Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira
PROVA DE MATEMÁTICA – EPCAR 2025/2026 (VERSÃO A)
ENUNCIADOS
1) Considere uma certa barra de metal que possui um comprimento inicial L0 , em
centímetros. Essa barra, ao ser aquecida, sofre apenas um aumento em seu comprimento
diretamente proporcional à temperatura (°C) de aquecimento. O comprimento da barra
pode ser calculado, dependendo da temperatura, através de uma função como esboçado
no gráfico abaixo.
Uma barra, estando inicialmente a 50°C, sofre um aquecimento de 20% de sua
temperatura. O aumento percentual correspondente de seu comprimento, em cm, é de:
a) 0,5%
b) 0,05%
c) 0,005%
d) 0,0005%
2) Um pai comprou um terreno retangular e repartiu-o em quatro terrenos também
retangulares entre seus quatro filhos, conforme o croqui abaixo.
O filho 1 ficou com 27 km2 de área, o filho 2 com 18 km2 de área, o filho 3 com
72 km2 de área. A área destinada ao filho 4, em km2 , é igual a:
a) 104
b) 108
c) 112
d) 116
3) Considerando os números A = 23 − 8 7
é igual a:
a) 5
3
e B = 64 − 28 2 . O valor de x =
c) 3 5
b) 2 5
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d) 4 5
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7A −
B
8
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4) Na matemática, define-se módulo de um número como a distância que esse número
está do zero na reta numérica. Para representar o módulo de um número, usam-se duas
barras verticais, uma antes e outra depois do número. Dessa forma, M é a distância do
número M até o número zero. Considere dois números reais A e B, com A  B, e seus
respectivos módulos dados por A e B . É correto afirmar, necessariamente, que
a) se Z =
A − B , então Z
b) se Y = B − A , então Y   +
c) se X = A − B , então X   | B  X  A
d) se W = A + B , então W   | W  B + A 
5) Um artista plástico fez um passeio por cidades históricas de Minas Gerais. Ele ficou
encantado com as janelas das casas do período colonial. Ao retornar ao seu ateliê,
resolveu reproduzir uma das janelas usando um programa de computador que produz,
em escala, as coordenadas cartesianas e as curvas de uma figura nele inserida. A figura
abaixo reproduz a janela colocada no programa de computador, com referencial nos
eixos cartesianos, e suas medidas em metros.
O arco superior da janela é parte de uma parábola, e as demais medidas apresentadas
indicam o formato dos polígonos utilizados no desenho. Considere a função real de grau
2 dada por f ( x ) = ax 2 + bx + c que contém o arco superior da janela, com a, b, c   .
Analise as afirmativas abaixo e assinale a alternativa correta:
I) Se f ( x ) = 0  x  p,q , então p + q = 2.
II) a + b + c  2
III) 2a 2 = b
a) nenhuma afirmativa correta.
b) apenas uma afirmativa correta.
c) apenas duas afirmativas corretas.
d) todas as afirmativas corretas.
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6) Em 2024, a EPCAR foi notícia no âmbito da educação em nível nacional. O motivo
foi o excelente resultado obtido pelos alunos do 3° esquadrão na prova do Sistema de
Avaliação da Educação Básica (Saeb) junto ao Ideb (Índice de desenvolvimento da
educação Básica). À época, o Ideb da EPCAR foi de 7,9. Esse índice é divulgado pelo
Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira, e várias
organizações estudam sua evolução, muitas vezes com a intenção de propor políticas
públicas para melhorar a educação no Brasil. Nesse intento, a ONG Todos pela
Educação publicou seu Anuário Brasileiro da Educação Básica de 2024 apontando
estudos sobre o Ideb com dados estatísticos e gráficos. Dois desses estudos versam
sobre o desempenho médio da 3ª série do ensino médio entre as escolas públicas
brasileiras nas disciplinas de língua portuguesa e matemática. Abaixo estão os dois
gráficos que apresentam a evolução das notas de cada disciplina, no Saeb desde 2005 a
2023.
Analise as afirmações abaixo quanto a sua veracidade sobre os gráficos e assinale a
alternativa correta.
a) Os períodos de crescimento dos índices no gráfico da evolução das notas de língua
portuguesa correspondem aos períodos de crescimento dos índices no gráfico da
evolução das notas de matemática.
b) A taxa de variação, no gráfico da evolução das notas de matemática, é maior do que
no gráfico da evolução das notas de língua portuguesa, no período de 2017 a 2019.
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c) A média dos índices de língua portuguesa é maior que a média dos índices de
matemática.
d) Em ambos os gráficos há igualdade de quantidade de períodos de crescimento.
7) Considere o quadro de medalhas abaixo, que reúne cinco países do continente
americano com melhor colocação no quadro de medalhas dos Jogos Olímpicos de Paris:
O sistema de pontuação para o desempenho esportivo é o seguinte:
• Medalha de ouro: 3 pontos
• Medalha de prata: 2 pontos
• Medalha de bronze: 1 ponto
Analise as afirmativas abaixo e assinale a alternativa correta:
I. Cuba obteve aproximadamente 55% a mais de pontuação que o Equador.
II. A soma das medalhas de ouro conquistadas por Canadá, Brasil, Cuba e Equador
3
equivale a do número de medalhas de ouro dos Estados Unidos.
