Repaso de Cálculo 1
Capítulo 2: Límites y funciones
Sección 2.2 El límite de una función
Suponga que f(x) está definida cuando x está cerca del número a. (Esto significa que f está
definida en algún intervalo abierto que contiene a a, excepto posiblemente en a misma.)
Entonces se escribe
𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = 𝐿
→
y se dice que “el límite de f(x), cuando x tiende a a, es igual a L” si se puede hacer que los
valores de f(x) estén arbitrariamente cercanos a L (tan cercanos a L como se quiera), tomando
valores de x suficientemente cerca de a (por ambos lados de a), pero no iguales a a.
Cuando se escribe
𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = 𝐿
→
se expresa que el límite por la izquierda de f(x) cuando x se aproxima a a [o el límite de f(x)
cuando x tiende a a por la izquierda] es igual a L si se puede hacer que los valores de f(x) se
acerquen arbitrariamente a L, tanto como se quiera, tomando x suficientemente cercanos a a,
pero menores que a.
Del mismo modo, si se requiere que x sea mayor que a, se obtiene que “el límite por la
derecha de f(x) cuando x tiende a a es igual a L” y se escribe
𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = 𝐿
→
Como consiguiente: 𝑙𝑖𝑚𝑓(𝑥) = 𝐿 si y solo si 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = 𝐿 y 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = 𝐿
→
→
→
Sea f una función definida por ambos lados de a, excepto posiblemente en la misma a.
Entonces
𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = ∞
→
significa que los valores de f(x) pueden hacerse arbitrariamente grandes (tan grandes como se
quiera), tomando x suficientemente cerca de a, pero no igual a a. Infinito no es un número,
pero la expresión 𝑙𝑖𝑚𝑓(𝑥) = ∞ se lee a menudo como “el límite de f(x), cuando x tiende a a,
es infinito”.
→
Sea f definida por ambos lados de a, excepto posiblemente en a misma. Entonces
𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = −∞
→
significa que los valores de f(x) pueden ser negativos arbitrariamente grandes, tomando x
suficientemente cerca de a, pero no igual a a.
La recta x = a se llama asíntota vertical de la curva y = f(x) si al menos uno de los
enunciados siguientes son verdaderos:
Sección 2.3 Calculando límites usando las leyes de los límites
En la sección 2.2 se utilizan calculadoras y gráficas para inferir los valores de un límite, pero
se observa que estos métodos no siempre conducen a la respuesta correcta. En esta sección se
utilizan las propiedades de los límites siguientes, llamadas leyes de los límites, para
calcularlos.
Suponga que c es una constante y que los límites
𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = 𝐿
→
y
𝑙𝑖𝑚 ℎ(𝑥) = 𝐿
→
existen. Entonces
1. Ley de la suma: 𝑙𝑖𝑚 [𝑓(𝑥) + ℎ(𝑥)] = 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) + 𝑙𝑖𝑚 ℎ(𝑥)
→
→
→
2. Ley de la diferencia: 𝑙𝑖𝑚 [𝑓(𝑥) − ℎ(𝑥)] = 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) − 𝑙𝑖𝑚 ℎ(𝑥)
→
→
3. Ley del múltiplo constante: 𝑙𝑖𝑚 [𝑐𝑓(𝑥)] = 𝑐𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥)
→
→
→
4. Ley del producto: 𝑙𝑖𝑚 [𝑓(𝑥)ℎ(𝑥)] = 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) ∗ 𝑙𝑖𝑚 ℎ(𝑥)
→
5. Ley del cociente: 𝑙𝑖𝑚
→
→
( )
→
=
( )
( )
( )
→
→
, si 𝑙𝑖𝑚 ℎ(𝑥) ≠ 0
→
6. Ley de la potencia: 𝑙𝑖𝑚 [𝑓(𝑥)] = [𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥)]
→
7. Límites de una constante: 𝑙𝑖𝑚 𝑐 = 𝑐
→
→
8. Límite de una variable: 𝑙𝑖𝑚𝑥 = 𝑎
→
9. Límite de una variable con exponente: 𝑙𝑖𝑚 𝑥 = 𝑎 , donde n es un número natural
→
10. Límite de una variable con raíz: 𝑙𝑖𝑚 √𝑥 = √𝑎, donde n es un número natural
→
11. Ley de la raíz: 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) =
𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥), donde n es un número natural
→
→
Propiedad de la sustitución directa: Si f es una función polinomial o una función racional y a
está en el dominio de f, entonces
𝑙𝑖𝑚𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)
→
Si 𝑓(𝑥) = ℎ(𝑥) cuando 𝑥 ≠ 𝑎, entonces 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚 ℎ(𝑥), siempre que el límite exista.
