Ejm.-Demuestre que: lim
x 1
1
1

x 1
2
Dem.1
1
lim

  0,    0 / Si x  1,   0 | x  1|  |
x 1
x 1
2
1
1

|
x 1
2
1
1
2  x 1
2  x 1 2  x 1
2  ( x  1)

||
||
.
||
|
x 1
2
2 x 1
2 x 1
2  x 1
2 x  1( 2  x  1)
1 x
|1  x |
1
|
|

| x  1|
2 x  1( 2  x  1) | 2 x  1( 2  x  1) | | 2 x  1( 2  x  1) |
1
1

| x  1|
| x  1|| x  1|
2 x  1( 2  x  1)
x 1
Como x  1 | x  1| 1
Basta dar   Min{1,}
 1  x  1  1
 1  x 1  3
|
 1  x 1  3
1
1
1

x 1
3
1
1
lim 3    0,    0 / Si x 
x 8
x 2
 {0}  0 | x  8 |  |
2
1 1
 |
x 2
3
1 1 2 3 x
2  3 x 4  23 x  3 x
8 x
1
| 3  || 3
|| 3 .
||
|
| x 8|
2
2
2
x 2
2 x
2 x 4  23 x  3 x
2 3 x ( 4  2 3 x  3 x ) 2 3 x (4  2 3 x  3 x )
1
1
 3 | x  8 | 3 | x  8 |
2 x
2 7
| x  8 | 2 3 7 
Basta dar   Min{1, 2 3 7 }
(a  b)(a 2  ab  b 2 )  a 3  b3
Como x  8  | x  8 | 1
 1  x  8  1
7 x9
373x39
1
1
1
 3 3 3
7
x
9
2
x 4
Sea f ( x) 
x2
x2  4
lim f ( x)  lim
4
x2
x2 x  2
PROPIEDADES SOBRE LÍMITES
1.- lim k  k
x  x0
2.- lim x  x0
x  x0
3.- lim x n  x0 n Siempre que x0n exista
x  x0
lim x
1
2
x 1
 (1)
1
2
 1 
Sean f y g funciones tale que lim f ( x)  L1 y lim g ( x)  L2 , entonces:
x  x0
x  x0
4.- lim[ f ( x)]n  [lim f ( x)]n  [ L1 ]n , siempre que [ L1 ]n exista
x  x0
x  x0
5.- lim n f ( x)  n lim f ( x)  n L1 , siempre que
x  x0
x  x0
n
L1 exista
6.- lim[ f ( x)  g ( x)]  lim f ( x)  lim g ( x)  L1  L2
x  x0
x  x0
x  x0
7.- lim[ f ( x).g ( x)]  lim f ( x). lim g ( x)  L1.L2
x  x0
8.- lim
x  x0
x  x0
x  x0
f ( x) L
f ( x) xlim
x
 0
 1 , L2  0
g ( x) lim g ( x) L2
x  x0
9.- lim k f ( x)  k lim f ( x)  k L1
x  x0
x  x0
10.- lim Logb f ( x)  Logb lim f ( x)  Logb L1 , Siempre que Logb L1 exista
x  x0
x  x0
11.- lim e f ( x )  e
lim f ( x )
x x
0
x  x0
 e L1
12.- lim g ( x) f ( x )  lim g ( x)
x  x0
lim f ( x )
x x
x  x0
0
 L2 L1 Siempre que L2 L1 exista
13.- lim f ( g ( x))  f (lim g ( x))  f ( L2 ) , Siempre que f ( L2 ) exista
x  x0
x  x0
Ejercicios.1.- lim 3 x2  7
x 1
lim 3 x2  7  3 lim( x2  7)  3 lim x 2  lim7  3 12  7  3 8  2
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1 0
 Forma in det er min ada
x 1 x  1
0
3
( x  1) ( x 2  x  1)
x 1
x3  13
( x  1)( x 2  x  1)
lim
 lim
 lim
 lim
 lim( x 2  x  1)  3
x 1 x  1
x 1 x  1
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
3
2.- lim
a 3  b3  (a  b)(a 2  ab  b 2 )
a 3  b3  (a  b)(a 2  ab  b 2 )
Ejercicios.x4
x4
1
1
lim 2
 lim
 lim

x  4 x  x  12
x  4 ( x  4)( x  3)
x 4 x  3
7
x
4
x
3
x4 5
x4  5 x4  5
x  45
1
1
 lim
.
 lim
 lim

x

1
x

1
x

1
x 1
x 1
x4  5
( x  1) ( x  4  5)
( x  4  5) 2 5
lim
x 1
(a  b)(a  b)  a 2  b 2
Función mayor entero
Sea x  , el mayor entero de x se denota y define por:
[| x |]  n  n  x  n  1
Si 2  x  3  [| x |]  2
Si 1  x  2  [| x |]  1
Si 0  x  1  [| x |]  0
Si  1  x  0  [| x |]  1
1 2
x2
x2
3
3
3 1
lim
 lim
 3
1
1
x  [| x  3 |]
x  [| x |]  3
3
3
3
3
[| x  n |]  [| x |]  n n 
lim(
x 1
2 ( x  1) ( x  2)
x2  x  5
1
x 2  x  5  ( x 2  x  1)
2 x2  2 x  4

)

lim

lim
 lim
3
3
3
x 1
x 1 ( x  1) ( x 2  x  1)
x 1
x  1 x1
x 1
x 1
x2
3
 2  2
x 1 x  x  1
3
1
1
1
3.- lim
(
 )
x 1 x  1 x  3
2
1
1
1
1 2  ( x  3)
1
x 1
lim
(
 )  lim
(
)  lim
(
)
x 1 x  1 x  3
x

1
x

1
2
x  1 2( x  3)
x  1 2( x  3)
1
1
 lim

x 1 2( x  3)
4
 2 lim
2
4 x 2  3x  1
x 1
x2 1
4.- lim
Teorema.- (Límite de funciones compuestas)
a) lim f ( x)  L  lim f ( x0  h)  L
x  x0
x  x0  h
h 0
Ejm.- lim(3x 2  6 x  1)  lim(3(2  h) 2  6(2  h)  1)  12  12  1  1
x 2
b)
h 0
lim f ( x)  lim f ( x  a)
x  x0  a
x  x0
Ejm.- lim(3x  6 x  1)  lim(3( x  1) 2  6( x  1)  1)
2
x 2
x 1
c) Si c  0 : lim f ( x)  L  lim f (cx)
x 0
x 0
x
Ejm.- lim 3 x 2  8  lim 3 ( x) 2  8  lim 3 ( ) 2  8
x 0
x 0
x 0
3
2
d) lim f ( x)  L  lim f (a  h )
h 0
x a
8 x  1|]  lim[| 8(2  h2 )  1|]  17
Ejm.- lim[|

h 0
x 2
e) Si x0  0 : lim f ( x)  L  lim f (hx0 )
x  x0
h 1
x3  27
(3h)3  27
27(h3  1)
(h3  1)
 lim
 lim
 9lim
 9lim(h2  h  1)  27
x 3 x  3
h 1 (3h)  3
h 1 3(h  1)
h 1 h  1
h 1
f) Si a  0 : lim f ( x)  L  lim f (ax)
Ejm.- lim
x ax0
x  x0
x  36
(3x)2  36 9
x2  4
 lim
 lim
 3lim( x  2)  12
x 6 x  6
x 2 (3x)  6
x 2
3 x 2 x  2
g) Si lim f ( x)  L y
2
Ejm.- lim
x  x0
i) lim g (t )  x0
t t0
ii) t0 : Pto. de acumulación del do min io de f g
iii )  c  0 / 0 | t  t0 | c  g (t )  x0
 lim f ( x)  L  lim f ( g (t ))
x  x0
t t0
6t 2
t2
Hallar lim g (t )  x0 , lim f ( x) y lim f ( g (t ))
Ejm.- Sea f ( x)  3 x 2  5, g (t ) 
t 1
x  x0
lim g (t )  lim
t 1
t 1
t 1
6t 2
 2  x0
t2
lim f ( x)  lim 3 x 2  5  9
x  x0
x 2
lim f ( g (t ))  lim 3 ( g (t )) 2  5  lim 3 (
t 1
t 1
t 1
6t 2 2
) 5  9
t2
Ejercicios.3
1.- lim
x 1
x2  2 3 x  1
( x  1)2
2
2
x  2 3 x 1
( 3 x  1) 2 ( 3 x  3 x  1) 2
( x  1) 2
lim
 lim
 lim
2
2
x 1
x 1
x 1
( x  1) 2
( x  1) 2 ( 3 x  3 x  1) 2
( x  1) 2 ( 3 x  3 x  1) 2
1
1
1
 lim


