T5. Filtratge: Resposta a múltiples freqüències
Index
1. Senyals en el domini de la freqüència
•
Senyals periòdics: Sèrie de Fourier
•
Espectre d’un senyal
•
Senyals no periòdics: Transformada de Fourier
•
Desplaçament freqüencial: modulació i FDM
2. Sistemes en el domini de la freqüència: Filtres
•
Tipus de filtres i els seus paràmetres freqüèncials
•
Guany de potencia en dB
•
Filtres de primer ordre
•
Filtres de segon ordre
Aeronautical Comunications
1
T5. Filtratge
x(t)
•
t
Introducció
L’anàlisi entre de la interacció entre
senyals i sistemes és més senzill en el
domini de la freqüència.
y(t)
t
Y
 H  jw 
X
X 1 cos w1t  x1 
Y1 cos w1t   y1 
w
+
w1
X 2 cos w2t   x 2 
w3
+
Y2 cos w2t   y 2 
 y  x  H  jw 
+
w1
X 3 cos w3t  x 3 
+
w2
w2 w3
w
+
Y3 cos w3t   y 3 
Sistema → Resposta en freqüència
+
etc.
Senyal → components freqüencials
etc.
Circuits i Sistemes Lineals
2
T5. Filtratge
Senyals en el domini de la freqüència
Senyals en el domini de la freqüència
•
Si x(t) és un senyal periòdic, de període T0, es pot trobar una sèrie de senyals sinusoidals, de
freqüències harmòniques, equivalent al senyal original:
2 T0
x(t)

t
T0
•
x  t   A0   An cos  n w0 t  n 
n 1
Sèrie trigonomètrica
de Fourier
Equivalent
a0 
   an cos  nw0 t   bn sin  nw0 t  
2 n 1 
Freq. harmòniques: mútiples
de la fonamental (w0)
1
Aplicant una de les fòrmules d’Euler cos    exp  j   exp   j   :
2

An
 An

x  t   A0    exp  j  n w0 t  n    exp   j  n w0 t  n    
2

n 1  2



n 
On: Cn 
Cn exp  j  n w0 t  n   
1
T0

n 
 x  t  exp   j n w t  dt
T0
0
C
n
exp  j n w0 t 
; A0  C0 ;
Sèrie exponencial de Fourier
Amb freqüències
positives i negatives!
An  2 Cn
3
T5. Filtratge
Senyals en el domini de la freqüència
Senyals en el domini de la freqüència
•
Exemple 5.1: Senyal quadrat
A
x t  
x(t)
T0
-A
  4A
  4A




cos  w0t   
cos  3w0t   
cos  5w0t    

2  3
2  5
2



4A
t
Harmònic
Fonamental
3er Harmònic
x1  t  
5e Harmònic
4A

cos w0t   2 
A
4A
x3  t  
cos  3w0t   2 
3
0
x5  t  
4A
cos  5w0t   2 
5
x1  t   x3  t 
-A
x1  t   x3  t   x5  t 
Circuits i Sistemes Lineals
4
T5. Filtratge
•
Senyals en el domini de la freqüència
Espectre: Representació de l’amplitud i la fase de les diferents components sinusoïdals
(cas unilateral) o exponencials (cas bilateral) d’un senyal en funció de la freqüència.
Espectre Unilateral
Amplitud
A1
A0
0
Fase
A2 A3 A
4
0
w
0
1
w0
2 3w0 …. w
2w0
w0 2w0 3w0 ....
3 
4
Espectre Bilateral
C4
C3 C2
Amplitud
C1
C1
C2 C3
C0
C4
.... 3w0 2w0 w0
0
-4 
-3
w
w0 2w0 3w0 ....
…
Fase
2w0 w0 0
0
3w0 -2
-1
Circuits i Sistemes Lineals
1
2 3w0 …. w
w0 2w0
3 
4
5
T5. Filtratge
Senyals en el domini de la freqüència
Filtratge d’un senyal periòdic: Amplitud
x(t)
1
H s 
t
2 ms
Espectre d’amplitud:
0
0
1
2
0.21
3
0
4
s  1.8 10  s  10
0.13
5
0 w (rad/s)
3
0.64  H  j103 
6 x 103
1
y t 

