חדו"א 2־ תרגולים האינטגרל הלא מסוים ־ המשך ]שבוע [2 2 תקציר אינטגרציה של פונקציות רציונליות ,הצבות. 2.1 פתרון אינטגרלים ע"י אינטגרציה של פונקציות רציונליות הגדרה 2.1פונקציה רציונלית היא פונקציה מהצורה P Q = Rכאשר Pו־ Qהם פולינומים. אם R ,deg Q > deg Pנקראת פונקציה רציונלית פשוטה. אם בנוסף Rהיא מאחת הצורות הבאות ,היא תיקרא פונקציה רציונלית יסודית: A )( A, a ∈ R, n ≥ 1) , (x−a n .1 ) . A, B ∈ R , p2 − 4q < 0, n ≥ 1 , (x2Ax+Bשימו לב שמהתנאים על p, qנובע שהמכנה חיובי( +px+q)n .2 תהליך הפתרון באמצעות פונקציות רציונליות R R .1מעבר לפונקציה רציונלית :בהינתן , fנבצע הצבה על מנת לעבור לאינטגרל של פונקציה רציונלית . R .2מעבר לסכום של פונקציות רציונליות פשוטות :ע"י חילוק ארוך. .3מעבר לסכום של פונקציות רציונליות יסודיות :ע"י פתרון מערכת משוואות. .4פתרון האינטגרל שהתקבל. נעבור על השלבים מהסוף להתחלה: 2.1.1 פתרון אינטגרלים של פונקציות רציונליות יסודיות טענה 2.2השוויונים הבאים נכונים: Z A = A ln |x − a| + C .1 x−a Z A A = n n−1 + C .2 )(x − a )(1 − n) (x − a Z p Ap x + B − Ax + B A 2 2 = ln x2 + px + q + q ,כאשר .p2 − 4q < 0 arctan q 2 + C .3 x2 + px + q 2 p 2 q− 2 q − p2 ,כאשר .n > 1 1 Ax + B .4נסמן n ) + px + q Ap + B− אזIn : 2 נעשה בסעיף הקודם( (x2 Z = ,Jnכאשר n > 1ו־.p2 − 4q < 0 A n−1 )2 (1 − n) (x2 + px + q = ,Jnכאשר Inמוגדר ע"י הנוסחה הרקורסיבית ) I1 x + p2 2n − 1 + 2 In 2 n 2n q − p2 2n q − p2 )(x2 + px + q = In+1 הוכחה :נוכיח רק את סעיפים ) 3 − 4את 1ראיתם ,ואת 2תוכיחו בתרגיל הבית(. בסעיף ,3נרצה להגיע למצב בו במונה מופיעה הנגזרת של המכנה כדי להשתמש בנוסחא משבוע שעבר, R 0 ) ff = ln |f | + Cיהיה צורך לפצות ע"י קבועים( .כלומר: 0 Ax + B = C · x2 + px + q + D = C (2x + p) + D במקרה שלנו ,מהשוואת מקדמים A = 2C, B = Cp + D כלומר Ap 2 D=B− A 2, = B,A) Cהיו מספרים נתונים ולכן D,Cעתה יהיו מספרים כלשהם( ,ולכן ניתן לרשום את המונה באופן הבא: Ap A (2x + p) + B − 2 2 = Ax + B לכן, Z 2x + p Ap 1 + B− x2 + px + q 2 x2 + px + q Z A = 2 Ap 2 (2x + p) + B − x2 + px + q A 2 Z Z Ax + B = x2 + px + q כעת נפתור כל אינטגרל בנפרד: 2 באינטגרל הראשון ,כפי שראינו בתרגול הקודם ,מתקיים ln x + px + q + C A 2 = 2x+p x2 +px+q dx R המוחלט מיותר ־ הפולינום חיובי אחרת היו לו שורשים ומהנתון אין לו(. נותר לחשב את האינטגרל השני .נרצה להביא את המכנה לצורה ) t2 +a2ואז להשתמש באינטגרל של נשים לב, p p 2 p 2 p 2 p 2 x + − +q = x+ +q− 2 2 2 2 2 2 2 2 נשים לב שלפי ההנחה שלנו ,q − p2 > 0 ,ולכן נוכל לסמן .t2 = x + p2 ,a2 = q − p2לכן: " # Z Z Z t = x + p2 1 1 1 1 = = dt = = dt t 2 x2 + px + q t2 + a2 a2 dt = dx + 1 a " # Z s = at 1 1 1 = = = ds = arctan s + C 2 1 a s +1 a ds = a dt ⇒ dt = ads x + p2 1 t 1 = +C = q arctan 2 · arctan q 2 + C a a q − p2 q − p2 x2 + px + q = x2 + 2 2 A 2 )הערך t a .