2
2
x 1 3
9
( x  3 x  1) 2 (1  1  1)
3
(a  b)(a 2  ab  b 2 )  a 3  b3
Ejercicios.3x 2  6 x  5 

1.- lim 2
x  6 x  8 x  1

2
3x  6 x  5 2
3 6  5 2 3 1
x
x
x  
lim 2
 lim
x  6 x  8 x  1
x 
8
6
1 2 6 2
x
x
x2
3x 2  6 x  5 

2.- lim 3
x  6 x  8 x  1

3x 2  6 x  5
3 6 25 3
3
x
x
x
x  0 0
lim 3
 lim
x  6 x  8 x  1
x 
6
6 8 2  1 3
x
x
x3
3x3  6 x  5 
3.- lim 2

x  6 x  8 x  1

3x3  6 x  5 2
3x  6  5 2 
x
x
x  
lim 2
 lim
x  6 x  8 x  1
x 
8
1
6
6
 2
x
x
x2
Ejercicio.- Evaluar:
2 x2  6 x  5
a) lim
x  6 x 2  8 x  1
3x3  6 x  5
b) lim 2
x  6 x  8 x  1
4 x2  6 x  5
c) lim 3
x  8 x  8 x  1
Dividir numerador y deno min ador entre la max ima potencia del deno min ador
k
 0, n  
x  x n
k
lim n  0, n  
x  x
1
1
lim n    , n  
x 0 x
0
1
 , n   , n : impar
1  0
lim n  
x  0 x
 1  , n   , n : par
 0
lim
P( x)
, donde P y S son polinomios
x  S ( x )
lim
P( x) Coef .Pr inc. de P( x)

S ( x) Coef .Pr inc. de S ( x)
P( x)
Si : Grado de P( x)  Grado de S ( x)  lim
0
x  S ( x )
P( x)
Si : Grado de P( x)  Grado de S ( x)  lim
 
x  S ( x )
Si : Grado de P( x)  Grado de S ( x)  lim
x 
4.- lim
x 
3x 2  6 x  5
6 x  8x 1
4



lim
3x 2  6 x  5
6 x4  8x 1
x 
3
6

3x 2  6 x  5
3x 2  6 x  5
3 6  5 2
2
x
x
x  3
lim
 lim
 lim
 lim
x 
x 
6
6 x 4  8 x  1 x  6 x 4  8 x  1
6 x 4  8 x  1 4 x 6  8 3  1 4
4
x
x
x
x
3x  6 x  5
2
x
4
x4  x2
a
a

b
b
2 x 2  3x  4
5.- lim
x 
x4  1
2 x  3x  4
2
lim
x4  1
x 
2 x 2  3x  4
4
 lim
x  lim
x4  1
x 
x 
x4
2 x 2  3x  4
x4  1
x4
2 3  4 2
x
x
x 
1
1 4
x
x 2  lim
2 3  4 2 2
x
x  2
 lim
x 
1
1
1 4
x
x4
x2  4

x7
6.- lim
x 
x 4
 lim
x 
x7
2
lim
x 
 x 4
x  lim
x 
x7
x
2
lim
x 
1 7
x2  4
x2  4
 x 2  lim
x 
1 7
x
2
 x 4
1 7
x2 
x
 1 4
x 2  1  1
1
1 7
x
x 2  lim
x 
x
x 2 | x |
x   x2
7.- lim( x 2  5 x  6  x)    
x 
lim( x 2  5 x  6  x)  lim
x 
 lim
x 
( x 2  5 x  6  x)( x 2  5 x  6  x)
x 
6  5x
x  5x  6  x
2

5
 5
1
x2  5x  6  x
 lim
x 
x2  5x  6  x2
x2  5x  6  x
8.- lim( x 2  1  x  1)
x 
lim( x 2  1  x  1)    
x 
lim
( x 2  1  x  1)( x 2  1  x  1)
x2  1  x  1
x 
 lim
x 
x 2  1  ( x  1)
x2  1  x  1
x2  x

x2  1  x  1
x2
9.- lim 2
x 2 x  4
x2
4
lim 2
   
x 2 x  4
0
x2
10.- lim 2
x 2 x  4
x2
4
lim 2
   
x 2 x  4
0
3
5x  1
11.- lim
2
x 1 2  x  x
5 x3  1
5 x3  1
5 x3  1
5 x3  1
6
6
lim
  lim
  lim 2
  lim
    
2
2
x 1 2  x  x
x 1 2  x  x
x 1 x  x  2
x 1 ( x  2)( x  1)
3.0
0
lim
x 
16  x 2
12.- lim
x 4
x4
16  x 2
16  x 2
x 2  16
( x  4)( x  4)
lim
 lim
  lim
  lim
2
2
x 4
x

4
x

4
x

4
x4
( x  4) 16  x
( x  4) 16  x
( x  4) 16  x 2
  lim
x 4
x4
16  x
2

8
 
0
LÍMITES NOTABLES
Sen x
1.- lim
1
x 0
x
Ejms.Tg x

x 0
x
a) lim
Sen x
Tg x
lim
 lim
x 0
x 0
x
Cos x
x
 lim
x 0
Sen x
Sen x 1
Sen x
1
 lim(
.
)  lim
.lim
 1.1  1
x

0
x

0
x

0
x Cos x
x Cos x
x
Cos x
1
1  Cos x
b) lim
x 0
x
(1  Cos x)(1  Cos x)
1  Cos 2 x
Sen 2 x
 lim
 lim
 lim
x 0
x 0 x (1  Cos x )
x 0 x (1  Cos x )
x(1  Cos x)
 lim(
x 0
Sen x Sen x
Sen x
Sen x
0
.
)  lim
.lim
 1.  0
x 0
x 1  Cos x
x x0 1  Cos x
2
Sen 2 x  Cos 2 x  1 , Sen 2 x  ( Sen x)2
1  Cos x
x2
1  Cos x
(1  Cos x)(1  Cos x)
1  Cos 2 x
Sen 2 x
lim

lim

lim

lim
x 0
x 0
x 0 x 2 (1  Cos x )
x 0 x 2 (1  Cos x )
x2
x 2 (1  Cos x)
c) lim
x 0
2
 lim(
x 0
2
Sen 2 x
1
1
Sen x 
1
1 1
 Sen x 

)  lim(
)   lim
lim
 12. 


