Observaciones: La idea de un material de estudio es apoyar el conocimiento visto en clase, v´ıa
la solucio´n de algunos ejercicios por parte de los estudiantes. Los estudiantes resolver´an estos
ejercicios como apoyo de estudio, el cual ser´a apoyado mediante los horarios de asesor´ıa del
docente, o eventualmente solucio´n de algu´n ejercicio en clase, con fines de refuerzo. Esta actividad
no es calificable.
1. Muestre que
.
2. Sean z1 = 4 − 5i y z2 = 2 + 3i. Encontrar (en la forma x + iy)
a) z1z2
d)
2
b) (z1 + z2)
e)
c)
f ) z 1z 1
3. Encuentre
a)
b)
Re
Imd) Im
c) Re
z
4. Demuestre que z es un imaginario puro si y solo si z = −z.
5. Demuestre que multiplicar por i corresponde a una rotacio´n en sentido contrario de las
manecillas del reloj del vector correspondiente a trav´es del a´ngulo . 6. Encuentre
a) |1 + 2i|
4
c) |cosθ + isenθ|
4
b) |z |,|z| de manera general para un z = z + 1 x + iy
z−1
7.
Represente en forma polar
a)
1+i
d)
b)
−3
d)
1
c)
8.
e)
Use la forma polar de los nu´meros complejos para probar que si z1 y z2 son dos nu´meros
complejos, entonces
a) |z1z2| = |z1||z2|
z1
|z1|
b) = d) arg, z2
9.
c) arg(z1z2) = argz1 + argz2
|z2|
Encuentre todos los valores de las siguientes ra´ıces y graficarlas en el plano complejo:
√
√
a) i d) 4 −1
√
√
5
b) −8i
e) −1
√
√
8
3
c)
1
f) 1+i
10. Resuelva las ecuaciones
a)
z2 + z + 1 + i = 0
b)
z2 + (5 + i)z + 8 + i = 0
c)
z4 − 3(1 + 2i)z2 − 8 + 6i = 0
2