8
III. A pontuação obtida pelo Brasil é um número múltiplo de 17.
a) nenhuma afirmativa correta.
b) apenas uma afirmativa correta.
c) apenas duas afirmativas corretas.
d) todas as afirmativas corretas.
8) Duas cidades Alpha e Beta, estão implementando estratégias para recuperar áreas
desmatadas:
Estratégia 1: Ref de Alpha = reflorestar a hectares de área desmatada.
Estratégia 2: CO2 de Beta = compensar b toneladas de CO2 por ano.
Um estudo científico propôs índices para avaliar a eficácia das estratégias.
1°) Índice de Alpha (M)
Combina o reflorestamento atual com um ajuste entre as metas, dado por:
( Ref de Alpha )2  ( CO2 de Beta ) − ( Ref de Alpha )3
M = ( Ref de Alpha ) +
1 + ( Ref de Alpha )  ( CO2 de Beta )
2°) Índice de Beta (N)
Mede a sustentabilidade líquida, dado por:
N = 1+
( Ref de Alpha )  ( CO2 de Beta ) − ( Ref de Alpha )2
1 + ( Ref de Alpha )  ( CO2 de Beta )
A razão entre o índice de Alpha (M) e o índice de Beta (N), nessa ordem, é igual a:
a) Ref de Alpha
b) CO2 de Beta
c) Ref de Alpha +CO2 de Beta
d) ( Ref de Alpha )  ( CO2 de Beta ) − 1
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9) O espaço interno de uma casa está representado na figura abaixo com as
denominações de cada um dos 10 cômodos retangulares na legenda.
Cada uma das expressões, em função de x, com x   *+ indicam as medidas, em
metros, de alguns espaços da casa. A soma de B3 com C1 é igual a 12 m 2 . A razão
G
é igual a
Q1 + B1
a) 2,7
b) 3,7
c) 3,9
d) 4,9
10) Um aluno, “brincando” com seu material de desenho geométrico, régua, compasso,
esquadro e transferidor, decidiu desenhar um semicírculo de centro O e raio r cm. Ele
considerou o diâmetro PQ como “base” do seu semicírculo. Tomando M como ponto
médio do segmento OQ, o aluno traçou uma mediatriz, passando por M e intersectando
o arco do semicírculo no ponto R. A razão entre os segmentos RM e PM , nessa
ordem, é igual a:
3
3
3
a)
b)
c)
d) 3
5
3
2
11) Seja n o número 218 − 32, sabendo que o número 213 − 1 é primo. O número de
divisores naturais do número n é
a) 6
b) 8
c) 10
d) 12
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12) O mestre de matemática da Escola Preparatória de Cadetes do Ar (EPCAR), em
uma aula, pediu, na turma alpha, para os alunos formarem duplas. Na dupla, um aluno
seria o inventor da hipótese (AIH), e o outro aluno seria o julgador da hipótese (AJH).
Em seguida, o mestre propôs um desafio:
- O AIH teria que criar uma hipótese matemática e três afirmações a respeito do fato
apresentado.
- O AJH teria que verificar se as afirmações eram verdadeiras ou falsas.
As alunas Vampré e Pires, agora no segundo esquadrão, formaram dupla, na qual a
aluna Vampré, como AIH, sugeriu a seguinte hipótese:
Considere um número natural n formado por três algarismos não nulos.
A soma dos três algarismos de n é igual a 12, e o quadrado de um deles é
igual à soma dos outros dois.
Em seguida, ela construiu as três afirmações.
- Afirmação 1: n é sempre múltiplo de 3
- Afirmação 2: O 3 é sempre um dos algarismos de n
- Afirmação 3: Existem 21 valores possíveis para n
Se a aluna Pires, como AJH, resolveu de maneira correta a hipótese, então ela concluiu
que:
a) apenas a afirmação 1 é verdadeira.
b) apenas as afirmações 1 e 2 são verdadeiras.
c) apenas as afirmações 2 e 3 são verdadeiras.
d) todas as afirmações são verdadeiras.
13) No nosso cotidiano, podemos utilizar vários símbolos para facilitar a representação
em diversas situações. Na matemática, por exemplo, podemos encontrar:
SÍMBOLO
SIGNIFICADO
%
Porcentagem
Somatório

Módulo
Em uma aula de matemática, o professor definiu como parte inteira de um número
inteiro n, como sendo o maior inteiro que é menor ou igual a n. E criou o símbolo  n 
para representá-lo. Ou seja, 3,1 = 3 e  −1,8 = −2. Analise os números abaixo e
assinale a alternativa correta.
 20 ;  27331 ;  3 −12  ; ( −2,3)2 
13666 
2
a)  3 −12  = −2
b) ( −2,3)  = −5
2
c)  20   ( −2,3) 
 27331   27331 
=
d) 

13666   13666 
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0
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14) Considere um triângulo ABC inscrito em uma circunferência de centro O, raio r cm
e que possui um segmento de reta que parte do vértice A, passa por O e intercepta o
ˆ mede 15. Analise as
lado BC em P. O lado AC mede r 3 cm, e o ângulo BAP
afirmativas abaixo e assinale a alternativa correta:
I. O triângulo APC é isósceles.
ˆ mede 120.