2
x 0
x 1  Cos x
2 2
 x  1  Cos x  x0 x  x0 1  Cos x
1  Cos x
x  0 1  Cos x
Ejercicio- lim
1  Cos x
(1  Cos x) 2
(1  Cos x) 2
(1  Cos x) 2
 lim
 lim

lim
x 0 1  Cos x
x 0 (1  Cos x)(1  Cos x)
x 0 1  Cos 2 x
x 0
Sen 2 x
lim
(1  Cos x) 2
(1  Cos x) 2
4
2
2
x
x
0    
 lim

lim

2
x 0
x 0
Sen 2 x
12
1
 Sen x 
2


x
 x 
2.- lim(1  x)
1
e
x
x 0
3.- lim(1  1 ) x  e
x
x 
1
lim(1  1 ) x  lim(1   )   e
x
x 
 0
Sea   1 :
x
Si x      0
1
Ejm.- lim(1  2 x)
x
x 0
lim(1  2 x)
x 0
1
x
 lim[(1  2 x)
1
x 0
1
1
]  lim[(1  y) y ]2  [lim(1  y) y ]2  e2
2x 2
y 0
y 0
Sea y  2 x
Como x  0  y  0
Ejm.- lim(1  aTg x)
1
x
x 0
lim(1  aTg x)
1
x
x 0
 lim[(1  aTg x)
x 0
 [lim(1  aTg x)
1
Tg x
a lim
.
aTg x x0 x
x 0
]
lim g ( x )
x  x0
3.- lim
x 0
Ln(1  x)
1
x
(1  x) n  1
n
x 0
x
4.- lim
 [lim(1  aTg x)
x 0
1
 0
lim f ( x) g ( x )  lim f ( x) xx0
]
 [lim(1   )  ]a  ea
  aTg x
x  0  0
x  x0
1
1
aTg x aTg x. x
1
aTg x. 1
aTg x xlim
x
0
]
ax 1
 Ln a
5.- lim
x 0
x
1
1 x
Ejem.- lim Ln
x 0 x
1 x
1
1 x
lim Ln
 .0
x 0 x
1 x
1
1
1
1 x
1
(1  x) 2
lim Ln
 lim Ln
1
x 0 x
1  x x 0 x
(1  x) 2
1
(1  x) 1 2  x
(1  x) 1 2  x




 lim Ln 
 Ln lim 
1
1
x 0
x 0
(1  x) 1 2  x
(1  x) 1 2  x




lim Logb f ( x)  Logb lim f ( x)  Logb L1
x  x0
x  x0
1


lim (1  x) x 
x 0


1
x
1
2
1
1
lim (1  x) 2 
1
1
e 2

x 0 

2
2
 Ln

Ln

Ln

Ln
e
e
 Ln e  1
1
1
1
1  2
2
1
e
x


lim (1  x) 2 
lim (1  [ x])  x 

x 0 

x 0


cLogb N  Logb N c
Ejem.- lim x( x a 1), a  0
x 
lim x( a  1)  lim
x
x 
a
x 
Sea   1
x
Si x      0
 lim
 0
a  1

 Ln a
a x 1
lim
 Ln a
x 0
x
ASINTOTAS
1
x
1
1
x
ASÍNTOTA VERTICAL
Si lim f ( x)   o lim f ( x)   , se dice que la recta x  x0 es una asíntota vertical de la
x  x0
x x0
gráfica de f ( x)
Ejem.-
1
1

x  2 x  3 ( x  1)( x  3)
1
1
1
lim f ( x)  lim 2
 lim
   
x 3
x 3 x  2 x  3
x 3 ( x  1)( x  3)
0
 x  3 es una asíntota vertical de la grafica de f ( x)
f ( x) 
2
1
1

x  2 x  3 ( x  1)( x  3)
1
1
1
lim f ( x)  lim 2
 lim
   
x 1
x 1 x  2 x  3
x 1 ( x  1)( x  3)
0
 x  1 es una asíntota vertical de la grafica de f ( x)
f ( x) 
2
ASÍNTOTA HORIZONTAL
Si lim f ( x)  L o lim f ( x)  L , se dice que la recta y  L es una asíntota horizontal de la gráfica
x 
de f ( x)
Ejem.-
x 
1
1

x  2 x  3 ( x  1)( x  3)
1
1
lim f ( x)  lim 2
 lim
0
x 
x  x  2 x  3
x  ( x  1)( x  3)
 y  0 es una asíntota horizontal de la grafica de f ( x)
1
1
lim f ( x)  lim 2
 lim
0
x 
x  x  2 x  3
x  ( x  1)( x  3)
 y  0 es una asíntota horizontal de la grafica de f ( x)
f ( x) 
2
ASÍNTOTA OBLICUA
f ( x)
f ( x)
Si lim
  o lim
  , y el grado de f ( x) es mayor en una unidad al grado de
x  g ( x)
x  g ( x)
g ( x) se dice que la recta y  ax  b es una asíntota oblicua de la gráfica de f ( x) .( ax  b es el
f ( x)
cociente entero en
)
g ( x)
Ejem.-
x2  2x  4
x2
x2  2x  4
lim f ( x)  lim
 
x 
x 
x2
 y  ax  b es una asíntota oblicua de la grafica de f ( x )
1 2 4
2
2 0
f ( x) 
1 0 4
y  ax  b  y  x
Ejercicio.- Determinar las asíntotas de la función: f ( x) 
Sol.-
2 x3  3x 2  x  4
x2  2 x  3
f ( x) 
2 x3  3x 2  x  4 2 x3  3x 2  x  4

x2  2x  3
( x  3)( x  1)
x
3
x
1
2 x3  3x 2  x  4 34
      a s í n tota vertical
x 3
( x  3)( x  1)
0
x3
lim
2 x3  3x 2  x  4 2
      a s í n tota vertical
x 1
( x  3)( x  1)
0
x  1
lim
2 x3  3x 2  x  4
    a s í n tota oblicua
x 
x2  2x  3
1 4
2x  3   2
2 x3  3x 2  x  4
x x       a s í n tota oblicua
lim
 lim
2
x 
x 
2 3
x  2x  3
1
1  2
x x
 2 1
1 2 3 1 4
2
4 6
la asíntota oblicua es y  2 x  1
3
2 3
 2 1 |9 7
lim
CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN
CONTINUIDAD PUNTUAL
Se dice que una función f ( x) es continua en x0  D f si:
 0,   0 / Si x  D f  | x  x0 |  | f ( x)  f ( x0 ) |
OBSERVACIÓN
Si x0 es un punto de acumulación del D f , f ( x) es continua en x0  D f si:
i) f ( x0 ) 
ii) lim f ( x) 
x  x0
iii) lim f ( x)  f ( x0 )
x  x0
Recordar: (Pto. de acumulación)
                               
2
5
9
5 es pto. de acumulación del D f  2,5
2 es pto. de acumulación del D f  2,5
9 no es pto. de acumulación del D f  2,5 ( Pto. aislado)
Ejm.2 x 2  1, x  2
¿La función f ( x)  
es continua en x0  2 ?
 3 x  1, x  2
Rpta.
x0  2 es un punto de acumulación del D f 
i) f ( x0 )  f (2)  7, 
 lim f ( x)  lim (2 x 2  1)  7

x 2
ii) lim f ( x)  lim f ( x)  x2
 lim f ( x)  7, 
x  x0
x 2
x 2
lim f ( x)  lim (3x  1)  7

x 2
 x 2
iii) lim f ( x)  7  f (2)
x 2
2 x 2  1, x  2
 f ( x)  
es continua en x0  2
 3x  1, x  2
Ejm. Sen x
, x0

¿La función f ( x)   x
es continua en x0  0 ?