→
→
Algunos límites se calculan mejor encontrando primero los límites por la izquierda y por la
derecha. El siguiente teorema es un recordatorio de lo que se descubrió en la sección 2.2. Se
dice que los límites por los dos lados existen si y solo si ambos límites existen y son iguales.
1. Teorema: 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = 𝐿 si y solo si 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = 𝐿 y 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = 𝐿
→
→
→
Cuando se calculan los límites laterales, se utiliza el hecho de que las leyes de los límites
también son válidas para los límites laterales.
2. Teorema: Si 𝑓(𝑥) ≤ ℎ(𝑥) cuando x tiende a a (excepto posiblemente en a) y los
lı́mites de f y h existen cuando x tiende a a, entonces
𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) ≤ 𝑙𝑖𝑚 ℎ(𝑥)
→
→
3. Teorema de la compresió n (sá ndwich/apretó n): Si 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) ≤ ℎ(𝑥) cuando x
tiende a a (excepto posiblemente en a) y
𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚 ℎ(𝑥) = 𝐿
→
Entonces:
Ejemplo:
Para demostrar que
→
𝑙𝑖𝑚 𝑔(𝑥) = 𝐿
→
𝑙𝑖𝑚𝑥 sin
→
1
=0
𝑥
es cierto, hay que reconocer que no se puede igualar a 𝑙𝑖𝑚 𝑥 ∗ 𝑙𝑖𝑚 sin debido a que sin
→
no está definido cuando 𝑥 = 0.
→
En su lugar se aplica el teorema de la compresión, por lo que se tiene que encontrar una
función f menor que 𝑔(𝑥) = 𝑥 sin y una función h mayor que g tal que tanto f(x) como
h(x) tiendan a 0. Para hacer esto, se utiliza lo que se sabe de la función seno. Ya que el seno
de cualquier número está entre -1 y 1, se puede escribir
−1 ≤ 𝑠𝑖𝑛
1
≤1
𝑥
Cualquier desigualdad permanece válida cuando se multiplica por un número positivo.
Se sabe que 𝑥 ≥ 0 para toda x, así multiplicando cada lado de la desigualdad por 𝑥 , se
obtiene
−𝑥 ≥ 𝑥 𝑠𝑖𝑛
1
≥𝑥
𝑥
Utilizando la propiedad de la sustitución directa, se sabe que lo siguiente:
y
𝑙𝑖𝑚 𝑥 = 0
→
𝑙𝑖𝑚(−𝑥) = 0
→
Usando el teorema de la comprensión:
𝑙𝑖𝑚𝑥 sin
→
1
=0
𝑥
Sección 2.5 Continuidad
En la sección 2.3, se vio que el límite de una función cuando x tiende a a, con frecuencia
se obtiene simplemente calculando el valor de la función en a. Las funciones con esta
propiedad son llamadas continuas en a.
Definición 1. Una función f es continua en un número a si
𝑙𝑖𝑚𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)
→
Observe esta definición requiere implícitamente si f es continua en a
1. f(a) está definida.
2. 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) existe.
→
3. 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎).
→
Si f tiene un intervalo abierto alrededor de a, excepto posiblemente en a, se dice que f es
discontinua en a o f tiene una discontinuidad en a. La gráfica de una función continua se
pudiera crear manualmente sin levantar el lápiz del papel.
