Práctica 3
FS415
Universidad Nacional Autónoma de Honduras
Departamento de Física UNAH-VS
MAPEO DEL CAMPO DE
INDUCCIÓN MAGNÉTICA
II Periodo Académico 2023
Objetivos
1. Comprender el fundamento teórico y aplicabilidad de la ley de Biot-Savart para distintos
tipos de bobinas.
2. Medir la magnitud del campo de inducción magnética axial dentro de distintos tipos bobinas.
3. Graficar el campo de inducción magnética con respecto a la posición de las bobinas.
4. Verificar la permeabilidad magnética del vació.
Materiales y Equipo
1. Bobinas de Helmholtz
2. Bobina circular
3. Bobina cuadrada
4. Sensor de campo magnético
5. Amperímetro
6. Cables de conexión
7. Fuente de voltaje DC
8. Regla
Figura 1: Campo B de una Bobina de Helmholtz
9. Pie de Rey
1
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Práctica 3
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Marco Teórico
Ley de Biot-Savart
⃗ recibe el nombre de inducción magnética; a veces también se le llama
El campo vectorial B
densidad de flujo magnético o simplemente campo B. De manera general, es conocida por lo general
como la ley de Biot-Savart. Este campo es provocado por una corriente I en un circuito como:
⃗ = µ0
B
4π
Z
I ′ d⃗l × (⃗r − r⃗′ )
|(⃗r − r⃗′ )|3
(1)
donde ⃗r es el lugar donde se desea conocer el campo, r⃗′ es el lugar donde se encuentra la co⃗ es el elemento vectorial que parametriza la dirección de la corriente.
rriente y dl
En general, se usa la ley de Biot-Savart para determinar el campo de inducción magnético en
algunos puntos específicos en el espacio (punto en particular, puntos sobre un eje, etc). Y también
es importante establecer que el campo B siempre rota entorno a las corriente según la regla de la
mano derecha.
Espiras
Una espira es un término utilizado en electromagnetismo para referirse a un bucle cerrado de
alambre o cualquier otro conductor eléctrico. Consiste en una curva cerrada que forma un circuito
conductor completo. Puede tener diferentes formas, como una forma circular, cuadrada o rectangular, pero siempre debe ser cerrada y continua.
Utilizando la ecuación 1 para calcular el campo de inducción magnética de una espira circular
en el centro:
⃗
µ0 H I ′ d⃗l′ × R
⃗
B(⃗
r
)
=
′
(0, 0, z)
4π C
R3
′
d⃗l = a dϕ′ ϕ̂
⃗r = zẑ
⃗r
⃗r ′ = aρ̂′
⃗
R
⃗ = ⃗r − ⃗r′
R
a
√
⃗ = a2 + z 2
R
=
R
⃗r′
Figura 2: Espira circular
⃗ = a dϕ′ ϕ̂′ × (zẑ − aρ̂′ ) = az dϕ′ ρ̂′ + a2 dϕ′ ẑ
d⃗l′ × R
2
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Expremos la integral introduciendo todos estos valores y recordando que ρ̂′ = cos ϕ′ x̂ + sin ϕ′ ŷ:
Z 2π
Z 2π
Z 2π
az cos (ϕ′ )
µ0 I ′
az sin (ϕ′ )
a2
′
′
′
⃗
B=
dϕ x̂ +
dϕ ŷ +
dϕ ẑ
4π
(a2 + z 2 )3/2
(a2 + z 2 )3/2
(a2 + z 2 )3/2
0
0
0
R 2π
R 2π
Sabiendo que 0 cos ϕdϕ = 0 sin ϕdϕ = 0 , entonces la componente en x̂ y ŷ serán 0, por lo
tanto la integral solo quedaría en ẑ de la siguiente manera:
⃗
B(z)
=
µ 0 I ′ a2
ẑ
2(a2 + z 2 )3/2
(2)
Las espiras son comúnmente utilizadas en la construcción de bobinas y solenoides, que son
componentes importantes en los dispositivos electromagnéticos. Cuando una corriente eléctrica
pasa a través de una espira, se genera un campo magnético alrededor de ella. El número de vueltas
o vueltas de alambre en la espira afecta la intensidad del campo magnético resultante.