 1 , x0
Rpta.
x0  0 es un punto de acumulación del D f 
i) f ( x0 )  f (0)  1, 
ii) lim f ( x)  lim f ( x)  lim
x  x0
x 0
x 0
iii) lim f ( x)  1  f (0)
Sen x
 1  lim f ( x)  1, 
x 0
x
x 0
 Sen x
, x0

 f ( x)   x
es continua en x0  0

 1 , x0
CONTINUIDAD GLOBAL
Una función es continua en un intervalo si lo es en cada punto de dicho intervalo
Una función es continua en [a, b] si es continua en a, b y además se cumple que:
lim f ( x)  f (a ) y lim f ( x)  f (b)
xa
x b
Ejemplos de funciones continuas:
Las polinómicas son continuas en todo R
Las exponenciales son continuas en todo R
Las racionales, irracionales, logarítmicas, trigonométricas en su respectivo dominio.
DEFINICIONES:
Sean las funciones continuas en x0 : f y g , son también continuas en x0 :
f  g , f  g , f .g y f / g , g ( x0 )  0
Teorema.Si g es continua en x0 y f es continua en g ( x0 ) , la función ( f g )( x)  f ( g ( x0 )) es continua en x0
x0
g
f
g ( x0 )
f ( g ( x0 ))
( f g )( x)
Consecuencia: lim( f g )( x)  lim f ( g ( x0 ))  f (lim g ( x0 )), siempre que lim g ( x0 ) 
x  x0
x  x0
x  x0
x  x0
PROPIEDADES
Si f ( x) es continua sobre un intervalo [a, b] , entonces:
i) f ( x) tiene al menos un valor máximo y un valor mínimo en [a, b]
Y
f (a)
k
f (b)
X
a
c
b
ii) Si k es un valor entre f (a) y f (b) ,  al menos un valor c en a, b / f (c)  k
iii) Si f (a) y f (b) son de signos opuestos,  al menos un valor c en a, b / f (c)  0
f (a)
f (c )  0
b
c
a
f (b)
LA DERIVADA
Sea la función f ( x) con dominio D f , si x0  D f , se define la derivada de la función f ( x) con
respecto a x en x0 por: f '( x0 )  lim
h0
f ( x0  h)  f ( x0 )
, si  .
h
NOTACIONES:
f '( x0 ) : la derivada de la función f ( x) con respecto a x en x0
d
,,
f ( x0 )
dx
,,
Df ( x0 )
f ( x0  x)  f ( x0 )
f '( x0 )  lim
, si 
x 0
x
DEFINICIÓN ALTERNATIVA:
f ( x)  f ( x0 )
f '( x0 )  lim
, si 
x  x0
x  x0
Ejm.- Calcular: f '(2) , sabiendo que f ( x)  x 2
Sol.-
f '(2)  lim
h 0
f (2  h)  f (2)
(2  h) 2  (2) 2
(4  h) h
 lim
 lim
 lim(4  h)  4
h 0
h 0
h 0
h
h
h
Tambien
f ( x  h)  f ( x )
( x  h) 2  ( x ) 2
(2 x  h)h
 lim
 lim
 lim(2 x  h)  2 x
h 0
h 0
h 0
h 0
h
h
h
 f '(2)  f '( x) / (2)  2 x / (2)  2(2)  4
f '( x)  lim

Ejm.- Calcular: f '( ) , sabiendo que f ( x)  Sen x
2
Sol.-
f ( x  h)  f ( x )
Sen( x  h)  Sen( x)
Sen x Cos h  Sen h Cos x  Sen( x)
 lim
 lim
h 0
h 0
h 0
h
h
h
Sen x[Cos h  1]  Sen h Cos x
Sen x[Cos h  1]
Sen h Cos x
 lim
 lim
 lim
h 0
h 0
h 0
h
h
h
[1  Cos h]
Sen h
  Sen x lim
 Cos x lim
 0  Cos x.1  Cos x
h 0
h 0
h
h
f '( x)  lim


 f '( )  Cos  0
2
2
Sen( A  B)  SenA Cos B  SenB Cos A
Ejm.- Calcular: f '( x) , sabiendo que f ( x)  x
Sol.-
f ( x  h)  f ( x )
xh  x
( x  h  x )( x  h  x )
 lim
 lim
h 0
h 0
h 0
h
h
h( x  h  x )
xhx
h
1
1
 lim
 lim
 lim

h 0 h( x  h 
x ) h 0 h ( x  h  x ) h 0 x  h  x 2 x
f '( x)  lim
f '( x) 
d
d
dy
f ( x) 
y
dx
dx
dx
Ejm.- Calcular: f '( x) , sabiendo que f ( x)  c
Sol.-
f '( x)  lim
h0
f ( x  h)  f ( x)
cc
0
 lim
 lim  lim0  0
h0
h0 h
h0
h
h
Ejercicio.- Calcular: f '( x) , sabiendo que f ( x) 
1
x
FÓRMULAS BÁSICAS DE DERIVACIÓN
f '( x)
f ( x)
f ( x)  c, x 
f '( x)  0
f ( x)  x
f '( x)  1
f ( x)  x n
f '( x)  nx n 1
f ( x)  u n , u  u ( x)
f '( x)  nu n 1.u '
f ( x)  x
f '( x) 
1
2 x
u'
'( x) 
2 u
1
'( x) 
n n x n 1
u'
'( x) 
n n 1
n u
'( x)  e x
f ( x)  u , u  u ( x )
f
f ( x)  n x
f
f ( x)  n u
f
f ( x)  e x
f
f ( x)  b x , b  0
f '( x)  b x Lnb
f ( x)  Sec x
f ( x)  Senu
f ( x)  Tg u
f ( x)  Sec u
f ( x)  ArcSenu
f ( x)  ArcTg u
f ( x)  Arc Sec u
f ( x)  cu
f ( x)  u.v
u
f ( x) 
v
1
x
1
f ( x)  x  n  n
x
1
f ( x)  u 1 
u
1
f ( x)  u  n  n
u
f ( x)  Ln x
f ( x)  x 1 
f ( x)  Lnu
1
x2
n
'( x)   n1
x
u'
'( x)   2
u
nu '
'( x)   n1
u
1
'( x) 
x
u'
'( x) 
u
1
'( x) 
x Ln b
u'
'( x) 
u Ln b
f '( x)  
f
f
f
f
f
f ( x)  Logb x
f
f ( x)  Logb u
f
f ( x )  eu
f '( x)  eu .u '
f ( x )  bu , b  0
f '( x)  bu Lnb.u '
f '( x)  vu v 1.u ' u v Lnu.v '
f ( x)  u v , u ( x), v( x)
f ( x)  Sen x
f ( x)  Tg x
f '( x)
f ( x)
f '( x)  Cos x
f '( x)  Sec x
f '( x)  Sec xTg x
f '( x)  Cos u.u '
2
f '( x)  Sec2 u.u '
f '( x)  Sec uTg u.u '
u'
f '( x) 
1 u2
u'
f '( x) 
1 u2
u'
f '( x) 
| u | u2 1
f '( x)  cu '
f '( x)  u '.v  u.v '
u '.v  u.v '
f '( x) 
v2
f ( x)  Cos x
f ( x)  Ctg x
f ( x)  Csc x
f ( x)  Cos u
f ( x)  Ctg u
f ( x)  Csc u
f ( x)  Arc Cos u
f ( x)  ArcCtg u
f ( x)  Arc Csc u
f ( x)  u  v
f ( x)  u.v.w
f '( x)  Sen x
f '( x)   Csc2 x
f '( x)   Csc x Ctg x
f '( x)  Senu.u '
f '( x)   Csc2 u.u '
f '( x)   Csc u Ctg u.u '
u '
f '( x) 
1 u2
u '
f '( x) 
1 u2
u '
f '( x) 
| u | u2 1
f '( x)  u ' v '
f '( x)  u '.v.w  u.v '.w  u.v.w '
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA
f '( x0 )  lim
h0
f ( x0  h)  f ( x0 )
, si 
h
y  f ( x)
f ( x0  h)
f ( x0  h)  f ( x0 )
df ( x)
df ( x)  f '( x)dx f '( x) 
dx
f ( x0 )
x0
h  x  dx x0  h
x0  h
x0
La derivada de la función y  f ( x) en el punto x0 es la pendiente de la recta tangente a
la gráfica de y  f ( x) en el punto ( x0 , f ( x0 ) )
En general, la derivada es una razón de cambio instantáneo
EjercicioHallar la ecuación de la recta tangente a la curva f ( x)  x 2 en el punto (2,4) de la curva
(2,4)
m: Pendiente
(a,b) Punto de la recta
y-b=m(x-a)
f ( x)  x 2
Entonces la pendiente a la curva f ( x)  x 2 en cualquier punto (x,y), esta dada por
f '( x)  2 x  f '(2)  2(2)  4
Por lo tanto la ecuación de la recta tangente es: y  4  4( x  2)
1
También la ecuación de la recta normal es: y  4   ( x  2)
4
Ejercicios.Calcular las derivadas de las siguientes funciones:
1.- f ( x)  3x3  5 x 2  4 x  1
Sol.f '( x)   3x3  '  5 x 2  '  4 x  ' 1 '  3  x3  ' 5  x 2  ' 4  x  ' 0
 3  3x 2   5  2 x   4 1  9 x 2  10 x  4
2.- f ( x)  3 x
Sol.-
3
2
 5 x 2  4 x 2  5
3
f ( x)  3x 2  5 x 2  4 x 2  5
9 1
f '( x)  x 2  10 x 3  8 x
2
3.- f ( x) 
3x
3
2
 5 x 2  4 x 2  5
3
x
Sol.-
f ( x) 
u
 u  u '.v  u.v '
 f '( x)    ' 
v
v2
v

