Permutácia alebo poradie základného súboru n prvkov je skupina všetkých n prvkov, pri
ktorej záleží na poradí prvkov v nej (pričom toto poradie môže byť ľubovoľné). Ako
permutácia alebo premiestnenie sa označuje aj proces vytvorenia takejto skupiny.
Slovo permutovať znamená obmieňať.
Rozlišujeme premutácie s opakovaním a bez opakovania.
Permutácie bez opakovania
M je množina n rôznych prvkov, z ktoých tvoríme n - tice, pričom prvky v n - ticiach sa
nemôžu opakovať. P(n) = n!, kde n! označuje faktoriál.
Ak sa nehovorí inak, sú permutácie myslené bez opakovania.
Príklad
1. Máme skupinu troch rôznych prvkov a,b,c. Permutácie týchto prvkov predstavujú skupiny
abc, acb, bac, bca, cab, cba.
Ich počet je teda: P(3) = 3! = 6
2. Koľkými spôsobmi môžno rozsadiť troch žiakov A, B, C v lavici?
Riešenie:
Permutácie s opakovaním
M je množina n prvkov, z ktorých je k1 rovnakých 1. druhu, k2 je rovnakých 2. druhu, až kr je
rovnakých r - tého druhu, pričom platí: k1 + k2 + ... + kr = n.
Prvky vo výbere sa teda môžu opakovať. Počet permutácií s opakovaním je určený ako:
,
Príklad
1. Máme skupinu troch prvkov a,a,b. Skupina je teda zložená z dvoch skupín (teda k = 2),
pričom prvá skupina má dva prvky a, tzn. k1 = 2, a druhá skupina obsahuje jeden prvok b, tzn.
k2 = 1.
Permutáciami s opakovaním získame skupiny aab, aba, baa. Počet týchto skupín je tedy
rovný:
2. Koľkými spôsobmi možno rozsadiť 8 žiakov, z ktorých majú dvaja zelené, traja červené a
ďalší traja modré vetrovky?
Riešenie:
Modulo
Modulo (Modulárna aritmetika) je systém aritmetiky pre celé čísla, ktoré sa menia až kým
nedosiahnu určitú hodnotu, modulus. Modulárna aritmetika bola uvedená Carlom
Friedrichom Gaussom v jeho knihe Disquisitiones Arithmeticae publikovanej v roku 1801.
Príklad





A mod B = celočíselný zvyšok po delení čísla A číslom B.
7 mod 5 = 2; {7/5 = 1,4}
Vezmeme celočíselnú časť 1,4 po zaokrúhlení smerom dole (TRUNC) = 1
Vynasobime 1 x 5 = 5
7 - 5 = 2 => MOD
Ine pr.:
1 MOD
2 MOD
3 MOD
4 MOD
5 MOD
6 MOD
...
4
4
4
4
4
4
=
=
=
=
=
=
1;
2;
3;
0; //Začne modulo cyklus
1;
2;
Syntax
MOD (number,divisor)
Number.
Divisor.
Číslo, ku ktorému chcete nájsť zvyšok po delení.
Číslo, ktorým chcete deliť číslo.
Poznámky


Ak je deliteľ 0, funkcia MOD vráti chybovú hodnotu #DELENIE NULOU!.
Funkciu MOD možno vyjadriť pomocou funkcie INT:
MOD(n, d) = n - d*INT(n/d)
Príklady
Vzorec
Popis (výsledok)
=MOD(3, 2) Zvyšok po delení 3/2 (1)
=MOD(-3, 2) Zvyšok po delení -3/2. Výsledok má to isté znamienko ako deliteľ (1)
=MOD(3, -2) Zvyšok po delení 3/-2. Výsledok má to isté znamienko ako deliteľ (-1)
=MOD(-3, -2) Zvyšok po delení -3/-2. Výsledok má to isté znamienko ako deliteľ (-1)
Funkcia XOR
XOR
Logická operácia XOR(exclusive or) je binárna logická operácia. Pravdivostná hodnota je jedna práve vtedy ,
keď práve jeden z argumentov je jedna. Viď. obrázok.
Hradlo XOR je jedným zo základných kombinačných logických obvodov, ktorého výstup je
exkluzívny logický súčet vstupov („buď A, alebo B“). Výstup je log.1 vtedy a len vtedy ak
sa hodnoty vstupov líšia.
XOR je funkciou súčtu modulo 2, využíva sa preto v binárnych sčítačkách v aritmetickologických jednotkách počítačov. Polovičná sčítačka pozostáva z jedného hradla XOR (súčet)
a jedného hradla AND (prenos do vyššieho rádu).
XOR je binárna operácia - je definovaná na dvoch vstupoch. V elektronike sa ale bežne
používa pojem hradla XOR pre 3 a viac vstupov.