(arctan כעת נוכיח את :4נשתמש באותה שיטה כמו קודם )להפוך את המונה לנגזרת של המכנה( ,ולכן Z Z A Z Ap Ax + B A 2x + p Ap 1 2 (2x + p) + B − 2 = = n n n + B− n 2 2 )(x2 + px + q )(x2 + px + q )(x2 + px + q )(x2 + px + q Z את האינטגרל הראשון קל לפתור בהצבת :g (x) = x2 + px + q 2x + p 1 )g 0 (x 1 1 = +C = · n = n dx n−1 + C 2 1 − n g (x)n−1 )(x2 + px + q ))(g (x )(1 − n) (x + px + q 2 1 (t2 +aעם ) a2 = q − p2ואז נקבל לפתרון האינטגרל השני ,כמו קודם נהפוך את הפונקציה להיות מהצורה 2 )n Z Z אינטגרל שפתרנו בתרגיל בית מספר .(1מקבלים Z 1 1 dt = 1· 2 n = n dt ) (t2 + a2 ) (t + a2 # Z v0 = 1 t t2 + 2n = 2 n n+1 dt ) (t + a2 v=t ) (t2 + a2 = = Z dt n+1 ) + a2 (t2 t2 + a2 − a2 Z = " # t = x + p2 dt = dx 1 (t2 +a2 )n −2nt (t2 +a2 )n+1 Z n+1 dt ) (t2 + a2 Z t2 + a2 =u = 1 n )(x2 + px + q Z = In " = u0 t n + 2n 2 ) (t + a2 t 2 n + 2n n+1 dt − 2na 2 2 ) (t2 + a2 ) (t + a t 2 n + 2nIn − 2na In+1 ) (t2 + a2 = = = = לכן p 2 x+ 2n − 1 + 2 In n 2 2n q − p2 )(x + px + q p 2 2 2n − 1 t = In n + 2na2 ) 2na2 (t2 + a2 2n q − = In+1 נשים לב ש־ ,I1הוא בסיס האנדוקציה ,מתקבל מסעיף 3בטענה. 2.1.2 מעבר מפונקציה רציונלית פשוטה לסכום של פונקציות רציונליות יסודיות )"שברים חלקיים"( משפט 2.3כל פונקציה רציונלית פשוטה ניתן לכתוב כסכום של פונקציות רציונליות יסודיות. שלבי העבודה בהינתן )P (x )Q(x = ) R (xפשוטה: .1נפרק את המכנה ) Q (xלמכפלה של גורמים לינאריים וריבועיים אי־פריקים )אפשרי ־ לפי המשפט היסודי של האלגברה( ,ונקבל .Q = Q1 · Q2 · · · · · Qn n .2לכל גורם Qiמהצורה ) (x − aנכתוב בסכום: A1 A2 An + + ··· + n 2 )x − a (x − a )(x − a ולכל גורם Qiמהצורה m x2 + px + qנכתוב בסכום: B2 x + C2 B1 x + C1 Bm x + Cm + + ··· + 2 m x2 + px + q (x2 + px + q)2 )(x + px + q .3כעת עלינו למצוא את המקדמים ,ע"י פתרון מערכת לינארית. 3 דוגמאות: • גורמים לינאריים: 1 A B = + )(x + 1) (x − 1 x+1 x−1 אחרי מכפלה במכנה משותף ,נקבל )1 = A (x − 1) + B (x + 1) = x (A + B) + (B − A כעת ניתן להשוות מקדמים ולקבל A + B = 0, B − A = 1 נפתור את מערכת המשוואות ונקבל 1 2 = .A = − 12 , B לחלופין ,ניתן להציב נקודות כרצוננו ולקבל משוואות במקדמים אותם אנו מחפשים .כאן ,נוח להציב x = 1ולהציב .x = −1 סה"כ נקבל 1 1 − x−1 x+1 1 1 = )(x + 1) (x − 1 2 • גורמים לינאריים עם חזקות גבוהות: A C E B D + + + + 3 x − 1 (x − 1)2 (x + 1) (x + 1)2 )(x + 1 = x+3 3 2 )(x − 1) (x + 1 נכפול במכנה המשותף ונקבל 2 2 2 2 3 3 ).x + 3 = A (x − 1) (x + 1) + B (x + 1) + C (x − 1) (x + 1) + D (x − 1) (x + 1) + E (x − 1 נשים לב שבמקרה הזה כדאי להתחיל מהצבה של הנקודות .1, −1 בסופו של דבר מקבלים x+3 1 1 1 5 1 4 1 1 1 5 · =− · + · 2 + 8 · x+1 + 3 · 2 + 2 3 8 x − 1 2 )(x − 1) (x + 1 )(x − 1 )(x + 1 )(x + 1 3 • גורם אי־פריק ממעלה :2 A Bx + C 1 = + 2 2 )(x − 1) (x + 1 x−1 x +1 )את הקבועים אנחנו כבר יודעים למצוא(.. • גורם אי־פריק ממעלה 2בחזקה גבוהה: A Bx + C Dx + E + 2 + x − 1 x + x + 1 (x2 + x + 1)2 4 = 5x + 1 2 )(x − 1) (x2 + x + 1 2 מעבר מפונקציה רציונלית לסכום של פונקציות רציונליות פשוטות )חילוק ארוך( 2.1.3 P Q אם פונקציה רציונלית אינה פשוטה ,נרצה לפרק אותה לסכום של פולינום ופונקציה רציונלית פשוטה. השיטה :חילוק ארוך של פולינומים .לא נוכיח משפט שמבטיח כזה פירוק )את זה תעשו בלינארית( ,אך נלמד לעשות זאת ע"י דוגמאות. דוגמאות: 3 x − 2x − 1 .1נפרק את x2 + 3 כנדרש: x x3 − 2x − 1 x2 + 3 − x3 − 3x − 5x − 1 כלומר −5x−1 x2 +3 3 . x x−2x−1 =x+ 2 +3 x3 + 1 .2נפרק את x+1 : x2 − x + 1 x3 +1 2 x+1 3 −x −x − x2 x2 + x x+1 −x−1 0 3 +1 כלומר = x2 − x + 1 . xx+1 x4 נעשה דוגמה מסכמת של שלבים 4־3־ :2חשבו את x3 + x2 − x − 1 Z . פתרון: שלב :2נבצע חילוק ארוך של הפולינומים כדי להביא את האנטגרל לסכום של אנטגרלים של פונקציות ראציונליות פשוטות. x−1 x4 − x4 − x3 + x2 + x − x3 + x2 + x x3 + x2 − x − 1 −1 2x2 5 x3 + x2 − x − 1 כלומר 2x2 − 1 x4 =x−1+ 3 + −x−1 x + x2 − x − 1 x2 x3 שלב :3נייצג את הפונקציה כסכום של פונקציות בצורה יסודית .נסמן .Q (x) = x3 + x2 − x − 1כדי לפרק את Qלגורמים ,נשים לב ש Q (1) = 0כלומר Qמתחלק ב .x − 1נבצע חילוק ארוך ונקבל: x2 + 2x + 1 x3 + x2 − x − 1 x−1 − x3 + x2 2x2 − x − 2x2 + 2x x−1 −x+1 0 2 כלומר ) .Q (x) = (x − 1) x2 + 2x + 1 = (x − 1) (x + 1כעת ,פירוק לשברים חלקיים נותן 2x2 − 1 A B C = + + 2 2 x +x −x−1 x − 1 x + 1 (x + 1)2 שלב :4חישוב האינטגרל כסכום של אנטגרלים שקל לחשב Z 1 2 2.1.4 )(x + 1 1 +C x+1 Z 1 +B x−1 Z Z (x − 1) + A x4 = 3 2 x +x −x−1 Z . מעבר לפונקציה רציונלית )שיטות הצבה שונות( בחלק זה נראה שיטות הצבה שונות ,אשר מבטיחות שנוכל להעביר אינטגרלים של פונקציות ממשפחות שונות לאינטגרלים על פונקציה רציונלית. נסמן ב־)) R (f1 (x) , . . . , fk (xאת אוסף הפונקציות שמערבות פעולות אריתמטיות )כפל ,חילוק ,חיבור ,חיסור( R בין הפונקציות הנתונות .נסמן ב־)) R (f1 (x) , . . . , fk (xאת אוסף האינטגרלים הלא־מסוימים של פונקציות ממשפחה זו .ההצבות הבאות מבטיחות שאחריהן נקבל אינטגרל של פונקציה רציונלית: ! r Z q b − tm d ax + b m ax+b ,x = mכלומר xהוא פונקציה רציונלית .