f '( x) 
3x
3
2


 5 x 2  4 x 2  5 ' 3 x  3x
 x
3
3
2
 5 x 2  4 x 2  5

3
x'
2


3
 9 12
 13
3
2
2
2
1
 x  10 x  8 x  x  3x  5 x  4 x  5
2
3 3 x2

f '( x)  
2
3
x
 


4 
3
8
 9 56
2
2
3
3
2
1 23
 x  10 x  8 x   3x  5 x  4 x  5 3 x
2

f '( x)  
2
x 3
4   5
5  83 4 43 5 23 
8
 9 56
3
3
6
 x  10 x  8 x    x  x  x  x 
2
3
3
3
 

f '( x)  
2
x 3
7 5 6 35  8 3 20 4 3 5  2 3
x  x  x  x
7 16 35 10 3 20 2 3 5  4 3
2
3
3
3
f '( x) 

x  x
 x  x
2
2
3
3
3
x 3
Otro modo:
3
3
7
5
3x 2  5 x 2  4 x 2  5 3x 2  5 x 2  4 x 2  5
7
1
6
3
3
3
f ( x) 


3
x

5
x

4
x

5
x
1
3
3
x
x
7 1 35 10 20 2 5  4
f '( x)  x 6  x 3  x 3  x 3
2
3
3
3
3 1 92 7
 

2 3
6
6
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA (REGLA DE LA CADENA)
y  f (u ) " y es función de u "
u  g ( x) " u es función de x "
 y se puede exp resar como función de x
y  f ( g ( x))  ( f g )( x)
 dy
 f '(u )
 y  f (u )  du
dy dy du



.
 f '(u ).g '( x)  f '( g ( x)).g '( x)

dx du dx
 u  g ( x)  du  g '( x)
 dx
y  f ( g (h( x)))  ( f g h)( x)  [ f ( g (h( x)))]'  f '( g (h( x))).g '(h( x)).h '( x)
a  bx n m
]
a  bx n
a  bx n m 1 a  bx n
a  bx n m 1 (a  bx n ) '(a  bx n )  (a  bx n )(a  bx n ) '
y '  m[
]
.[
]'

m
[
] .
a  bx n
a  bx n
a  bx n
(a  bx n ) 2
Sea y  [
 m[
a  bx n m 1 bnx n 1 (a  bx n )  (a  bx n )bnx n 1
] .
a  bx n
(a  bx n ) 2
 m[
a  bx n m 1 2abnx n 1
] .
a  bx n
(a  bx n ) 2
Sea y  Ln[a  x  x 2  2ax ]
 y' 
[a  x  x 2  2ax ]'
a  x  x 2  2ax
1  2 x  2a
2
1  ( x  2ax) '
2 x 2  2ax
a  x  x 2  2ax

x 2  2ax  x  a
1
2 x 2  2ax 
x 2  2ax

a  x  x 2  2ax
x 2  2ax
a  x  x 2  2ax
1
( f g h) '( x)  [ f ( g (h( x)))]'  f '( g (h( x))).g '(h( x)).h '( x)
2
2
2
1
x
( SenLn2 x 1 ) '  Cos Ln2 x 1. 2 .2 x 1 Ln2.
2
x 1
x 1
2
Ejercicio.
y Cos( Sen x  x 2 )
2
y  Cos( Sen x  x )
2
y '   Sen ( Sen x  x ).(Cos x  2 x )
Ejercicio.-calcular la derivada de:
y  ArcTg (
xSen 
1 x Cos 
)
( xSen  ) '.(1 x Cos  ) ( xSen  ).(1 x Cos  ) '
(
)'
2
dy
1 x Cos 
(1 x Cos  )


xSen  2
xSen  2
dx
1 (
)
1 (
)
1 x Cos 
1 x Cos 
xSen 
Sen  .(1 x Cos  ) ( xSen  ).(  Cos  ) Sen  .(1 x Cos  )  xSen  .Cos 
2
2
(1 x Cos  )
(1 x Cos  )


xSen  2
xSen  2
1 (
)
1 (
)
1 x Cos 
1 x Cos 
Sen 
Sen  .[(1 x Cos  )  x.Cos  ]
2
2
(1 x Cos  )
(1 x Cos  )


2 2 2
2 2 2
(1 x Cos  )  x Sen 
(1 x Cos  )  x Sen 
2
2
(1 x Cos  )
(1 x Cos  )

Sen 
Sen 

2
2
2 2
2
1 2 x Cos   x Cos   x Sen  1 2 x Cos   x
f ( x )  ArcTg u  f '( x ) 
u'
1u
u
u '.v u .v '
f ( x )   f '( x ) 
2
v
v
y  ArcSenLn x
2
DERIVADA DE ORDEN SUPERIOR
Ejm.- f ( x)  2 x3  3x 2  5 x  20
df ( x)
 f '( x)  6 x 2  6 x  5, Pr imera derivda de f ( x)
dx

d 2 f ( x)
 f ''( x)  [ f '( x)]'  12 x  6, Segunda derivda de f ( x) 
2
dx

3
d f ( x)

 f '''( x)  {[ f '( x)]'}'  12, Tercera derivda de f ( x) 
3
dx

4
d f ( x)

 f ''''( x)  {[ f '( x)]'}' '  0, Cuarta derivda de f ( x)  DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
4
dx




d n f ( x)
(n)