II. O ângulo APB
r
III. A altura do triângulo ABP em relação ao lado AP mede .
2
a) nenhuma afirmativa correta.
b) apenas uma afirmativa correta.
c) apenas duas afirmativas corretas.
d) todas as afirmativas corretas.
15) Uma pesquisa realizada por uma companhia aérea sobre a fluência de seus pilotos
em inglês, francês e português revelou que 1230 pilotos são fluentes em inglês, 1150
pilotos são fluentes em francês e 1080 pilotos são fluentes em português. Desses, 680
são fluentes em inglês e francês, 550 em inglês e português e 530 em francês e
português. Além disso, constatou-se que 250 são fluentes nas três línguas e que 120 não
são fluentes em nenhuma dessas línguas. Analise as afirmativas abaixo e assinale a
alternativa correta:
I. 690 pilotos são fluentes em uma única dessas três línguas.
II. 1010 pilotos são fluentes em duas dessas línguas.
III. A diferença entre a quantidade de pilotos que são fluentes apenas em inglês e apenas
em português é igual a 20.
a) nenhuma afirmativa correta.
b) apenas uma afirmativa correta.
c) apenas duas afirmativas corretas.
d) todas as afirmativas corretas.
16) Os alunos Gabriel, Isabela e Maria Fernanda foram selecionados pelo Chefe do
Corpo de Alunos (CA) para realizarem uma vistoria em todas as instalações, incluindo
salas de aula e alojamentos que serão utilizados pelos candidatos aprovados no CPCAR
2026. Ao final dessa vistoria, devem apresentar um relatório com todas as discrepâncias
e sugestões de melhorias ao Chefe do CA para que este solicite ao setor responsável que
faça as devidas manutenções. Sabe-se que os três alunos juntos realizam toda a missão
em um tempo de t horas. Se a tarefa for realizada individualmente, o aluno Gabriel
necessitará do dobro do tempo t mais 1 hora para finalizar. A aluna Isabela, por sua vez,
faz a missão com o triplo do tempo dos três juntos, e a aluna Maria Fernanda, sozinha,
precisará do dobro de horas utilizadas por Gabriel menos 1 hora. Considerando
13  3, 6 e os tempos individuais de cada aluno, em minutos, pode-se afirmar que:
a) o tempo gasto por Gabriel possui 32 divisores inteiros.
b) o tempo gasto por Isabela é um número divisível por 19.
c) o tempo de Maria Fernanda é um número quadrado perfeito.
d) o tempo gasto por Maria Fernanda possui 24 divisores naturais.
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RESPOSTAS E CLASSIFICAÇÃO DAS QUESTÕES
1) b (Função afim) 
2) b (Geometria plana – área de retângulos) 
3) b (Racionalização – radical duplo) 
4) d (Módulo) 
5) c (Função quadrática) 
6) d (Estatística – análise de gráfico e médias) 
7) c (Razões, proporções e porcentagem) 
8) a (Fatoração) 
9) a (Geometria plana – áreas de retângulos, equação do 2° grau e frações) 
10) b (Geometria plana – circunferência e relações métricas no triângulo retângulo) 
11) d (Quantidade de divisores naturais) 
12) d (Sistema de numeração de base 10 e contagem) 
13) d (Potências e raízes e função piso) 
14) c (Geometria plana – relações métricas nos triângulos e circunferência) 
15) b* (Conjuntos – diagrama de Venn) 
16) a (Problemas de torneira e divisores inteiros) 
As estrelas representam uma avaliação comparativa do grau de dificuldade das questões
dentro da própria prova.
 (mais fáceis): 8
 (medianas): 6
 (mais difíceis): 2
(*) O enunciado dessa questão foi adaptado, pois a mesma estava imprecisa ou incorreta
da maneira como foi originalmente proposta.
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ENUNCIADOS E RESOLUÇÕES
1) Considere uma certa barra de metal que possui um comprimento inicial L0 , em
centímetros. Essa barra, ao ser aquecida, sofre apenas um aumento em seu comprimento
diretamente proporcional à temperatura (°C) de aquecimento. O comprimento da barra
pode ser calculado, dependendo da temperatura, através de uma função como esboçado
no gráfico abaixo.
Uma barra, estando inicialmente a 50°C, sofre um aquecimento de 20% de sua
temperatura. O aumento percentual correspondente de seu comprimento, em cm, é de:
a) 0,5%
b) 0,05%
c) 0,005%
d) 0,0005%
Resposta: b
Supondo que a reta da figura tem equação f ( T ) = m  T + n.
79,88 − 79,84 0, 04
=
= 0, 004 cm C.
O coeficiente angular da reta é m =
20 − 10
10
Como f (10) = 79,84, então f (10) = 0,004 10 + n = 79,84  n = 79,8.
Assim, f ( T ) = 0,004  T + 79,8.
O comprimento inicial é f ( 50) = 0,004  50 + 79,8 = 80.
Se a barra está inicialmente a 50°C e sofre um aquecimento de 20% na sua temperatura,
então a sua temperatura final é 50 (1 + 20%) = 501, 2 = 60C.
O comprimento da barra após o aquecimento é f ( 60) = 0,004  60 + 79,8 = 80,04.
80, 04 − 80 0, 04
=
= 0, 05%.
