1 −
•
Aêî
Ap .
p−1
;
p
1
;
p2
p1 , p2 , . . . , pr ∈ P
ñà ðàçëè÷íè, òî
Ap1 , Ap2 , . . . , Apr
ñà íåçàâèñèìè (â ñúâêóïíîñò)
ñúáèòèÿ.
Ùå äîêàæåì ïîñëåäíèòå äâå òâúðäåíèÿ:
P(Ap ) = 1 − P(Ap ) = 1 − P(A(a, p) ∩ A(b, p)) = 1 − P(A(a, p))P(A(b, p)) = 1 −
1
.
p2
P(Ap1 ∩ Ap2 ) = 1 − P(Ap1 ∩ Ap2 ) = 1 − P(Ap1 ∪ Ap2 )
= 1 − P(Ap1 ) − P(Ap2 ) + P(Ap1 ∩ Ap2 )
= 1 − P(Ap1 ) − P(Ap2 ) + P(Ap1 p2 )
1
1
1
=1− 2 − 2 + 2 2
p1 p2 p1 p2
)(
)
(
1
1
1− 2
= 1− 2
p1
p2
= P(Ap1 )P(Ap2 ).
Ñëåäîâàòåëíî
Ap1 , Ap2 ñà íåçàâèñèìè ïðè p1 6= p2 ∈ P. Ïî èíäóêöèÿ
Ap1 , Ap2 , . . . , Apr . Ïðåñìÿòàìå
(
)
P(A) = P lim A(n) = lim P(A(n) )
n→∞
n→∞


∩
∏
= lim P 
Ap  = lim
P(Ap )
íåçàâèñèìîñò íà
n→∞
= lim
n→∞
n→∞
p∈P; p≤n
∏
p∈P, p≤n
p∈P, p≤n
) ∏(
)
(
1
6
1
1 − 2 = 2.
1− 2 =
p
p
π
p∈P
6
ñëåäâà òâúðäåíèåòî çà
∏(
Çàáåëåæêà 1.7.
p∈P
1
1− 2
p
)−1
=
∞
∑
1
π2
=
ζ(2)
=
.
n2
6
n=1
2 Ôîðìóëà çà ïúëíàòà âåðîÿòíîñò è Ôîðìóëà íà Áåéñ
2.1
Ôîðìóëà íà Áåéñ
Íåêà
E
å åêñïåðèìåíò ñ âåðîÿòíîñòíî ïðîñòðàíñòâî
Äåôèíèöèÿ 2.1.
Ñúáèòèÿòà
(Ω, A, P), n ≥ 2
å åñòåñòâåíî ÷èñëî èëè
∞.
H1 , H2 , . . . , Hn ∈ A îáðàçóâàò ïúëíà ãðóïà îò ñúáèòèÿ â A,
àêî:
• Hi ∩ Hj = ∅, ∀i 6= j ,
• ∪ni=1 Hi = Ω.
Aêî
H1 , H2 , . . . , Hn
îáðàçóâàò ïúëíà ãðóïà îò ñúáèòèÿ, òîãàâà
A = A ∩ Ω = A ∩ (∪ni=1 Hi ) = ∪ni=1 (A ∩ Hi ).
Ïðè óñëîâèåòî
P(Hi ) > 0
P(A) =
çà âñÿêî
P(∪ni=1 (A
i ≥ 1,
ïîëó÷àâàìå ôîðìóëàòà çà ïúëíàòà âåðîÿòíîñò:
∩ Hi )) =
n
∑
P(A ∩ Hi ) =
i=1
n
∑
P(A|Hi )P(Hi ).
i=1
H1 , H2 , . . . , Hn îáðàçóâàò ïúëíà ãðóïà îò ñúáèòèÿ â A, êàòî P(Hi ) > 0
çà âñÿêî i = 1, 2 . . . , n. Òîãàâà çà âñÿêî ñúáèòèå A ∈ A å â ñèëà:
Òåîðåìà 2.2.
Íåêà
P(A) =
n
∑
P(A|Hi )P (Hi ).
i=1
Àêî ñúáèòèåòî
A ∈ A : P(A) > 0, òî âåðîÿòíîñòèòå P(Hk |A), k = 1, 2, . . . , n ñå ïðåñìÿòàò ÷ðåç
P(Hk |A) =
Òåîðåìà 2.3.
â
P(Hk A)
P(A|Hk )P(Hk )
.
= ∑n
P(A)
i=1 P(A|Hi )P(Hi )
(1)
(Ôîðìóëà íà Áåéñ) Íåêà H1 , H2 , . . . , Hn îáðàçóâàò ïúëíà ãðóïà îò ñúáèòèÿ
A, êàòî P(Hi ) > 0 çà âñÿêî i = 1, 2 . . . , n. Òîãàâà çà âñÿêî ñúáèòèå A ∈ A : P(A) > 0 å â
ñèëà:
P(A|Hk )P(Hk )
.
P(Hk |A) = ∑n
i=1 P(A|Hi )P(Hi )
7
2.2
Óñëîâèÿ íà çàäà÷èòå îò óïðàæíåíèå 4
n ∈ N è A1 , . . . , An ∈ A ñà ñúáèòèÿ îò (Ω, A, P). Äà ñå äîêàæå, ÷å
∑
∑
∑
P(Ai Aj Ak ) − · · · + (−1)n−1 P(∩ni=1 Ai ).