 f ( x)  0, n  ésima derivda de f ( x)
n

dx


DERIVACIÓN IMPLÍCITA
Función Explicita: y  f ( x)
Ejm. 
x2 1
y  Ln
Sen x
Función Implícita: F ( x, y)  0, y es función de x
Ejm. 
3x 2 y  x3 y 3  x 2  1
dy
?
dx
d
d
d
d
d
d
(3x 2 y )  ( x3 y 3  x 2  1)  3 ( x 2 y )  ( x3 y 3 )  ( x 2 )  (1)
dx
dx
dx
dx
dx
dx
dy
dy
 3(2 xy  x 2 )  (3x 2 y 3  3x3 y 2 )  2 x  0
dx
dx
dy
dy
dy
 3x 2
 3x3 y 2
 3x 2 y 3  6 xy  2 x  (3x 2  3x 3 y 2 )  3x 2 y 3  6 xy  2 x
dx
dx
dx
2 3
dy 3x y  6 xy  2 x


dx
3x 2  3x3 y 2
Otro modo
F ( x, y )  0
dy  Fx ( x, y )

dx Fy ( x, y )
Ejm. 
3x 2 y  x3 y 3  x 2  1  0
F ( x, y )
dy  Fx ( x, y ) 6 xy  3x 2 y 3  2 x


dx Fy ( x, y )
3x 2  3x3 y 2
dy
?
dx
3x 2 y 2  x3 y 3  x 2 y  2 xy
d
d
(3x 2 y 2  x3 y 3 )  ( x 2 y  2 xy )
dx
dx
d
d
d
d
(3x 2 y 2 )  ( x3 y 3 )  ( x 2 y )  (2 xy )
dx
dx
dx
dx
d
d
d
d
3(2 xy 2  2 x 2 y y )  (3x 2 y 3  3x3 y 2
y )  (2 xy  x 2
y )  2( y  x y )
dx
dx
dx
dx
Ejm. 
d
d
d
d
y  3x 2 y 3  3x3 y 2
y  2 xy  x 2
y  2 y  2x y
dx
dx
dx
dx
d
d
d
d
6 x 2 y y  3x3 y 2
y  x2
y  2 x y  2 xy  2 y  6 xy 2  3x 2 y 3
dx
dx
dx
dx
d
y (6 x 2 y  3x3 y 2  x 2  2 x)  2 xy  2 y  6 xy 2  3x 2 y 3
dx
d
2 xy  2 y  6 xy 2  3x 2 y 3
y
dx
6 x 2 y  3x3 y 2  x 2  2 x
Otro mod o,
6 xy 2  6 x 2 y
3x 2 y 2  x3 y 3  x 2 y  2 xy  3x 2 y 2  x 3 y 3  x 2 y  2 xy  0
F ( x, y )
dy  Fx ( x, y ) 6 xy 2  3 x 2 y 3  2 xy  2 y


dx Fy ( x, y )
6 x 2 y  3x3 y 2  x 2  2 x
APLICACIONES DE LA DERIVADA
Determinación de los intervalos donde la función es creciente, decreciente o constante
FUNCIÓN CRECIENTE
f ( x) es creciente en un intervalo I si  x1 , x2  I / x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )
f ( x2 )
f ( x1 )
x1
x2
FUNCIÓN DECRECIENTE
f ( x) es decreciente en un intervalo I si  x1 , x2  I / x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )
f ( x1 )
f ( x2 )
x1
x2
DERIVADA COMO HERRAMIENTA PARA LA DETERMINACIÓN DE FUNCIONES
CRECIENTES O DECRECIENTES
FUNCIÓN CRECIENTE
f ( x) es creciente en un intervalo I si  x1 , x2  I / x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )
f ( x2 )
f ( x1 )

x1
x2
df ( x)
 m  Tg  0
dx
FUNCIÓN DECRECIENTE
f ( x) es decreciente en un intervalo I si  x1 , x2  I / x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )
f ( x1 )
f ( x2 )

x1
x2
df ( x)
 m  Tg  0
dx
CRITERIO
1.- Una función f ( x) es creciente en I si: x  I , f '( x)  0
2.- Una función f ( x) es decreciente en I si: x  I , f '( x)  0
3.- Una función f ( x) es constante en I si: x  I , f '( x)  0
OBSERVACIÓN
Los números del D f donde f '( x)  0 o f '( x)   reciben el nombre de números críticos
NOTA
Si la derivada de una función cambia de signo, solo lo hace en un número crítico
y  f ( x)
x1
x2
x3
x4
x7
x5
x6
Ejm.-Determinar los intervalos en los cuales la función f ( x)  x3  2 x 2  1 es creciente o
decreciente.
Sol.1° f ( x)  x3  2 x 2  1  f '( x)  3x 2  4 x  x(3x  4)
2° Números críticos:
4

0
0  x  0  x  Números criti cos
f '( x)    x(3x  4)  
3


 No se aplica
f '( x)
, 0
3° f '( x)

Crec
Gf
4
3

Decrec
0,
4
, 
3

Crec
Ejercicio.Determinar los intervalos donde la función f ( x)  x3  x 2  8 x  1 es creciente o decreciente
Ejercicio.Determinar los intervalos donde la función f ( x)  3x 4  8 x3  66 x 2  144 x es creciente o
decreciente
Sol.f ( x)  3x 4  8 x3  66 x 2  144 x  f '( x)  12 x3  24 x 2  132 x  144  12( x 3  2 x 2  11x  12)
1 2 11 12
1
1 1 12
 1 1 12
0
f '( x)  12( x  1)( x 2  x  12)  12( x  1)( x  4)( x  3)
0  x  3  x  1  x  4 ( Números críti cos)
f '( x)  
 No se aplica

, 3
3,1 1, 4
4, 
f '( x)




Gf
Ejercicio.x
Determinar los intervalos donde la función f ( x) 
es creciente o decreciente
x 1
Sol.x
x 1 x
1
1° f ( x) 
 f '( x) 

2
x 1
( x  1)
( x  1)2
2° Números críticos:
No se aplica
0

1
f '( x)   

2
( x  1)

   x  1, Pto. de discontinuidad
f '( x)
3° f '( x)
Gf
, 1

Crec
1, 

Crec
Ejercicio.- Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la gráfica de la función:
x4  3
f ( x) 
x
Sol.-
x4  3
( x 4  3) ' x  ( x 4  3) 4 x3 .x  x 4  3 3x 4  3
 f '( x) 


x
x2
x2
x2
3( x 4  1) 3( x 2  1)( x 2  1) 3( x  1)( x  1)( x 2  1)



x2
x2
x2
0  x  1  x  1 ( Números críti cos)
f '( x)  
   x  0 ( Punto de discontinuidad )
f ( x) 
f '( x)
Gf
, 1

1, 0

0,1

1, 

VALORES EXTREMOS DE UNA FUNCIÓN
MÁXIMO RELATIVO.- Una función f ( x) tiene un máximo relativo en x0 si
 a, b / x0  a, b Con : f ( x0 )  f ( x), x  x0  a, b
MÍNIMO RELATIVO.- Una función f ( x) tiene un mínimo relativo en x0 si
 a, b / x0  a, b Con : f ( x0 )  f ( x), x  x0  a, b
f ( x0 )
f ( x1 )
f ( x)
f ( x0 )
x
a x0 b
x1
c x0 d
LA DERIVADA COMO HERRAMIENTA PARA DETERMINAR VALORES EXTREMOS
Si la derivada de la función f ( x) cambia de signo en un numero crítico x0 (de positivo a
negativo), entonces la función tiene un máximo relativo f ( x0 ) .
Si la derivada de la función f ( x) cambia de signo en un numero crítico x0 (de negativo a
positivo), entonces la función tiene un mínimo relativo f ( x0 ) .
Ejm.- Hallar los valores extremos relativos de la función f ( x)  2 x3  3x 2  36 x  30
Sol.1° f '( x)  6 x 2  6 x  36  6( x 2  x  6)  6( x  3)( x  2)
0
0  x  3  x  2 ( Números críti cos)
2° f '( x)    6( x  3)( x  2)  
 No se aplica


f '( x) , 3
3, 2
2, 
3°
f '( x)
Gf

Crec

Decrec

Crec
f ( x) tiene un máximo relativo en x0  3:
f (3)  2(3)3  3(3) 2  36(3)  30  54  27  108  30  111
f ( x) tiene un mínimo relativo en x0  2 :
f (2)  2(2)3  3(2) 2  36(2)  30  16  12  72  30  14
NOTA:
Hay funciones que presentan muchos máximos relativos. De todos ellos el mayor se llama
máximo absoluto
Hay funciones que presentan muchos mínimos relativos. De todos ellos el menor se llama
mínimo absoluto
Ejm.Determinar los valores extremos absolutos de f ( x)  x3  x 2  8 x  1 , tal que x [4, 2]
Sol.1° f '( x)  3x 2  2 x  8  (3x  4)( x  2)
3x
4
x
2
4