O aumento percentual do comprimento é
80
80
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2) Um pai comprou um terreno retangular e repartiu-o em quatro terrenos também
retangulares entre seus quatro filhos, conforme o croqui abaixo.
O filho 1 ficou com 27 km2 de área, o filho 2 com 18 km2 de área, o filho 3 com
72 km2 de área. A área destinada ao filho 4, em km2 , é igual a:
a) 104
b) 108
c) 112
d) 116
Resposta: b
Sejam a, b, c, d as medidas dos segmentos indicados na figura a seguir.
Filho 1: a  c = 27
Filho 2: a  d = 18
Filho 3: b  d = 72
Filho 4: b  c
Multiplicando as duas primeiras igualdades, temos ad  bc = 27  72.
Substituindo ad = 18 nessa última igualdade, vem 18  bc = 27  72  bc = 108.
Portanto, a área destinada ao filho 4 é bc = 108 km2 .
3) Considerando os números A = 23 − 8 7
é igual a:
a) 5
3
e B = 64 − 28 2 . O valor de x =
c) 3 5
b) 2 5
d) 4 5
Resposta: b
A = 23 − 8 7 = 42 − 2  4  7 + ( 7 ) =
2
3
B = 64 − 28 2 = 64 −
x = 7A −
( 4 − 7 )2 = 4 − 7
( 4  7 )3 = 64 − ( 2 7 )3 = 64 − 23  7 7 = 8 (8 − 7 7 )
(
) 8 (8 − 7 7 )
B
= 7 4− 7 −
8
8
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= 28 − 7 7 − 8 + 7 7 = 20 = 2 5
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7A −
B
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4) Na matemática, define-se módulo de um número como a distância que esse número
está do zero na reta numérica. Para representar o módulo de um número, usam-se duas
barras verticais, uma antes e outra depois do número. Dessa forma, M é a distância do
número M até o número zero. Considere dois números reais A e B, com A  B, e seus
respectivos módulos dados por A e B . É correto afirmar, necessariamente, que
a) se Z =
A − B , então Z
b) se Y = B − A , então Y   +
c) se X = A − B , então X   | B  X  A
d) se W = A + B , então W   | W  B + A 
Resposta: d
a) Incorreta
Contraexemplo: Se A = 1 e B = 2, então Z = A − B = 1 − 2 = 1 − 2 = −1   .
b) Incorreta
Contraexemplo: Se A = 2 e B = 1, então Y = B − A = 1 − 2 = 1 − 2 = −1  + .
c) Incorreta
Contraexemplo: Se A = 2 e B = −1, então X = A − B = 2 − ( −1) = 2 + 1 = 3  A  B.
d) Correta
Considerando a desigualdade triangular W = A + B  A + B .
5) Um artista plástico fez um passeio por cidades históricas de Minas Gerais. Ele ficou
encantado com as janelas das casas do período colonial. Ao retornar ao seu ateliê,
resolveu reproduzir uma das janelas usando um programa de computador que produz,
em escala, as coordenadas cartesianas e as curvas de uma figura nele inserida. A figura
abaixo reproduz a janela colocada no programa de computador, com referencial nos
eixos cartesianos, e suas medidas em metros.
O arco superior da janela é parte de uma parábola, e as demais medidas apresentadas
indicam o formato dos polígonos utilizados no desenho. Considere a função real de grau
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2 dada por f ( x ) = ax 2 + bx + c que contém o arco superior da janela, com a, b, c   .
Analise as afirmativas abaixo e assinale a alternativa correta:
I) Se f ( x ) = 0  x  p,q , então p + q = 2.
II) a + b + c  2
III) 2a 2 = b
a) nenhuma afirmativa correta.
b) apenas uma afirmativa correta.
c) apenas duas afirmativas corretas.
d) todas as afirmativas corretas.
Resposta: c
Na figura, observamos que f ( 0) = f ( 2 ) = 1,8 e que f (1) = 2, 4 é o vértice da parábola.
2
Sabendo que f ( x ) = a ( x − x V ) + yV , onde ( x V , yV ) é o vértice da parábola e a o seu
coeficiente líder, então
2
f ( x ) = a ( x − 1) + 2, 4
2
f ( 0 ) = f ( 2 ) = 1,8  f ( 0 ) = a ( 0 − 1) + 2, 4 = 1,8  a = −0, 6
Portanto, a equação que representa a parábola é
2
f ( x ) = −0, 6 ( x − 1) + 2, 4 = −0, 6 ( x 2 − 2x + 1) + 2, 4 = −0, 6x 2 + 1, 2x + 1,8
Vamos agora analisar as afirmações.