Tarea
Deducir a partir de la ley de Biot-Savart la inducción magnética de una espira cuadrada
de lado a con una corriente I sobre un punto cualquiera del eje z.
⃗
B(z)
=
µ 0 I ′ a2
ẑ
2
r 2
a
a
2π
+ z2
+ z2
4
2
(3)
Solenoide Ideal Infinitamente Largo
Al enrollar un alambre en un cilindro de longitud L y sección circular de radio a para generar un
total de N "vueltas", se crea un dispositivo resultante cuyo nombre es solenoide. Para generalizar
el concepto de solenoide, se puede definir como un objeto en forma prisma de cualquier tipo, el
cual tiene un alambre entrelazado en su longitud.
Ahora supóngase que las vueltas del alambre en el solenoide de sección circular están enrolladas
muy apretadamente y que los alambres son tan delgados que se puede despreciar el ángulo de
inclinación de las vueltas, el dispositivo resultante de esta suposición se le conoce como solenoide
ideal. Al interpretar esta suposición y considerar una corriente I que pasa por el alambre, se llega a la
conclusión que es conveniente considerar una corriente plana de densidad superficial K circulando
alrededor del cilindro. Si hay N vueltas por unidad de longitud L (n = N/L) e I es la corriente
que pasa por el alambre, entonces:
NI
K=
= nI
L
El análisis se puede simplificar aun más al considerar que el radio a de la espira circular es
mucho menor que la longitud L (a << L) del solenoide, en otras palabras, la dimensión del radio es
3
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despreciable a comparación con la longitud del solenoide. Utilizando la Ley de Ampere, el campo
de inducción magnética dentro de un solenoide ideal infinitamente largo sera de:
⃗ = µ0 Kẑ = µ0 nI ′ ẑ
B
(4)
Solenoide Circular Ideal
Considérese una pequeña porción de longitud dz 0 situada a una distancia z0 de uno de los
extremos. Habrá dN = n dz0 anillos circulares en esta pequeña porción, cada uno de los cuales se
encuentra aproximadamente a la misma distancia z = zp − z0 del punto de campo P . Así de (2)
se desprende que su contribución a la magnitud de B en P será:
dB(z) =
µ0 I ′ a2 n dz0
2[a2 + (zp − z0 )2 ]3/2
Tomamos la integral sobre la longitud total del solenoide L, asumiendo que el centro del solenoide
esta colocado sobre el origen, los límites irían de −L/2 a L/2.
⃗
B(z)
=
Z L/2
µ0 I ′ a2 n dz0
3/2
−L/2 2[a2 + (zp − z0 )2 ]
′

L
− zp
2
µ0 N I 
⃗
q
B(z)
=
2L
a2 +
2
L
−
z
p
2
ẑ
+q
L
+ zp
2
a2 +
2
L
+
z
p
2

ẑ
(5)
dzo
a
(0, 0)
z
zo
P
zp
×××××××××××××××××××××××××
−L/2
L/2
4
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Solenoide Cuadrado Ideal
Para el caso de un solenoide cuadrado ideal se puede utilizar la ecuación (3) y similar a como
se dedujo la ecuación (5) para un solenoide circular de longitud L, obtenemos la ecuación de la
contribución del campo magnético en el punto P para un solenoide de sección cuadrada de lado a,
longitud L, centrado en el origen:





L
L
′
− zp
+ zp
2µ0 N I  −1 
⃗
 + tan−1  q 2
ẑ
q 2
(6)
tan
B(z)
=
2
2
πL
L
L
a
a
2
2
+( −z )
+( +z )
2
p
2
2
2
p
Bobina de Helmholtz
El campo B producido por dos bobinas iguales de radio a de N espiras apretadas recorridas
por una corriente eléctrica de intensidad I ′ y separadas una distancia d, tal como se aprecia en la
figura (3).
Figura 3: Montaje de las bobinas de Helmholtz.
Las bobinas se colocan a un eje alineado y con una separación que sea igual al radio de las
bobinas. La ventaja de la Bobinas de Helmholtz es que genera un campo muy uniforme entre las
bobinas y además es fácil de calcular:


2
′
µ0 R N I 
⃗
B(z)
=

2
1
R2 +
3/2 + 2
z + R2
1
R2 +

3/2 ẑ
2
R
(7)
z− 2
Donde N es el número de vueltas I es la corriente que pasa por ambas bobinas, y R es el radio
de las bobinas.