3 2
0.21  H  j 3·103 
0.13  H  j 5·103 
0.64
Guany:
0.5
0
2
Espectre d’amplitud:
0.64
0.5
1.8 103  s
0
0
0
1
2
0.12
3
0
0.05
4
5
w (rad/s)
6
x 103
w (rad/s)
0
1
2
3
4
5
6
x 103
Circuits i Sistemes Lineals
6
T5. Filtratge
Senyals en el domini de la freqüència
Filtratge d’un senyal periòdic: Fase
Espectre de Fase:
1
2
3
4
5
6 x
Espectre de Fase:
103
w (rad/s)
90º
90º
1
90º
3
Desfasament:
90º
0
90º
2
180º
0
1
2
3
4
5
6 x
103
w (rad/s)
4
5
3
6 x 10
w (rad/s)
-90º
-146º
90  H  j103 
-159º
90  H  j 5·103 
90  H  j 3·103 
y (t )  0.64 cos(103 t  90º )  0.12 cos(3·103 t  146º )  0.05cos(5·103 t  159º ) 
x(t)
y(t)
1
t
H  jw 
2 ms
t
2 ms
Circuits i Sistemes Lineals
7
T5. Filtratge
•
Exemple 5.1
•
Exemple 5.2
Senyals en el domini de la freqüència
Circuits i Sistemes Lineals
8
T5. Filtratge
Senyals en el domini de la freqüència
Senyals no periòdics
• La separació freqüencial dels harmònics és menor quan el període de repetició creix
x1  t 
X 1 w 
w  w1 
2
T1
w
T1
w1
0
X 2 w 
x2  t 
2w1
3w1 ....
w  w 2 
2
 w1
T2
w
T2 > T1
• Senyal no periòdic ≡ senyal de període ∞ → Distribució contínua de freqüències
x t 
1
x (t ) 
2
X w 
t
w
X (w ) 

 X (w ) exp  jwt  dw


 x(t ) exp   jwt  dt

Circuits i Sistemes Lineals
Transformada de Fourier
9
T5. Filtratge
Senyals en el domini de la freqüència
Propietat del desplaçament freqüencial de l’espectre (modulació)