I) Se f ( x ) = 0  x  p,q , então p + q = 2. (correta)
2
2
f ( x ) = −0, 6 ( x − 1) + 2, 4 = 0  ( x − 1) = 4  x = 1  2  x = −1  z = 3
x  −1,3  ( −1) + 3 = 2
II) a + b + c  2 (correta)
f (1) = a + b + c = 2, 4  2
III) 2a 2 = b (incorreta)
2
2  ( −0, 6 ) = 2  0,36 = 0, 72  1, 2 = b
6) Em 2024, a EPCAR foi notícia no âmbito da educação em nível nacional. O motivo
foi o excelente resultado obtido pelos alunos do 3° esquadrão na prova do Sistema de
Avaliação da Educação Básica (Saeb) junto ao Ideb (Índice de desenvolvimento da
educação Básica). À época, o Ideb da EPCAR foi de 7,9. Esse índice é divulgado pelo
Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira, e várias
organizações estudam sua evolução, muitas vezes com a intenção de propor políticas
públicas para melhorar a educação no Brasil. Nesse intento, a ONG Todos pela
Educação publicou seu Anuário Brasileiro da Educação Básica de 2024 apontando
estudos sobre o Ideb com dados estatísticos e gráficos. Dois desses estudos versam
sobre o desempenho médio da 3ª série do ensino médio entre as escolas públicas
brasileiras nas disciplinas de língua portuguesa e matemática. Abaixo estão os dois
gráficos que apresentam a evolução das notas de cada disciplina, no Saeb desde 2005 a
2023.
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Analise as afirmações abaixo quanto a sua veracidade sobre os gráficos e assinale a
alternativa correta.
a) Os períodos de crescimento dos índices no gráfico da evolução das notas de língua
portuguesa correspondem aos períodos de crescimento dos índices no gráfico da
evolução das notas de matemática.
b) A taxa de variação, no gráfico da evolução das notas de matemática, é maior do que
no gráfico da evolução das notas de língua portuguesa, no período de 2017 a 2019.
c) A média dos índices de língua portuguesa é maior que a média dos índices de
matemática.
d) Em ambos os gráficos há igualdade de quantidade de períodos de crescimento.
Resposta: d
Vamos analisar cada uma das opções de acordo com os gráficos.
a) Incorreta
Houve crescimento das notas de Língua Portuguesa de 2005 a 2009, de 2013 a 2015, de
2017 a 2019, e de 2021 a 2023.
Houve crescimento das notas de Matemática de 2005 a 2009, de 2015 a 2019, e de 2021
a 2023.
Portanto, os períodos de crescimento nos dois gráficos não são iguais.
b) Incorreta
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A taxa de variação no gráfico das notas de matemática de 2017 a 2019 é
269 − 260,3
8, 7
=
 0, 033, que é menor que a taxa de variação no gráfico das notas
260,3
260,3
273,3 − 260, 4 12,9
de língua portuguesa que é
=
 0, 050.
260, 4
260, 4
maior do que no gráfico da evolução das notas de língua portuguesa, no período de
2017 a 2019.
c) Incorreta
A média dos índices de língua portuguesa é
249,3 + 254,1 + 262, 2 + 261, 4 + 256, 6 + 260,9 + 260, 4 + 272,3 + 269,8 + 270, 2
= 261, 72
10
A média dos índices de matemática é
260,8 + 263, 7 + 265,9 + 265, 4 + 261,1 + 260 + 260,3 + 269 + 262, 7 + 264, 7
= 263,36
10
Logo, a média dos índices de matemática é maior que a média dos índices de língua
portuguesa.
d) Correta
Houve crescimento das notas de Língua Portuguesa de 2005 a 2009, de 2013 a 2015, de
2017 a 2019, e de 2021 a 2023. Logo, há 5 períodos de crescimento.
Houve crescimento das notas de Matemática de 2005 a 2009, de 2015 a 2019, e de 2021
a 2023. Logo, há 5 períodos de crescimento.
Portanto, em ambos os gráficos há igualdade de quantidade de períodos de crescimento.
7) Considere o quadro de medalhas abaixo, que reúne cinco países do continente
americano com melhor colocação no quadro de medalhas dos Jogos Olímpicos de Paris:
O sistema de pontuação para o desempenho esportivo é o seguinte:
• Medalha de ouro: 3 pontos
• Medalha de prata: 2 pontos
• Medalha de bronze: 1 ponto
Analise as afirmativas abaixo e assinale a alternativa correta:
I. Cuba obteve aproximadamente 55% a mais de pontuação que o Equador.
II. A soma das medalhas de ouro conquistadas por Canadá, Brasil, Cuba e Equador
3
equivale a do número de medalhas de ouro dos Estados Unidos.
8
III. A pontuação obtida pelo Brasil é um número múltiplo de 17.
a) nenhuma afirmativa correta.
b) apenas uma afirmativa correta.
c) apenas duas afirmativas corretas.
d) todas as afirmativas corretas.
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Resposta: c
Vamos calcular a pontuação de cada um dos países.
Estados Unidos: 40  3 + 44  2 + 42 1 = 250 pontos
Canadá: 9  3 + 7  2 + 111 = 52 pontos
Brasil: 3  3 + 7  2 + 10 1 = 33 pontos
Cuba: 2  3 + 1 2 + 6 1 = 14 pontos
Equador: 1 3 + 2  2 + 2 1 = 9 pontos
Vamos agora analisar as equação:
I. Correta
14 − 9 5
=  55%
9
9
II. Correta
3
9 + 3 + 2 + 1 = 15 =  40
8
III. Incorreta
O Brasil obteve 33 pontos que não é múltiplo de 17.
8) Duas cidades Alpha e Beta, estão implementando estratégias para recuperar áreas
desmatadas:
Estratégia 1: Ref de Alpha = reflorestar a hectares de área desmatada.
Estratégia 2: CO2 de Beta = compensar b toneladas de CO2 por ano.
Um estudo científico propôs índices para avaliar a eficácia das estratégias.