0
0  x  2  x  ( Números críti cos)
2° f '( x)    (3x  4)( x  2)  
3


 No se aplica
4
4
f '( x) 4, 2
2,
,2
3
3



3° f '( x)
Gf
Crec.
Decrec Crec.
f ( x) tiene un máximo relativo en x0  2
f (2)  (2)3  (2) 2  8(2)  1  11 ( Máximo absoluto)
4
f ( x) tiene un mínimo relativo en x0  ( )
3
4
4 3 4 2
4
64 16 32
f ( )  ( )  ( )  8( )  1 
  1
3
3
3
3
27 9 3
64 48 35 64 48 315
203

  
 

27 27 3 27 27 27
27
f ( x) tiene un mínimo relativo en x0  (4)
f (4)  (4)3  (4) 2  8(4)  1  64  16  32  1  17 ( Mínimo absoluto)
f ( x) tiene un máximo relativo en x0  2
f (2)  (2)3  (2) 2  8(2)  1  5
CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN
m  f '( x)
CONCAVA HACIA ARRIBA
La función f '( x) es creciente si f ''( x)  0
La gráfica de una función f ( x) es cóncava hacia arriba en un intervalo I si: x  I , f ''( x)  0
CONCAVA HACIA ABAJO
La función f '( x) es decreciente si f ''( x)  0
La gráfica de una función f ( x) es cóncava hacia abajo en un intervalo I si: x  I , f ''( x)  0
PUNTOS DE INFLEXIÓN
Son aquellos puntos donde la curva cambia su concavidad
( x1 , f ( x1 ))
( x0 , f ( x0 ))
( x0 , f ( x0 )) es punto de inflexión de la gráfica de f ( x) si en ese punto cambia la
concavidad
Ejm.- Determinar los intervalos de concavidad de la función f ( x)  x3  5 x 2  3x  1
f ( x)  x 3  5 x 2  3 x  1
1° f '( x)  3x 2  10 x  3
f ''( x)  6 x  10
5

0
 0x
2° f ''( x)    6 x  10  
3

  No se aplica
,
5
3
5
, 
3




3° f ''( x)
Gf
4
3
Ejm.- Determinar los intervalos de concavidad de la función f ( x)  x  4 x  8 x  2
Ejm.- Determinar los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión de la gráfica de la
2
x  y
función     
9 4
x
y  4 1  
9
Sol.-
2
3
2
3
 1, y  f ( x)
3
92  x 2
 y4
 92  x 2  0  x 2  92  0  ( x  9)( x  9)  0  D f   9,9
2
9
2
 x  y
   
9  4
2
3
 y
1  
4
2
3
2
2
2
2
2 
y 3
 x
 x
 x 
3
3
 1     2  1     y  4 1    
9
9
  9  
43
2
3
2
2
  x 2 
 x
 x
 y  4 3 1      y  42 (1    )3  y  4 1   
9
9
  9  
3
2
'
  x 2 
2x
'
1   
2
2
2 
2

9



 x
 x
 x 
 x
99
y '  12(1    ) 1     y '  12(1    ) 
 y '  12(1    )
2
2
9
9
9
9
 x
 x
2 1  
2 1  
9
9
1
2
2
2
 x
12
 x
 x
81
 y '  12 (1    )
 y '   x (1    )
2
81
9
9
 x
1  
9
2
12
x
y '   x (1    )
81
9
12 
 x
y ''    x (1   
81 
9

2
'
'

2
2 

12 
x
x
 
 
)   y ''  
(1    )  x (1    ) 

81

9
9 



2




 x
2




(1    ) '
2
2
 x
12 
12 
9
 x
 x



81
 y ''    (1    )  x
 y ''    (1    )  x


2
2
81
81
9
9
x 
x 


2 (1    )
2 (1    )


 9  
 9  


1


2

12 
 x

81
   (1    ) 
2 
81
9
 x 

(1    )

 9  
2






2
 (1   x  )  1 
 80  x



2
12 
12
12
80

x
9
81





 
81
y ''   
 y ''   
 y ''   2 



2
2
2
81
81
81
 (1   x  ) 
 (1   x  ) 
 1  x  
 
  
  




9
9 
9 




0
12  80  x 2  0  x  4 5  8.944  x  4 5  8.944
y ''     2 

2 
81
  x  9  x  9

x
 1     



 9  
y ''
Gf
9, 4 5
4 5, 4 5
4 5,9






Puntos de inf lexión :
 4 5 
f (4 5)  4 1  

 9 
4 5
f (4 5)  4 1  

 9 
2
3
2
3
3
1
1
4
4
4
 4( )3 
 0.005  (4 5,
)
81
9
729
729
3
1
1
4
4
4
 4( )3 
 0.005  (4 5,
)
81
9
729
729
CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA VALORES EXTREMOS
Sea f ( x) una función tal que f '( x0 )  0 y tal que f ''( x)  en un cierto intervalo abierto que
contiene a x0 .
1° Si f ''( x0 )  0, entonces f ( x0 ) es un mínimo relativo
2° Si f ''( x0 )  0, entonces f ( x0 ) es un máximo relativo
3° Si f ''( x0 )  0, entonces el criterio no deside
Ejm.- Hallar los extremos relativos de f ( x)  3x5  5 x3
Sol.1° f '( x)  15 x 4  15 x 2  15 x 2 ( x 2  1)  15 x 2 ( x  1)( x  1)
f '( x)  0  15 x 2 ( x  1)( x  1)  0  x  0  x  1  x  1
f '( x)  15 x 4  15 x 2  f ''( x)  60 x3  30 x  30 x (2 x 2  1)
f ''(1)  30(1)[2(1) 2  1]  90  0  f (1)  3(1)5  5(1)3  2 Mín.Re lat.
f ''(0)  30(0)[2(0)2  1]  0  f (0)  3(0)5  5(0)3  0 ¿?
f ''(1)  30(1)[2(1)2  1]  90  0  f (1)  3(1)5  5(1)3  2 Máx.Re lat.
Ejm.- Hallar los extremos relativos de f ( x)  x3 
21 2
x  30 x  15
2
Sol.21 2
x  30 x  15
2
f '( x)  3x 2  21x  30  3 x 2  21x  30  0  3( x 2  7 x  10)  0
 3( x  2)( x  5)  0  x  2  x  5
f ''( x)  6 x  21
f ''(2)  9  Se tiene un un máximo relativo en x  2
21
f (2)  23  22  30(2)  15  8  42  75  41
2
f ''(5)  9  Se tiene un un mínimo relativo en x  5
21
525
580  525 55
f (5)  53  52  30(5)  15  125 
 165 