F x(t )e
jw0t


   x(t ) exp  jw t  exp   jwt  dt   x(t ) exp  j w  w  t  dt  X (w  w )
0
0

0

1
1

 1
F  x(t ) cos(w0t )  F  x(t ) exp  jw0t   exp   jw0t     X (w  w0 )  X (w  w0 )
2
2

 2
x t 
x  t  cos w0t 
cos w0t 
X (w )  F  x (t )
Espectres
A
Modulació d’amplitud
F  x (t ) cos(w0t )
A/2
w
w
B
-w0
Circuits i Sistemes Lineals
w0  B w0
w0  B
10
T5. Filtratge
Senyals en el domini de la freqüència
Multiplexació per divisió de freqüència (FDM)
– És una tècnica que permet transmetre diferents missatges per el mateix medi
– Es basa en la propietat de la modulació de la transformada de Fourier
X 2 (w )
cos w2t
X 1 (w )
X 1 (w )  X 2 (w )  X 3 (w )
cos w1t
Filtre per a recuperar
X2(w) en recepció
w1
w2
w3
X 3 (w )
cos w3t
– En recepció cada senyal es discrimina amb un filtre sintonitzat
– I el senyal rebut s’ha de demodular
11
T5. Filtratge
Senyals en el domini de la freqüència
Exemple d’aplicació de la FDM: Gestió de l’espectre radioelèctric. Organismes a diferents
nivells assignen bandes de freqüència als diferents serveis per ràdio i atorguen llicències.
Exemples
Asignación de frecuencias de Radiodifusión sonora comercial
(Bandas de AM y FM)
•
Margen de frecuencias: 540 – 1600 kHz (AM), 88 – 108 MHz (FM)
•
Ancho de banda ocupado por cada emisión: 10 kHz (AM), 275 kHz
(AM)
Asignación de canales de Radiodifusión de TV terrestre
(TDT)
•
Margen de frecuencias: 470 – 862 MHz
•
Ancho de banda ocupado por cada multiplex (3-4 emisiones
digitales): 8 MHz
UHF (300 MHz – 3 GHz)
UHF Banda V
UHF Banda IV
canal
21 22 23
470 MHz
36 37 38 39
606 MHz
48
8 MHz
Circuits i Sistemes Lineals
69
f
862 MHz
12
T5. Filtratge
Sistemes en el domini de la freqüència: Filtres
Classificació dels filtres
Filtre Passabaix
w1
w2 w3
w
w
wc
w1
w2 w3
w1
w2 w3
w1
w2 w3
w1
w2 w3
w
Filtre Passaalt
w1
w2 w3
w
w
wc
w
Filtre Passabanda
w1
w2 w3
w
wc1
wc2
w
w
Filtre Bda. Eliminada
w1
w2 w3
w
wc1
wc2
w
Circuits i Sistemes Lineals
w
13
T5. Filtratge
Sistemes en el domini de la freqüència: Filtres
Filtres reals
Filtre Passabaix ideal
Filtre Passabaix real
Meitat de
potència
H  jw 
H  j0
H  j0
H  j0
BW
H  jw 
wC : Frequencia de tall
BW : Ample de Banda
2
BW
w
w
wC
wC
Banda de pas
Banda atenuada
Filtre de banda eliminada
H  jw  max
H  j 
H  jw  max
2
H  j 0
H  j 0
2
BW
2
w
w
wC
Banda atenuada
Filtre Passabanda
Filtre Passaalt
H  j 
Banda de pas
wC 1
wC 2
BW
Circuits i Sistemes Lineals
w
wC 1
wC 2
BW
14
T5. Filtratge
Sistemes en el domini de la freqüència: Filtres
Guany de potència
Guany de potència: Quocient entre les potències a la sortida i a l’entrada del filtre
Si s’utilitza una resistència de referència, aquestes potències es poden expressar en funció
de l’amplitud dels senyals corresponents.
Sortida
Entrada
Vin
Pin 
+
Vin
R

Vin
+

Vin H  jw 
2
Pout 
Guany de potencia en dB
H  jw 
R
Vout

Vout  Vin  H  jw 
2
1
2
Vin Re Y  
2
2R
Guany de potència
+
2R
2
 Pin H  jw 
2
Pout
GP  jw  
 H  jw 
Pin
Pout
GP  dB  10log
 20log H  jw 
Pin
Circuits i Sistemes Lineals
15
2
T5. Filtratge
Sistemes en el domini de la freqüència: Filtres
Representació gràfica de la resposta en freqüència d’un filtre
Mòdul: Escala semilogarítmica
Fase: Escala semilogarítmica
• Eix de freqüència logarítmic: log w
• Eix de freqüència logarítmic: log w
• Eix d’amplificació: Gp(dB) = 20·log ǀH(jw)ǀ
• Eix de desfasament: H(jw)
Guany de
2
H  jw  20 log H  jw 
potència
105
104
103
102
101
100
10-1
10-2
10-3
10-4
10-5
50
40
30
20
10
0
-10
-20
-30
-40
-50
10
00
10-2
Guany (dB)
10-1
100
1
101
10
22
3
10
44
Angular velocity (rad/s)
102
103
104
5
105
10
66
106
7
107
log w
w (rad/s) 16
T5. Filtratge
Sistemes en el domini de la freqüència: Filtres
Representació gràfica de la resposta en freqüència d’un filtre
Exemple de representació de la corba de guany de dos filtres
GP max  20log H
Freq. de tall:
max
H 
 0 dB  H
H
max
1
0
-3
-6
-9
1