1°) Índice de Alpha (M)
Combina o reflorestamento atual com um ajuste entre as metas, dado por:
( Ref de Alpha )2  ( CO2 de Beta ) − ( Ref de Alpha )3
M = ( Ref de Alpha ) +
1 + ( Ref de Alpha )  ( CO2 de Beta )
2°) Índice de Beta (N)
Mede a sustentabilidade líquida, dado por:
( Ref de Alpha )  ( CO2 de Beta ) − ( Ref de Alpha )2
N = 1+
1 + ( Ref de Alpha )  ( CO2 de Beta )
A razão entre o índice de Alpha (M) e o índice de Beta (N), nessa ordem, é igual a:
a) Ref de Alpha
b) CO2 de Beta
c) Ref de Alpha +CO2 de Beta
d) ( Ref de Alpha )  ( CO2 de Beta ) − 1
Resposta: a
Seja Ref de Alpha =  e CO2 de Beta =  , então
M =+
N = 1+
 2  − 3  +  2  +  2  − 3  (1 + 2  −  2 )
=
=
1 +  
1 +  
1 +  
  −  2 1 +   +   −  2 1 + 2  −  2
=
=
1 +  
1 +  
1 +  
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M
=
N
 (1 + 2  −  2 )
1 +  
1 + 2  −  2
1 +  
=  = Ref de Alpha
9) O espaço interno de uma casa está representado na figura abaixo com as
denominações de cada um dos 10 cômodos retangulares na legenda.
Cada uma das expressões, em função de x, com x   *+ indicam as medidas, em
metros, de alguns espaços da casa. A soma de B3 com C1 é igual a 12 m 2 . A razão
G
é igual a
Q1 + B1
a) 2,7
b) 3,7
c) 3,9
d) 4,9
Resposta: a
3
 4x  
B3 + C1 = 
+ 1   x +  = 12  ( 4x + 5 )( 2x + 3) = 120  8x 2 + 22x − 105 = 0
2
 5
 
−22  62
21
5
x=
 x = − ( não convém )  x =
16
4
2
5
 5


G = ( 2x + 4 ) ( −4x + 16 ) =  2  + 4  −4  + 16  = 9  6 = 54
 2

2

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2
 x 13   x 13  
 x 13 
Q1 + B1 =  − +  +  − +    ( −4x + 16 ) −  − +  =
 2 4
 2 4   2 4  
2
  1 5 13   
5
  1 5 13 
=  2   −  +     −4  + 16  −  −  +  = 4  6 − 4 = 20
2
  2 2 4
  2 2 4  
G
54 27
=
=
= 2, 7
Q1 + B1 20 10
10) Um aluno, “brincando” com seu material de desenho geométrico, régua, compasso,
esquadro e transferidor, decidiu desenhar um semicírculo de centro O e raio r cm. Ele
considerou o diâmetro PQ como “base” do seu semicírculo. Tomando M como ponto
médio do segmento OQ, o aluno traçou uma mediatriz, passando por M e intersectando
o arco do semicírculo no ponto R. A razão entre os segmentos RM e PM , nessa
ordem, é igual a:
3
3
3
a)
b)
c)
d) 3
5
3
2
Resposta: b
r
Se M é ponto médio de OQ, então OM = MQ = .
2
r 3r
PM = PO + OM = r + =
2 2
Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo OMR, temos:
RM 2 + OM 2 = OR 2  RM 2 = r 2 −
r 2 3r 2
r 3
=
 RM =
.
4
4
2
r 3
RM
3
Portanto,
= 2 =
.
3r
PM
3
2
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11) Seja n o número 218 − 32, sabendo que o número 213 − 1 é primo. O número de
divisores naturais do número n é
a) 6
b) 8
c) 10
d) 12
Resposta: d
É dado que p = 213 − 1 é um número primo diferente de 2.
Como n = 218 − 32 = 25 ( 213 − 1) = 25  p , então a quantidade de divisores naturais de n é
d = ( 5 + 1) (1 + 1) = 12.
12) O mestre de matemática da Escola Preparatória de Cadetes do Ar (EPCAR), em
uma aula, pediu, na turma alpha, para os alunos formarem duplas. Na dupla, um aluno
seria o inventor da hipótese (AIH), e o outro aluno seria o julgador da hipótese (AJH).
Em seguida, o mestre propôs um desafio:
- O AIH teria que criar uma hipótese matemática e três afirmações a respeito do fato
apresentado.
- O AJH teria que verificar se as afirmações eram verdadeiras ou falsas.
As alunas Vampré e Pires, agora no segundo esquadrão, formaram dupla, na qual a
aluna Vampré, como AIH, sugeriu a seguinte hipótese:
Considere um número natural n formado por três algarismos não nulos.
A soma dos três algarismos de n é igual a 12, e o quadrado de um deles é
igual à soma dos outros dois.
Em seguida, ela construiu as três afirmações.
- Afirmação 1: n é sempre múltiplo de 3
- Afirmação 2: O 3 é sempre um dos algarismos de n
- Afirmação 3: Existem 21 valores possíveis para n
Se a aluna Pires, como AJH, resolveu de maneira correta a hipótese, então ela concluiu
que:
a) apenas a afirmação 1 é verdadeira.
b) apenas as afirmações 1 e 2 são verdadeiras.
c) apenas as afirmações 2 e 3 são verdadeiras.
d) todas as afirmações são verdadeiras.