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Procedimiento Experimental
Mediciones dimensionales de las bobinas
Registre en la Tabla 1, 2 y 3 las mediciones de las dimensiones del Solenoide Circular, Solenoide
Cuadrado y Bobinas de Helmholtz.
Mediciones del campo de inducción magnética de las bobinas con una
corriente fija y a velocidad constante
1. Alinear el campo magnético del solenoide cuadrado con el terrestre para asegurar que el
campo resultante vaya en la dirección axial.
2. Conectar el sensor magnético mediante Bluetooth a un celular o computadora a la aplicación
Graphical Analysis para registrar los datos.
3. Seleccionar la entrada dirección de x con rango 5 mT en la aplicación Graphical Analysis.
4. Modificar la configuración de recopilación de datos en la aplicación Graphical Analysis:
a) Modo: En el tiempo
b) Unidades de tiempo: segundos
c) Finalizar toma de datos: después de 30 segundos.
5. Usar cinta adhesiva para juntar el sensor de campo magnético a un extremo de la regla.
6. Alinear el sensor con el eje principal del solenoide.
7. Medir una distancia de mínimo 5cm antes y después de la bobina.
8. Conectar la fuente de voltaje DC en las terminales del solenoide y fijar un valor de corriente
de 1 A.
9. Apretar el botón de "Tomar datos" en la aplicación e inmediatamente deslizar a velocidad
constante la regla con el sensor a través de la bobina iniciando y terminando en las marcas
de 5cms.
10. Guardar la gráfica generada ya sea tomando una captura de pantalla o guardando los datos
en un archivo de Excel.
11. Repetir los pasos 1 al 10 utilizando la bobina circular y modificando la intensidad de corriente
a 0.5 A.
12. Repetir los pasos 1 al 10 utilizando la bobina de Helmholtz y modificando la intensidad de
corriente a 0.6 A.
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Mediciones del campo de inducción magnético al variar la intensidad de
corriente en el centro del Solenoide Circular
1. Posicionar el sensor en el centro de la bobina de sección circular.
2. Conectar la fuente de voltaje DC en las terminales del solenoide.
3. Registrar la magnitud del campo de inducción magnética al variar la intensidad de corriente
eléctrica según la tabla 4.
Mediciones del campo de inducción magnético al variar la posición en el
eje axial en la Bobina de Helmholtz y Solenoide Cuadrado
1. Alinear el sensor con el eje principal del solenoide.
2. Conectar la fuente de voltaje DC en las terminales del solenoide y fijar un valor de corriente
de 0.5 A.
3. Registrar la magnitud del campo de inducción magnética al variar la posición en el eje
principal según la tabla 5.
4. Repetir los pasos 1 al 4 utilizando la bobina de Helmholtz para completar la tabla 6.
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Tablas de Datos
Dimensión
L (m)
N (vueltas)
a (m)
Medida
30.2 cm
500
2.15 cm
Tabla 1: Dimensiones del Solenoide Circular
Dimensión
L (m)
N (vueltas)
a (m)
Medida
55 cm
1000
8.45 cm
Tabla 2: Dimensiones del Solenoide Cuadrado
Dimensión
R (m)
N (vueltas)
Medida
20 cm
154
Tabla 3: Dimensiones de la Bobina de Helmholtz
I ′ (A)
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
BSolenoideCircular (×10−3 T )
0.95 mT
1.15 mT
1.37 mT
1.57 mT
1.79 mT
2 mT
2.20 mT
2.40 mT
Tabla 4: Inducción magnética al variar la corriente eléctrica en el centro del Solenoide Circular
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Práctica 3
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Tabla 5: Inducción magnética al variar la po- Tabla 6: Inducción magnética al variar la posición a través del eje axial de la Solenoide sición a través del eje axial de Bobina de
Cuadrado
Helmholtz
zp (m)
-0.50
-0.45
-0.40
-0.35
-0.30
-0.25
-0.20
-0.15
-0.10
-0.05
0
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
BSolenoideCuadrada (×10−3 T )
zp (m)
-0.40
-0.36
-0.32
-0.28
-0.24
-0.20
-0.16
-0.12
-0.08
-0.04
0
0.04
0.08
0.12
0.16
0.20
0.24
0.28
0.32
0.36
0.40
0.06
0.12
0.18
0.31
0.71
1.39
1.83
2.03
2.12
2.15
2.16
2.15
2.12
2.04
1.91
1.56
0.92
0.46
0.21
0.11
0.09
9
BBobinaHelmholtz (×10−3 T )
0.05
0.10
0.13
0.18
0.23
0.29
0.37
0.43
0.46
0.47
0.47
0.47
0.46
0.43
0.37
0.22
0.17
0.15
0.14
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Tratamiento de los Datos Experimentales
Modelo Teórico y Cualitativo del Campo de Inducción Magnética de las
Bobinas
1. Graficar la función 5, 6 y 7 con los datos de la tabla 1, 2 y 3 respectivamente, usando el
comando Plot.