2
2
max
-12
-15
-18
Filtre A (passabaix)
0 dB
dB
 GP  GP max  20log 2  GPmax - 3 dB
• Guany màxim: 0 dB
• Freqüència de tall: fC = 50 Hz
• Ample de banda: BW = fC = 50 Hz
Filtre B (passabanda)
• Guany màxim: 0 dB
-21
-24
-27
-30
Filtre A
A
Filtre
Filtre B
B
Filtre
-33
-36
-39
-42 0
10
• Freqüències de tall: fC1,2 = 400 Hz, 2000 Hz
• Ample de banda: BW = fC2 – fC1 = 1600 Hz
1
10
2
10
3
4
10
10
freq [Hz]
5·101 Hz 5·102 Hz 2·103 Hz
17
T5. Filtratge
Sistemes en el domini de la freqüència: Filtres
Filtres de primer ordre
Filtre passabaix
H ( s) 
k
sa
 H ( jw ) 
k
jw  a
k
k
 w  0  H  jw  

jw  a a
k
 w  a  H  ja  
a  ja
a
k

H
j
w




 
a
H  0

H  j0
k

 H  ja  
 
a 2
2
   45º
 H
k
k
 w    H  jw  

jw  a jw
Circuits i Sistemes Lineals
 H  jw   0
 
 H  90º
18
T5. Filtratge
k a
Sistemes en el domini de la freqüència: Filtres
0
H  jw 
k a
2
H  jw 
 4
0
a
log w
 2
log w
a
a  wC = BW
En una representació semilogarítmica del Guany (dB), la transició entre les bandes de pas i
atenuada és assimptòticament lineal, amb un pendent de 20 dB/dècada ≈ 6 dB/octava
20 log
k
a
1 oct 
freq x 2
-3 dB
-6 dB
Gp (dB)
1 dec  freq x 10
-20 dB
log w
a
4 4·104
Circuits i Sistemes
2·10Lineals
105
106
∞
19
T5. Filtratge
Sistemes en el domini de la freqüència: Filtres
Filtres de primer ordre
Filtre passaalts
s
H ( s)  k
sa
jw
 H ( jw )  k
jw  a
a
 H  jw   0
 
 H  90º
jw
jw
 w  0  H  jw   k
k
jw  a
a
ja
jk
 w  a  H  ja   k

a  ja 1  j
k

 H  ja  
 
2
   45º
 H
jw
jw
 w    H  jw   k
k
k
jw  a
jw
Circuits i Sistemes Lineals
 H  jw   k
 
 H  0º
20
T5. Filtratge
k
k
2
Sistemes en el domini de la freqüència: Filtres
 2
H  jw 
H  jw 
 4
a
log w
a  wC = BW
0
log w
a
En una representació semilogarítmica del Guany (dB), la transició entre les bandes atenuada
i de pas és assimptòticament lineal, amb un pendent de 20 dB/dècada ≈ 6 dB/octava
20 log k
-3 dB
+20dB
1 dec 
freq x 10
∞
105
Gp (dB)
a
Circuits i Sistemes
106 Lineals
log w
21
T5. Filtratge
•
Sistemes en el domini de la freqüència: Filtres
Exemple 5.3
•
Exemple 5.4
C
1 kW
1. Trobeu H(s)
2. Quin tipus de filtre és?
3. Comproveu-ho utilitzant les equivalencies
dels elements a freqüències extremes (0 i ∞).
4. Quin és el seu ample de banda?
•
1. Trobeu H(s)
2. Quin tipus de filtre és?
3. Comproveu-ho utilitzant les equivalències
dels elements a freqüències extremes (0 i ∞).
4. Quan ha de valer C per a que l’ample de
banda d’aquest filtre sigui igual a 10 kHz?
Exemple 5.5
Deduiu el tipus de resposta que correspon a cadascun dels següents circuits a partir de (1) les
equivalencies dels elements a freqüències extremes i (2) la seva funció de transferència.
C
R
R
Circuits i Sistemes Lineals
L
22
T5. Filtratge
Sistemes en el domini de la freqüència: Filtres
Filtres passa-tot
sa
H ( s)  k
sa
jw  a
 H ( jw )  k
jw  a
H  jw 
k
a