Resposta: d
Sejam a, b, c  0 os três algarismos de n, em alguma ordem. Supondo, sem perda de
generalidade, que a 2 = b + c e b  c.
Se a + b + c = 12, então a + a 2 = 12  a 2 + a − 12 = 0  a = −4 ( não convém )  a = 3.
Como a = 3, então b + c = 32 = 9  ( b, c )  (8,1) ; ( 7, 2 ) ; ( 6,3) ; ( 5, 4 ).
Assim, temos as seguintes possibilidades:
Se ( a, b,c ) = ( 3,8,1) temos 6 valores possíveis para n.
Se ( a, b,c ) = ( 3,7, 2) temos 6 valores possíveis para n.
Se ( a, b,c ) = ( 3,6,3) temos 3 valores possíveis para n.
Se ( a, b,c ) = ( 3,5, 4 ) temos 6 valores possíveis para n.
Portanto, existem 6 + 6 + 3 + 6 = 21 valores possíveis para n.
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Vamos agora analisar as afirmações.
- Afirmação 1: n é sempre múltiplo de 3 (Verdadeira)
Como a soma dos algarismos de n é 12, que é múltiplo de 3, então n é múltiplo de 3.
- Afirmação 2: O 3 é sempre um dos algarismos de n (Verdadeira)
Um dos algarismos de n é sempre a = 3.
- Afirmação 3: Existem 21 valores possíveis para n (Verdadeira)
Vide desenvolvimento anterior.
13) No nosso cotidiano, podemos utilizar vários símbolos para facilitar a representação
em diversas situações. Na matemática, por exemplo, podemos encontrar:
SÍMBOLO
SIGNIFICADO
%
Porcentagem
Somatório

Módulo
Em uma aula de matemática, o professor definiu como parte inteira de um número
inteiro n, como sendo o maior inteiro que é menor ou igual a n. E criou o símbolo  n 
para representá-lo. Ou seja, 3,1 = 3 e  −1,8 = −2. Analise os números abaixo e
assinale a alternativa correta.
 20 ;  27331 ;  3 −12  ; ( −2,3)2 
13666 
2
a)  3 −12  = −2
b) ( −2,3)  = −5
2
c)  20   ( −2,3) 
 27331   27331 
=
d) 

13666   13666 
0
Resposta: d
Vamos analisar as alternativas.
a) Incorreta
−27  −12  −8  −3  3 −12  −2   3 −12  = −3
b) Incorreta
( −2,3)2  = 5, 29 = 5


c) Incorreta
2
16  20  25  4  20  5   20  = 4  5 = ( −2,3) 
d) Correta
1
27331 27332
 27331 
 27331 

=2 
=1= 


13666 13666
13666 
 13666 
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0
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14) Considere um triângulo ABC inscrito em uma circunferência de centro O, raio r cm
e que possui um segmento de reta que parte do vértice A, passa por O e intercepta o
ˆ mede 15. Analise as
lado BC em P. O lado AC mede r 3 cm, e o ângulo BAP
afirmativas abaixo e assinale a alternativa correta:
I. O triângulo APC é isósceles.
ˆ mede 120.
II. O ângulo APB
r
III. A altura do triângulo ABP em relação ao lado AP mede .
2
a) nenhuma afirmativa correta.
b) apenas uma afirmativa correta.
c) apenas duas afirmativas corretas.
d) todas as afirmativas corretas.
Resposta: c
A figura acima representa a situação descrita no enunciado.
Observe que AC = r 3 é o lado do triângulo equilátero inscrito numa circunferência de
ˆ = 120 e ABC
ˆ = 60.
raio r, então AOC
ˆ = 60 + 15 = 75.
ˆ é ângulo externo do triângulo ABP, então APC
O ângulo APC
OA = OC = r ,
Como
então
o
triângulo
AOC
é
isósceles
e
ˆ = OCA
ˆ = 180 − 120 = 30.
OAC
2
ˆ = APC
ˆ = 180 − 75 − 30 = 75. Como ACP
ˆ = 75,
No triângulo APC, temos ACP
então o triângulo APC é isósceles. (Afirmativa I é correta)
ˆ = 180 − 60 − 15 = 105. (Afirmativa II é incorreta)
No triângulo APB, temos APB
ˆ = 15.
ˆ = OAB
Como OA = OB = r , então o triângulo AOB é isósceles e OBA
ˆ = 15 + 15 = 30.
ˆ é ângulo externo do triângulo AOB, então BOP
O ângulo BOP
Seja BH a altura do triângulo ABP em relação ao lado AP.
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No triângulo retângulo OBH, temos sen 30 =
BH
BH 1
r

=  BH = . (Afirmativa
OB
r
2
2
III correta)
Portanto, apenas duas afirmativas estão corretas.