P(∪ni=1 Ai ) =
P(Ai ) −
P(Ai Aj ) +
Çàäà÷à 0 Íåêà
i
i<j
Çàäà÷à 1 Ñåêðåòàðêà íàïèñàëà
i<j<k
n ïèñìà, ñëîæèëà ãè â ïëèêîâå è ãè çàïå÷àòàëà. Çàáðàâèëà êîå
n ðàçëè÷íè àäðåñà è èçïðàòèëà ïèñìàòà.
ïèñìî â êîé ïëèê å, íî âúïðåêè òîâà íàïèñàëà îòãîðå
Äà ñå îïðåäåëè âåðîÿòíîñòòà:
a) âñåêè äà ïîëó÷è ñâîåòî ïèñìî;
á) òî÷íî
n−1
ëèöà äà ïîëó÷àò ñâîèòå ïèñìà;
â) íèòî åäíî ëèöå äà íå ïîëó÷è ñâîåòî ïèñìî.
Çàäà÷à 2  óðíà èìà 5 áåëè, 8 çåëåíè è 7 ÷åðâåíè òîïêè. Îò óðíàòà ïîñëåäîâàòåëíî ñå âàäÿò
òîïêè. Äà ñå îïðåäåëè âåðîÿòíîñòòà áÿëà òîïêà äà áúäå èçâàäåíà ïðåäè çåëåíà, àêî:
a) ñëåä âñÿêî èçâàæäàíå òîïêàòà ñå âðúùà îáðàòíî â óðíàòà;
á) èçâàäåíèòå òîïêè íå ñå âðúùàò îáðàòíî.
Çàäà÷à 3 Âåðîÿòíîñòòà, ÷å â ðåçóëòàò íà ÷åòèðè íåçàâèñèìè îïèòà ñúáèòèåòî À ùå íàñòúïè
ïîíå âåäíúæ å ðàâíà íà
1/2.
Äà ñå îïðåäåëè âåðîÿòíîñòòà çà íàñòúïâàíå íà À ïðè åäèí îïèò,
àêî âåðîÿòíîñòòà çà âñåêè îïèò å åäíà è ñúùà.
Çàäà÷à 4 Èçâåñòíè ñà âåðîÿòíîñòèòå íà ñúáèòèÿòà
A, B, AB . Äà ñå îïðåäåëÿò P(AB) è P(B|A).
Çàäà÷à 5 Äàäåíè ñà äâå ïàðòèäè èçäåëèÿ îò 12 è 10 áðîÿ. Âúâ âñÿêà èìà ïî åäíî äåôåêòíî. Ïî
ñëó÷àåí íà÷èí ñå èçáèðà èçäåëèå îò ïúðâàòà ïàðòèäà è ñå ïðåõâúðëÿ âúâ âòîðàòà, ñëåä êîåòî
èçáèðàìå ñëó÷àéíî èçäåëèå îò âòîðàòà ïàðòèäà. Äà ñå îïðåäåëè âåðîÿòíîñòòà òî äà å äåôåêòíî.
Çàäà÷à 6 Èìàìå òðè íîðìàëíè çàðà è åäèí, íà êîéòî âúðõó âñè÷êèòå ñòðàíè èìà øåñòèöè.
Ïî ñëó÷àåí íà÷èí èçáèðàìå åäèí îò òåçè ÷åòèðè çàðà è ãî îòäåëÿìå, à ñëåä òîâà õâúðëÿìå
îñòàíàëèòå òðè. Äà ñå îïðåäåëè âåðîÿòíîñòòà äà ñå ïàäíàò:
a) òðè øåñòèöè;
á) ðàçëè÷íè öèôðè;
Çàäà÷à 7 Äàäåíè ñà
â) ïîñëåäîâàòåëíè öèôðè.
n óðíè è âúâ âñÿêà îò òÿõ èìà ïî m áåëè è k ÷åðíè òîïêè. Îò ïúðâàòà óðíà
ñå òåãëè åäíà òîïêà è ñå ïðåõâúðëÿ âúâ âòîðàòà, ñëåä òîâà îò âòîðàòà åäíà òîïêà ñå ïðåõâúðëÿ
â òðåòàòà è ò.í. Êàêâà å âåðîÿòíîñòòà îò ïîñëåäíàòà óðíà äà áúäå èçòåãëåíà áÿëà òîïêà?
Çàäà÷à 8  êóòèÿ èìà 7 òîïêè çà òåíèñ, îò êîèòî 4 ñà íîâè. Çà ïúðâàòà èãðà ïî ñëó÷àåí íà÷èí
ñå èçáèðàò 3 òîïêè, êîèòî ñëåä èãðà ñå âðúùàò îáðàòíî â êóòèÿòà. Çà âòîðàòà èãðà ñúùî ñå
èçáèðàò 3 òîïêè, êàêâà å âåðîÿòíîñòòà òå äà ñà íîâè?
Çàäà÷à 9 Ïåòíàäåñåò èçïèòíè áèëåòà ñúäúðæàò ïî äâà âúïðîñà. Ñòóäåíò ìîæå äà îòãîâîðè íà
25 âúïðîñà. Êàêâà å âåðîÿòíîñòòà òîé äà âçåìå èçïèòà, àêî çà òîâà å íóæíî òîé äà îòãîâîðè
íà äâàòà âúïðîñà â åäèí áèëåò èëè íà åäèí îò äâàòà âúïðîñà, à ñëåä òîâà è íà ïîñî÷åí âúïðîñ
îò äðóã áèëåò?
8