ההצבה .t = m cx+d :מתקיים R x, .1 t c−a cx + d של .tמכאן נובע שגם ) x0 (tהיא פונקציה רציונלית. דוגמאות: )א( q q 3 Z x · 3 x+1 Z 1+t3 x+1 t = 3 x−1 ⇒ x = t1+t x−1 3t2 3 −1 t3 −1 · t = q dx = · dt 2 3 1+t 3t 2 t3 −1 + t (t3 − 1)2 dx = (t3 −1)2 dt 2x + 3 x+1 x−1 6 האינטגרל שקיבלנו הוא של פונקציה רציונלית ולכן ־ כפי שראינו ־ פתיר. )ב( 2tdt 1+t Z = " # √ t = x ⇒ x = t2 , t ≥ 0 dx = 2tdt 1 = √ 1+ x Z האינטגרל שקיבלנו הוא של פונקציה רציונלית ולכן ־ כפי שראינו ־ פתיר. q q R mk ax+b . R x, m1 ax+bההצבה) n = lcm (m1 , . . . , mk ) :המספר הטבעי המינימלי המתחלק .2 , . . . , cx+d cx+d q .t = n ax+b בכל ,(miומציבים cx+d למשל .lcm (2, 3, 4) = 12 דוגמה: 6t5 dt ) (1 + 2t3 + t2 Z t6 √ 6 # " t = x ⇒ x = t6 dx √ √ = = 3 )x (1 + 2 x + x dx = 6t5 dt Z . √ R .3הצבות אוילר . R x, ax2 + bx + c :ההצבות )א( אם ,a > 0 p √ ax2 + bx + c = t − a · x √ ax2 + bx + c = t2 − 2 axt + ax2 t2 − c √ b + 2 at =x לאחר ההצבה נקבל אינטגרל של פונקציה רציונלית. )ב( אם ,c > 0 c √ ax2 + bx + c = xt + p )ג( אם יש שני שורשים x1 , x2ל ax2 + bx + cאז מתקיים השוויון r p p x − x2 2 ax + bx + c = a (x − x1 ) (x − x2 ) = (x − x1 ) a x − x1 ועכשיו אפשר להשתמש בהצבה .1 הערה :כמובן שלעתים יכולות להתקיים שתי אפשרויות בו זמנית ,ולכן ניתן להשתמש ביותר משיטה אחת .מכל מקום ,חשבו מדוע שלוש האפשרויות הללו מכסות את כל המקרים האפשריים. דוגמה :נשתמש בהצבת אוילר )א( )ניתן גם להשתמש בהצבה )ב((: √ x2 − x + 1 = t − x Z Z dx 1 t2 − t + 1 t2 −1 √ x = 2t−1 = = ·2 2 · dt t x + x2 − x + 1 )(2t − 1 t2 −t+1 dx = 2 (2t−1)2 dt 7 x 2 cos (x) = 1 − tan2 1 + tan2 R : הצבה. R (sin (x) , cos (x)) . הצבה טריגונומטרית.4 x 0 2 tan x2 dx 1 − t2 2t 2 2 = , = (2 arctan (t)) = x = 1 + t2 , sin (x) = 2 x 2 1+t dt 1 + t2 1 + tan 2 2 : מתקיים.t = tan .ולכן הצבה זו תתן אינטגרל של פונקציה רציונלית :דוגמאות ()א Z ההצבה,למשל x i dx = t = tan 2 sin3 (x) h 2 t2 +1 Z = 2t 1+t2 3 · dt . זה לא אומר שאין הצבה טובה יותר, גם אם הצבה מסוימת עובדת:)ב( אזהרה :הטריגונומטרית באינטגרל Z sin6 (x) cos7 (x) dx : אפשר לשים לב ש, לעומת זאת.נותנת אינטגרל לא כ"כ נעים של פונקציה רציונלית Z Z 3 0 sin6 (x) cos7 (x) dx = sin6 (x) 1 − sin2 (x) (sin (x)) dx Z .מתאימה הרבה יותר במקרה הזה t6 1 − t2 3 dt שנותנתt = sin (x) ולכן ההצבה √ R .x = a sin (t) , dx = a cos t dt : הצבה. R x, a2 − x2 .5 √ R a a sin t 2 2 .6 .x = cos t , dx = cos2 t dt : הצבה. R x, x − a √ R .x = a tan (t) , dx = (cosa t)2 dt : הצבה. R x, a2 + x2 .7 :דוגמה Z √ x2 dx 9 + x2 " = x= 3 tan (t) , − π2 < dx = (cos3 t)2 dt π 2 t< # Z = 9 (tan t) q = = 2 dt = 9 · sin t 2 (cos t) q 1+ Z 9 2 (sin t) 2 3 (cos t) ·q cos t " 2 (sin t) 3 dt (cos t) Z Z 1 = t 2 s = tan 2 1+s2 ds 4s2 = dt Z =9 2s 1+s2 1−s2 1+s2 3 2 dt (cos t) = 1 2 dt = 2 (sin t) + (cos t) 2 3 · 2 ds = 1 + s2 ! 1−s 2· +C 2 + log 1 + s (s2 − 1) t 2 מכיוון ש־.כעת עלינו לחזור למשתנה המקורי ! arctan x3 2 9 = 9 3 ds = · · · = 4 · 2 (1 − s ) : נקבלt = arctan x3 ו־s = tan s = tan # · 9 + 9 (tan t) 2 (sin t) 9 (cos t)2 Z 2 s3 + s .ונציב זאת בפתרון שקיבלנו 8