El tipo de discontinuidad que se muestra en los incisos (a) y (c) se llama removible porque se
puede quitar la discontinuidad redefiniendo f solo en 2. [La función 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 1 es
continua.] La discontinuidad en el inciso (b) se llama discontinuidad infinita. Las
discontinuidades en el inciso (d) se llaman discontinuidades de salto porque la función
“salta” de un valor a otro.
Definición 2. Una función f es continua por la derecha en un número a si
𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)
→
y f es continua por la izquierda en a si
𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)
→
En cada entero n, la función 𝑓(𝑥) = [[𝑥]] es continua por la derecha, pero descontinua por la
izquierda porque 𝑙𝑖𝑚 [𝑥] = 𝑛 = 𝑓(𝑛) pero 𝑙𝑖𝑚 [𝑥] = 𝑛 − 1 ≠ 𝑓(𝑛).
→
→
Definición 3. Una función f es continua en un intervalo si es continua en cada número en el
intervalo. (Si f está definida solo en un lado de un punto final del intervalo, entienda que
continua en el punto final significa continua por la derecha o continua por la izquierda.)
Ejemplo:
Para demostrar que la función 𝑓(𝑥) = 1 − √1 − 𝑥 es continua en el intervalo [-1, 1] se
utilizaran las leyes de los límites:
𝑙𝑖𝑚 1 − 1 − 𝑥
→
= 1 − 𝑙𝑖𝑚 1 − 𝑥 = 1 − 1 − 𝑎 = 𝑓(𝑎)
→
Así, f es continua en a si −1 < 𝑎 < 1. Cálculos similares muestran que
𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = 1 = 𝑓(−1)
→
y
𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = 1 = 𝑓(1)
→
Teorema 4. Si f y g son continuas en a, y c es una constante, entonces las funciones siguientes
son también continuas en a:
1. 𝑓 + ℎ
2. 𝑓 − ℎ
3. 𝑐𝑓
4. 𝑓ℎ
5. , si ℎ(𝑎) ≠ 0
De este teorema es donde se obtienen las leyes de los límites.
Teorema 5. (a) Cualquier función polinomial es continua en todo su dominio; es decir, es
continua en ℝ = (−∞, ∞).
(b) Cualquier función racional es continua siempre que esté definida; esto es, es
continua en su dominio.
Teorema 7. Los tipos de funciones siguientes son continuos en todo número de sus dominios:
polinomios, funciones racionales, funciones raíz, funciones trigonométricas, funciones
trigonométricas inversas, funciones exponenciales, y funciones logarítmicas.
Teorema 8. Si f es continua en b y 𝑙𝑖𝑚 ℎ(𝑥) = 𝑏, entonces 𝑙𝑖𝑚 𝑓 ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑏). En otras
→
palabras,
→
𝑙𝑖𝑚 𝑓 ℎ(𝑥) = 𝑓 𝑙𝑖𝑚 ℎ(𝑥)
→
→
Teorema 9. Si h es continua en a y f es continua en h(a), entonces la función compuesta dada
por f(h(x)) es continua en a.
Teorema del valor intermedio 10. Suponga que f es continua en el intervalo cerrado [a, b] y
sea N cualquier número entre f(a) y f(b), donde 𝑓(𝑎) ≠ 𝑓(𝑏). Entonces existe un número c en
(a, b) tal que f(c) = N.
Sección 2.6 Límites que envuelven el infinito; asíntotas horizontales
Definición 1. Sea f una función definida en algún intervalo (a, ∞). Entonces
𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = 𝐿
→
significa que los valores de f(x) se pueden aproximar arbitrariamente a L tanto
como se quiera, eligiendo a x suficientemente grande.
Definición 2. Sea f una función definida en algún intervalo (-∞, a). Entonces
𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = 𝐿
→
significa que los valores de f(x) se pueden hacer arbitrariamente cercanos a L haciendo que x
sea suficientemente negativa.
Definición 3. La recta y = L se llama asíntota horizontal de la curva y = f(x) si
𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = 𝐿
→
o
𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = 𝐿
→
Teorema 5. Si r > 0 es un número racional, entonces
𝑙𝑖𝑚
→
=0
y
𝑙𝑖𝑚
→
=0