2. Inserte los gráficos de la inducción magnética en función del tiempo de las tres bobinas (solenoide circular, solenoide cuadrado y Bobina de Helmholtz) de la parte II del procedimiento
experimental.
3. Explique porque los gráficos tienen forma de “campanas”.
4. Explique en que parte de las bobinas el campo magnético es más estable y constante.
5. ¿Cual seria el valor de la inducción magnética de cada bobina si la modelamos como bobinas
infinitamente larga según el modelo teórico y cualitativo?
Cálculos con el Solenoide Circular
1. Graficar los datos de la Tabla 4 usando el comando ListPlot para visualizar la variación del
campo de inducción magnética en función de la corriente (B = f (I ′ )).
2. Aplicar regresión lineal a los datos de la Tabla 4 utilizando el comando LinearModelFit[x,a] y obtener las incertidumbres de la pendiente e intercepto utilizando el comando
ParameterTable. Recuerde presentar la pendiente e incertidumbre de la siguiente manera
(m =< m > ±∆m) y (b =< b > ±∆b) respectivamente.
3. Graficar la ecuación de la regresión lineal utilizando el comando Plot.
4. Utilizar el comando Show para superponer los gráficos del inciso 1 y 3.
5. Calcular la permeabilidad magnética del espacio vacío con su respectiva incertidumbre, mediante propagación de errores, y expréselo de la siguiente forma: µ0 =< µ0 > ±∆µ0 . Recuerde
evaluar la ecuación 5 en z = 0 debido a que el sensor se coloco en el centro del solenoide y
tomando en cuenta los valores de la Tabla 1.
6. Calcular el error porcentual de µ0 con respecto al valor teórico (µ0t = 4π · 10−7 H/m).
Cálculos con el Solenoide Cuadrada
1. Graficar los datos de la tabla 5 usando el comando ListPlot para visualizar la variación del
campo de inducción magnética en función de un punto en su eje axial (B = f (zp )).
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Práctica 3
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2. Determinar el valor central de µ0 usando el comando NonlinearModelFit y BestFitParameters, y determinar la incertidumbre utilizando el comando ParameterTable. Expresar
el valor de la siguiente forma: µ0 =< µ0 > ±∆µ0 .
3. Graficar la función 6 utilizando los valores de la Tabla 2 y con el µ0 del inciso anterior.
4. Utilizar el comando Show para superponer los gráficos del paso 1 y 3.
5. Calcular el error porcentual de µ0 con respecto al valor teórico (µ0t = 4π · 10−7 H/m).
Campo de Inducción Magnética de una Bobina de Helmholtz
1. Graficar los datos de la tabla 6 usando el comando ListPlot para visualizar la variación del
campo de inducción magnética en función de un punto en su eje axial (B = f (zp )).
2. Determinar el valor central de µ0 usando el comando NonlinearModelFit y BestFitParameters, y determinar la incertidumbre utilizando el comando ParameterTable. Expresar
el valor de la siguiente forma: µ0 =< µ0 > ±∆µ0 .
3. Graficar la función 7 utilizando los valores de la Tabla 3 y con el µ0 del inciso anterior.
4. Utilizar el comando Show para superponer los gráficos del paso 1 y 3.
5. Calcular el error porcentual de µ0 con respecto al valor teórico (µ0t = 4π · 10−7 H/m).
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