Najčastejšia interpretácia je taká, že prvé dva vstupy sú privedené do prvého hradla XOR.
Každý ďalší vstup je privedený spolu s výstupom predchádzajúceho hradla na vstup ďalšieho
hradla XOR. Výsledkom je obvod, ktorého výstup je log.1 vtedy a len vtedy ak je log.1 na
nepárnom počte vstupov. Takýto obvod sa využíva ako generátor parity.
Možná je aj druhá interpretácia, vychádzajúca z pojmu „exkluzívny“ logický súčet ako aj z
IEC značky hradla XOR (viď obr. vpravo). Podľa tejto interpretácie je výstup log.1 vtedy a
len vtedy, ak práve na jednom z N vstupov je log.1, čo by zodpovedalo aj „=1“ v značke IEC.
IEC značka však nebola myslená pre širšie než 2-vstupové hradlo a takéto jej rozšírenie nie je
platné. Táto interpretácia viacvstupového hradla XOR nie je v praxi častá, nakoľko sčítačky a
generátory parity sú častejšie než detektory „1 z N“.
Modulo operation
Quotient (red) and remainder (green) functions using different algorithms.
In computing, the modulo operation finds the remainder of division of one number by
another.
Given two positive numbers, a (the dividend) and n (the divisor), a modulo n (abbreviated as
a mod n) can be thought of as the remainder, on division of a by n. For instance, the
expression "7 mod 3" would evaluate to 1 because after dividing 7 by 3 (=2) the subtraction of
6 (=2*3) from 7 leaves 1, while "9 mod 3" would evaluate to 0 because the division of 9 by 3
is even, there is nothing to subtract from 9 after multiplying 3 times 3. (Notice that doing the
division with a calculator won't show you the result referred to here by this operation.) When
either a or n are negative, this naive definition breaks down and many programming
languages differ in how these values are defined. Although typically performed with a and n
both being integers, many computing systems allow other types of numeric operands. See
modular arithmetic for an older and related convention applied in number theory.

Remainder calculation for the modulo operation
Integer modulo operators in various
programming languages
Language
Operator
Result has the
same sign as
%
Dividend
mod
Divisor
rem
Dividend
ASP
Mod
Not defined
ALGOL-68
%×
Always positive
AppleScript
mod
Dividend
BASIC
Mod
Not defined
bc
%
Dividend
bash
%
Dividend
C (ISO 1990)
%
Implementation
defined
C (ISO 1999)
%
Dividend
C++
%
Implementation
defined[1]
C#
%
Dividend
CLARION
%
Dividend
Clojure
mod
Divisor
ColdFusion
%
Dividend
mod
Divisor
rem
Dividend
D
%
Dividend[2]
Eiffel
\\
Dividend
ActionScript
Ada
Common Lisp
rem
Dividend
mod
Divisor
remainder
Dividend
Mod
Divisor
mod
Dividend
modulo
Divisor
GML (Game
Maker)
mod
Dividend
Go
%
Dividend
mod
Divisor
rem
Dividend
J
|~
Divisor
Java
%
Dividend
JavaScript
%
Dividend
Just Basic
MOD
Dividend
Lua
%
Divisor
Erlang
Euphoria
FileMaker
Fortran
Haskell
Liberty Basic MOD
Dividend
MathCad
mod(x,y)
Divisor
Maple
(software)
e mod m
Dividend
Mathematica Mod
Divisor
Microsoft
Excel
=MOD()
Divisor
mod
Divisor
rem
Dividend
MATLAB
Oberon
MOD
Divisor
Objective
Caml
mod
Dividend
Occam
\
Dividend
Pascal
(Delphi)
mod
Dividend
Perl
%
Divisor[1]
PHP
%
Dividend
PL/I
mod
Divisor (ANSI
PL/I)
PowerBuilder mod(x,y)
?
mod
Divisor
rem
Dividend
Python
%
Divisor
RealBasic
MOD
Dividend
R
%%
Divisor
RPG
%REM
Dividend
Ruby
%
Divisor
modulo
Divisor
remainder
Dividend
mod
Always
Nonnegative
(Euclidean)
mod0
Closest to zero
modulo
Divisor
rem
Dividend
Prolog (ISO
1995)
Scheme
Scheme
R6RS[2]
SenseTalk
Smalltalk
\\
Divisor
SQL
(SQL:1999)
mod(x,y)
Dividend
mod
Divisor
Int.rem
Dividend
%
Divisor
Standard ML
Tcl
Torque Game
%
Engine
Dividend
fPart(x/y)*y Dividend
TI-BASIC
Turing
(programming mod
language)
Divisor
Verilog (2001) %
Dividend
mod
Divisor
rem
Dividend
Mod
Dividend
VHDL
Visual Basic
x86 Assembly IDIV
Dividend
Floating-point modulo operators in various
programming languages
Language
C (ISO
1990)
C (ISO
1999)
C++
Operator
Result has
the same
sign as
fmod
?
fmod
Dividend
remainder
Closest to
zero
std::fmod
?