a
H  jw 
 2
w  rad s 
0
a
w  rad s 
Exemples
Circuits i Sistemes Lineals
23
T5. Filtratge
Sistemes en el domini de la freqüència: Filtres
Filtres de segon ordre
•
Els filtres de 2on ordre permeten implementar respostes passa banda i banda
eliminada.
•
Les respostes tipus passa baix i passa alt presenten transicions més abruptes (més
pròximes a les ideals).
•
La funció de transferència d’un filtre de 2on ordre és sempre:
N  s
b2 s2  b1s  b0
H  s  2
 2
s  bs  c s  2 w0 s  w02
: coeficient d’esmorteïment
w 0: Freqüència natural (w 0 > 0)
•
El denominador
determina l’estabilitat del filtre i
paràmetres numèrics descriptius de la seva resposta en freqüència.
•
El numerador
determina el tipus de filtre.
Circuits i Sistemes Lineals
24
T5. Filtratge
Sistemes en el domini de la freqüència: Filtres
Filtre passabanda
H s 
Amplificació:
b1 s
s 2  b s  w02
H  jw  
 H  jw  
b1 w
w
2
0
w
  b w 
2 2
2

j b1 w
w 2  j b w  w02
b1
2
 w w 
2

 b
 w 
2
0
2
j b1 w
b1 w
w  0  H  jw   2

j
w0  w 2   j b w w02
w  w0  H  jw0  
b1
b
H  jw  MAX  H  jw0  
 H  jw   0
 
 H  jw    2 rad
b1

H
j
w

H
j
w

  MAX
  0
2w0
 
   jw   0 rad
0
 H
j b1 w
b1
w    H  jw   2


j
w
 w0  w 2   j b w
Circuits i Sistemes Lineals
 H  jw   0
 
 H  jw     2 rad
25
b1
b
T5. Filtratge
Freqüències de tall 
Sistemes en el domini de la freqüència: Filtres
H  jwc  
H  jw0 
2
b1 s
H s  2
s bsc
BW3dB  wc 2  wc1  2  w0  b
wc1  wc 2  w
H
H
max
max
b
 1
b
 wc1 , wc 2  w0 1   2  w0
2
BW w0
2
0
Amplificació
H  jw 
2
/2
Desfasament
H  jw 
/4
0
/4
w c1 w 0 w
c2
log w
/2
w c1 w 0 w c2
log w
BW3dB  wc 2  wc1  b
Circuits i Sistemes Lineals
26
T5. Filtratge
Sistemes en el domini de la freqüència: Filtres
En una representació semilogarítmica del Guany (dB), les transicions entre la banda de pas i
les bandes atenuades és assimptòticament lineal, amb pendent ±20 dB/dècada ≈ ± 6 dB/octava
G p max  20 log
b1
b
Gp (dB)
-3 dB
-20 dB/dec
-6 dB/oct
+20 dB/dec
+6 dB/oct
∞
•
w c1 w 0 w c2
log w
∞
Exemple 5.6
1. Trobeu H(s)
2. Quin tipus de filtre és?
3. Proposeu els valors de R, L i C per a
que w0 = 104 rad/s i BW = 103 rad/s
Circuits i Sistemes Lineals
27
T5. Filtratge
Sistemes en el domini de la freqüència: Filtres
Filtre passabaix
H s 
b0
s 2  b s  w02
b0
w 2  j b w  w02
 H  jw  
w  0  H  jw  
w
w  w0  H  jw0  
b0
2
0
w
b0
j b w0
2
  j bw