 27.5
2
2
2
2
f ( x)  x3 
Ejm.- Hallar por el criterio de la segundad derivada los valores extremos de la función:
f ( x) 
Sol.-
x2  4 x
x 2  8 x  16
f ( x) 
x2  4x
(2 x  4)( x 2  8 x  16)  ( x 2  4 x)(2 x  8)

f
'(
x
)

x 2  8 x  16
( x 2  8 x  16) 2

(2 x3  16 x 2  32 x)  (4 x 2  32 x  64)  [(2 x3  8 x 2 )  ( 8 x 2  32 x)]
( x 2  8 x  16) 2

(16 x 2  32 x)  (4 x 2  32 x  64)  [ 32 x]
( x 2  8 x  16) 2

(12 x 2  32 x)  32 x  64)  32 x
( x 2  8 x  16) 2

12 x 2  32 x  64
3 x 2  8 x  16
( x  4)(3 x  4)
3x  4

4
4
4
2
2
2
2
4
( x  8 x  16)
( x  8 x  16)
( x  4)
( x  4)3
3 x 2  8 x  16
3x
4
x
4
f '( x)  0  4
f ''( x)  4
3x  4
4
0 x
3
( x  4)
3
3( x  4)3  3(3 x  4)( x  4) 2
( x  4) 2 [( x  4)  (3x  4)]

12
( x  4)6
( x  4)6
( x  4) 2 [8  2 x]
[ x  4]
 24
6
( x  4)
( x  4) 4
4
8
[  4]

4
34.8
34
81
f ''( )  24 3
 24 3  24


4
10
4
16
3
3(16)
2
1024
(  4) 4
( )4
3
3
32
4 4
4 8
(  4)
( ) 
4
32 1
9
f( ) 3 3
3 3  2 

Mínimo relativo
4
16
16
3
16.16 8
(  4) 2
( )2
3
3
9
 12
OPTIMIZACIÓN
Ejm.- Dividir 20 en dos sumandos tal que su producto tenga VALOR MÁXIMO
x : 1er sumando  20  x : segundo sumando
y  x(20  x), 0  x  20
y  20 x  x 2  y '  20  2 x
y '  20  2 x  0  x  10
y ''  2  0  El máximo relativo : y  10(20  10)  100
x  10, 20  x  10
Ejm.- Se quiere construir un tanque abierto de base cuadrada y lados verticales, con una
capacidad de 4000 litros. Hallar sus dimensiones para que sea mínimo el costo de la soldadura
empleada en unir sus partes
Sol.-
V=4000
V=a2h
a2h=4000
a
h
a
4000
4000  a 2 h  h  2
a
S=4a+4h
4000
)
a2
2
1
4a 3  32000 0  a  20 (número crítico)
S '(a)  4  16000 ( 3 )  4  32000( 3 ) 


a
a
a3

Como S (a)  4a  4(
(
1
n
) '  n 1
n
x
x
S ''(a)  32000(
3 96000
)
a4
a4
96000
0
204
 S (20) es un mínimo relativo
S ''(20) 
Como h 
4000
y a  20  h  10
a2
APLICACIÓN DE LA DERIVADA A LA EVALUACIÓN DE LÍMITES
INDETERMINADOS
0 

0 
REGLA DE L’HÔPITAL
0
f ( x)  0
f ( x)
f '( x)
Sea que lim
    lim
 lim
x  x0 g ( x )
x  x0 g ( x )
x  x0 g '( x)

 
Sen x
Cos x 1
lim
 lim
 1
x 0
x

0
x
1
1
3
2
4x  2x  5
12 x 2  4 x
24 x  4
24
lim 3

lim
 lim
 lim
 lim 4  4
2
2
x  x  3x  2
x  3x  6 x
x 6 x  6
x 6
x
Tg x
 limSec2 x  1
x 0
x 0
x
lim
1
1
1
1
1
1
x  1  Ln x
x
x
lim(

)  lim
 lim
 lim
x 1 Ln x
x  1 x 1 ( x  1) Ln x x 1 Ln x  ( x  1) 1 x 1 Ln x  (1  1 )
x
x
1
2
1
 lim x

x 1 1
1
 2 2
x x
DIFERENCIALES
f '( x0 )  lim
h0
f ( x0  h)  f ( x0 )
, si 
h
y  f ( x)
f ( x0  h)
f ( x0  h)  f ( x0 )  y  dy  df ( x)
df ( x)
df ( x)  f '( x)dx f '( x) 
dx
f ( x0 )
x0
h  x  dx x0  h
x0  h
x0
La derivada de la función y  f ( x) en el punto x0 es la pendiente de la recta tangente a
la gráfica de y  f ( x) en el punto ( x0 , f ( x0 ) )
En general, la derivada es una razón de cambio instantáneo
FÓRMULAS BÁSICAS DE DIFERENCIACIÓN
df ( x)
f ( x)
f ( x)
df ( x)  0
f ( x)  c, x 
1
f ( x)  x 1 
x
df ( x)  dx
f ( x)  x
1
f ( x)  u 1 
u
n 1
n
1
df ( x)  nx .dx
f ( x)  x
f ( x)  x  n  n
x
n
n 1
1
f ( x)  u , u  u ( x) df ( x)  nu .u '.dx
f ( x)  u  n  n
u
f ( x)  Ln x
1
f ( x)  x
df ( x) 
.dx
2 x
f ( x)  Lnu
f ( x)  u , u  u( x) f '( x)  u '
2 u
n
1
f ( x)  Logb x
f ( x)  x
f '( x) 
n
n 1
n x
n
u'
f ( x)  Logb u
f ( x)  u
f '( x) 
n
n 1
n u
f '( x)
1
x2
u'
'( x)   2
u
n
'( x)   n1
x
nu '
'( x)   n1
u
1
'( x) 
x
u'
'( x) 
u
1
'( x) 
x Ln b
u'
'( x) 
u Ln b
f '( x)  
f
f
f
f
f
f
f
f ( x)  e x
f '( x)  e x
f ( x)  b x , b  0
f '( x)  b x Lnb
f ( x )  eu
f '( x)  eu .u '
f ( x)  bu , b  0
f '( x)  bu Lnb.u '
f ( x)  u v , u ( x), v( x) f '( x)  vu v 1.u ' u v .v ' Lnu
f ( x)  cu
f ( x)  u.v
f ( x)  u.v.w
f ( x)  Senu
f ( x)  Tg u
f '( x)  cu '
f '( x)  u '.v  u.v '
f '( x)  u '.v.w  u.v '.w  u.v.w '
f '( x)  Cos u.u '
f ( x)  Sec u
f ( x)  ArcSenu
f '( x)  Sec uTg u.u '
u'
f '( x) 
1 u2
u'
f '( x) 
1 u2
u'
f '( x) 
| u | u2 1
f ( x)  ArcTg u
f ( x)  Arc Sec u
f '( x)  Sec2 u.u '
f ( x)  u  v, u  u ( x), v  v( x) f '( x)  u ' v '
f ( x)  u / v
u '.v  u.v '
f ( x) 
v2
f '( x)  Senu.u '
f ( x)  Cos u
f ( x)  Ctg u
f '( x)   Csc2 u.u '
f ( x)  Cs c u
f ( x)  Arc Cos u
f ( x)  ArcCtg u
f ( x)  ArcCs c u
Ejm.- Calcular 101 , con una aproximación a centésimos.
Sol.-
f '( x)  Cs c uCtg u.u '
u '
f '( x) 
1 u2
u '
f '( x) 
1 u2
u '
f '( x) 
| u | u2 1