%
Dividend
mod
Divisor
rem
Dividend
Go
math.Fmod
Dividend
Haskell
(GHC)
Data.Fixed.mod' Divisor
Java
%
Dividend
JavaScript %
Dividend
Objective
mod_float
Caml
Dividend
C#
Common
Lisp
Perl
POSIX::fmod
Dividend
PHP
fmod
Dividend
%
Divisor
math.fmod
Dividend
%
Divisor
flmod
Always
Nonnegative
(Euclidean)
flmod0
Closest to
zero
Python
Ruby
Scheme
R6RS
Standard
Real.rem
ML
Dividend
There are various ways of defining a remainder, and computers and calculators have various
ways of storing and representing numbers, so what exactly constitutes the result of a modulo
operation depends on the programming language and/or the underlying hardware.
In nearly all computing systems, the quotient q and the remainder r satisfy
This means there are two possible choices for the remainder, one negative and the other
positive, and there are also two possible choices for the quotient. Usually, in number theory,
the positive remainder is always chosen, but programming languages choose depending on the
language and the signs of a and n.[3] However, Pascal and Algol68 do not satisfy these
conditions for negative divisors, and some programming languages, such as C89, don't even
define a result if either of n or a is negative. See the table for details. a modulo 0 is undefined
in the majority of systems, although some do define it to be a.
Many implementations use truncated division where the quotient is defined by truncation q
= trunc(a/n) and the remainder by r=a-n q. With this definition the quotient is rounded
towards zero and the remainder has the same sign as the dividend.
Knuth[3] described floored division where the quotient is defined by the floor function
q=floor(a/n) and the remainder r is
Here the quotient rounds towards negative infinity and the remainder has the same sign as the
divisor.
Raymond T. Boute[4] introduces the Euclidean definition which is consistent with the
division algorithm. Let q be the integer quotient of a and n, then:
Two corollaries are that
As described by Leijen,[5]
Boute argues that Euclidean division is superior to the other ones in terms of regularity and
useful mathematical properties, although floored division, promoted by Knuth, is also a good
definition. Despite its widespread use, truncated division is shown to be inferior to the other
definitions.
Common Lisp also defines round- and ceiling-division where the quotient is given by
q=round(a/n), q=ceil(a/n). IEEE 754 defines a remainder function where the quotient is a/n
rounded according to the round to nearest convention.
Common pitfalls
When the result of a modulo operation has the sign of the dividend, it can sometimes lead to
surprising mistakes:
For example, to test whether an integer is odd, one might be inclined to test whether the
remainder by 2 is equal to 1:
bool is_odd(int n) {
return n % 2 == 1;
}
But in a language where modulo has the sign of the dividend, that is incorrect, because when
n (the dividend) is negative and odd, n % 2 returns -1, and the function returns false.
One correct alternative is to test that it is not 0 (because remainder 0 is the same regardless of
the signs):
bool is_odd(int n) {
return n % 2 != 0;
}
Modulo operation expression
Some calculators have a mod() function button, and many programming languages have a
mod() function or similar, expressed as mod(a, n), for example. Some also support
expressions that use "%", "mod", or "Mod" as a modulo or remainder operator, such as
a % n
or
a mod n
or equivalent, for environments lacking a mod() function
a - (n * int(a/n))
Performance issues
Modulo operations might be implemented such that a division with a remainder is calculated
each time. For special cases, there are faster alternatives on some hardware. For example, the
modulo of powers of 2 can alternatively be expressed as a bitwise AND operation:
x % 2n == x & (2n - 1).
Examples (assuming x is an integer):
x % 2 == x & 1
x % 4 == x & 3
x % 8 == x & 7
In devices and software that implement bitwise operations more efficiently than modulo, these
alternative forms can result in faster calculations.
Optimizing C compilers generally recognize expressions of the form expression %
constant where constant is a power of two and automatically implement them as
expression & (constant-1). This can allow the programmer to write clearer code without
compromising performance. (Note: This will not work for the languages whose modulo have
the sign of the dividend (including C), because if the dividend is negative, the modulo will be
negative; however, expression & (constant-1) will always produce a positive result. So
special treatment has to be made when the dividend is negative.)
In some compilers, the modulo operation is implemented as mod(a, n) = a - n * floor(a
/ n). When performing both modulo and division on the same numbers, one can get the same
result somewhat more efficiently by avoiding the actual modulo operator, and using the
formula above on the result, avoiding an additional division operation.