b0
w02
b0

H
j
w




w02
 
   jw   0 rad
 H
b0

H
j
w

  0  bw
 
0
   jw     2 rad
0
 H
b0
b0
w    H  jw   2

2
w0  w   j b w w 2
Circuits i Sistemes Lineals
 H  jw   0
 
 H  jw    rad
28
T5. Filtratge
H  jw  
Sistemes en el domini de la freqüència: Filtres
b0
w
2
0
w
   2 w w 
2 2
d H  jw 
Màxim:
2
dw
0
w  0
0  
(Només si
2
w  w0 1  2  w0   1 2 )
Desfasament
Amplificació
0
b0
w
2
0
b0
 1 2
 1 2
 1 2
/2
2w02
log w
w0
 1 2
 1 2
 1 2


w  w0 1  2 2 Nomes si  <1
2

w0
log w
Cas particular: Filtre de Butterworth
Banda de pas màximament plana, sense pic de ressonància

1
 0.7
2
H  jw0  
b0
w
2
0
Cas particular: Filtre de Chebyshev
2


H  j0
Freq. de tall i Ample de banda = w0
2
1
2
Banda de pas amb pic de ressonància
Circuits i Sistemes Lineals
29
T5. Filtratge
Sistemes en el domini de la freqüència: Filtres
En una representació semilogarítmica del Guany (dB), la transició entre les bandes de pas i
atenuada és assimptòticament lineal, amb un pendent de 40 dB/dècada ≈ 12 dB/octava
G p  j 0   20 log
b0
Gp (dB)
w02
-3 dB
 1
2
 1
2
 1
2
-40 dB/dec
-12 dB/oct
w0
•
log w
Exemple 5.7
R
+
V1

L
C
+
V2

1. Trobeu H(s)
2. Quin tipus de filtre és?
3. Trobeu el valor de R més petit que assegura que no apareix pic
de ressonància en la corba de guany (L = 1 mH, C = 10 mF)
Circuits i Sistemes Lineals
30
T5. Filtratge
Sistemes en el domini de la freqüència: Filtres
Filtre de banda eliminada
Exemple:
+
s 2  w02
H  s  k 2
s  b s  w02
k
k
2
R
L
V1

Guany
/2
BW3dB  wc 2  wc1
+
V2

C
Desfasament
/4
0
/4
w c1
w0
w c2
Anàlogament al filtre passa-banda:
log w
/2
BW3dB  wc 2  wc1  2  w0
wc1  wc 2  w02
Circuits i Sistemes Lineals
w c1
w0
H s 
w c2
log w
b1 s
s2  b s  c
2
BW w0
31
T5. Filtratge
Sistemes en el domini de la freqüència: Filtres
Filtre passaalts
Exemple:
R
V1

Amplificació
L
Desfasament

 1 2
 1 2
 1 2
b2
/2
 1 2
 1 2
 1 2
w0
0
log w
w  w0
+
V2

+
b2 s 2
H  s  2
s  b s  w02
b2
2
C

1  2 2 Nomes si  <1
2

w0
log w
Anàlogament al filtre passa-baix:
•
Filtre de Butterworth:  
1
 0.7
2
• Banda de pas màximament plana
• Ample de banda = wc = w0
• Corba de guany (dB) amb transició entre bandes de +40 dB/dec = +12 dB/oct
•
Filtre de Chebyshev:  
1
2
Banda de pas amb pic de ressonància
32
T5. Filtratge
Sistemes en el domini de la freqüència: Filtres
0   1
Filtre passa tot
s 2  b s  w02
H s  k 2
s  b s  w02
Guany:
w

H  jw   k
w

w

H  jw   k
w
2
0
2
0
2
0
w
2
2
0
w
2
  j 2 w w
  j 2 w w
0
 w 2   j 2  w0w
 w 2   j 2  w0w
k
k
0
0º
Desfasament:
H  jw 
 1
 2  w0w 
 2 atan  2
2 
w

w
 0

  0.7
  0.7
180º
360º
w0
Exemples:
Circuits i Sistemes Lineals
33