15) Uma pesquisa realizada por uma companhia aérea sobre a fluência de seus pilotos
em inglês, francês e português revelou que 1230 pilotos são fluentes em inglês, 1150
pilotos são fluentes em francês e 1080 pilotos são fluentes em português. Desses, 680
são fluentes em inglês e francês, 550 em inglês e português e 530 em francês e
português. Além disso, constatou-se que 250 são fluentes nas três línguas e que 120 não
são fluentes em nenhuma dessas línguas. Analise as afirmativas abaixo e assinale a
alternativa correta:
I. 690 pilotos são fluentes em uma única dessas três línguas.
II. 1010 pilotos são fluentes em duas dessas línguas.
III. A diferença entre a quantidade de pilotos que são fluentes apenas em inglês e apenas
em português é igual a 20.
a) nenhuma afirmativa correta.
b) apenas uma afirmativa correta.
c) apenas duas afirmativas corretas.
d) todas as afirmativas corretas.
Resposta: b
Vamos dispor as informações do enunciado em um diagrama de Venn-Euler,
começando o preenchimento pela interseção dos três conjuntos. No diagrama, I é o
conjunto dos pilotos fluentes em inglês, F é o conjunto dos pilotos fluentes em francês,
P é o conjunto dos pilotos fluentes em português, e U é o conjunto universo.
Vamos agora analisar as afirmativas.
I. 690 pilotos são fluentes em uma única dessas três línguas. (correta)
A quantidade de pilotos fluentes em uma única dessas três
250 + 250 + 190 = 690.
II. 1010 pilotos são fluentes em duas dessas línguas. (incorreta)
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línguas
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é
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A
quantidade
de
pilotos
fluentes
em
duas
dessas
línguas
é
430 + 300 + 280 + 250 = 1260.
III. A diferença entre a quantidade de pilotos que são fluentes apenas em inglês e apenas
em português é igual a 20. (incorreta)
A diferença entre a quantidade de pilotos que são fluentes apenas em inglês e apenas em
português é 250 − 250 = 0.
16) Os alunos Gabriel, Isabela e Maria Fernanda foram selecionados pelo Chefe do
Corpo de Alunos (CA) para realizarem uma vistoria em todas as instalações, incluindo
salas de aula e alojamentos que serão utilizados pelos candidatos aprovados no CPCAR
2026. Ao final dessa vistoria, devem apresentar um relatório com todas as discrepâncias
e sugestões de melhorias ao Chefe do CA para que este solicite ao setor responsável que
faça as devidas manutenções. Sabe-se que os três alunos juntos realizam toda a missão
em um tempo de t horas. Se a tarefa for realizada individualmente, o aluno Gabriel
necessitará do dobro do tempo t mais 1 hora para finalizar. A aluna Isabela, por sua vez,
faz a missão com o triplo do tempo dos três juntos, e a aluna Maria Fernanda, sozinha,
precisará do dobro de horas utilizadas por Gabriel menos 1 hora. Considerando
13  3, 6 e os tempos individuais de cada aluno, em minutos, pode-se afirmar que:
a) o tempo gasto por Gabriel possui 32 divisores inteiros.
b) o tempo gasto por Isabela é um número divisível por 19.
c) o tempo de Maria Fernanda é um número quadrado perfeito.
d) o tempo gasto por Maria Fernanda possui 24 divisores naturais.
Resposta: a
Os três alunos juntos realizam a tarefa em t horas.
Gabriel realiza a tarefa sozinho em 2t + 1 horas, então realiza
1
da tarefa em 1
2t + 1
hora.
Isabela realiza a tarefa em 3t horas, então realiza
1
da tarefa em 1 hora.
3t
Maria Fernanda realiza a tarefa em 2  ( 2t + 1) − 1 = 4t + 1 horas, então realiza
1
da
4t + 1
tarefa em uma hora.
1
1 
 1
Dessa forma, os três juntos realizam 
+ +
 da tarefa em 1 hora. Como
 2t + 1 3t 4t + 1 
eles realizam juntos a tarefa em t horas, então
1
1 
 1
+ +

t =1
 2t + 1 3t 4t + 1 
 3t ( 4t + 1) + ( 2t + 1)( 4t + 1) + 3t ( 2t + 1)  t = ( 2t + 1)  3t  ( 4t + 1)
 12t 2 + 3t + 8t 2 + 6t + 1 + 6t 2 + 3t = 24t 2 + 18t + 3
3  13
2
3 + 13 3 + 3, 6
t 0t =

= 3,3 h = 198 min.
2
2
 t 2 − 3t − 1 = 0  t =
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Vamos agora analisar as alternativas.
a) o tempo gasto por Gabriel possui 32 divisores inteiros. (correta)
O tempo gasto por Gabriel, em minutos, é 2 198 + 60 = 456 = 23  3 19, que possui
2  d ( 456 ) = 2  ( 3 + 1)  (1 + 1)  (1 + 1) = 32 divisores inteiros.
b) o tempo gasto por Isabela é um número divisível por 19. (incorreta)
O tempo gasto por Isabela, em minutos, é 3 198 = 594 = 2  33 11, que não é divisível
por 19.
c) o tempo de Maria Fernanda é um número quadrado perfeito. (incorreta)
O tempo gasto por Maria Fernanda, em minutos, é 4 198 + 60 = 852 = 22  3  71, que
não é um quadrado perfeito.
d) o tempo gasto por Maria Fernanda possui 24 divisores naturais.
A quantidade de divisores naturais do tempo gasto por Maria Fernanda, em minutos, é
d (852 ) = ( 2 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 12.
FIM DAS RESOLUÇÕES
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