OBWODY I SYGNAŁY 2
Wykład 12 : Czwórniki – parametry robocze i falowe
12. CZWÓRNIKI – PARAMETRY ROBOCZE I FALOWE
12.1. PARAMETRY ROBOCZE
Jeżeli do jednych wrót czwórnika dołączono źródło wymuszeń, natomiast drugie wrota obciążono dwójnikiem bezźródłowym, to czwórnik taki
pracuje w układzie przesyłowym i charakteryzują go parametry robocze.
Przyjmujemy założenie, że źródło wymuszeń o napięciu źródłowym
Eg i impedancji wewnętrznej Zg dołączono do wrót pierwotnych, a wrota
wtórne czwórnika obciążono dwójnikiem o impedancji Zobc
I1
Zg
1
U1
Eg
I2
1’
2
CZWÓRNIK
U2
Z obc
2’
Do parametrów roboczych czwórnika klasy SLS – należy:
dr inż. Marek Szulim
e-mail: mszulim@wat.edu.pl
1 /11
OBWODY I SYGNAŁY 2
Wykład 12 : Czwórniki – parametry robocze i falowe
IMPEDANCJA WEJŚCIOWA PIERWOTNA
określana jest na zaciskach pierwotnych jako stosunek napięcia do
prądu pierwotnego przy obciążeniu czwórnika po stronie wtórnej
dwójnikiem o impedancji Zobc
I1
Zg
I2
1
2
CZWÓRNIK
U1
Eg
U2
1’
Z obc
2’
Z we1 =
U1
I1
Jeśli czwórnik opisuje się równaniami impedancyjnymi to z pierwszego równania (11.6):
U
I
U 1 = z11 I 1 + z12 I 2
⇒ Z we1 = 1 = z11 + z12 2
I1
I1
Natomiast z drugiego równania po uwzględnieniu, że U 2 = − Z obc I 2
I2
z 21
U 2 = z 21 I 1 + z 22 I 2
⇒
=−
I1
Z obc + z 22
Stąd:
Z we1 =
U1
z z
= z11 − 12 21
I1
Z obc + z 22
(12.1)
W granicznym przypadku gdy strona wtórna jest:
• rozwarta (Zobc = ∞ ), impedancja ta staje się
impedancją wejściową pierwotną rozwarciową Z1o i wynosi
Z we1 Z
obc = ∞
= Z 1 o = z11
(12.2)
• zwarta (Zobc = 0 ), impedancja ta staje się
impedancją wejściową pierwotną zwarciową Z1z i wynosi
Z we1 Z
dr inż. Marek Szulim
e-mail: mszulim@wat.edu.pl
obc = 0
= Z1z =
det Z
z 22
(12.3)
2 /11
OBWODY I SYGNAŁY 2
Wykład 12 : Czwórniki – parametry robocze i falowe
IMPEDANCJA WEJŚCIOWA WTÓRNA
jest impedancją widzianą z zacisków wtórnych czwórnika (przy
Eg = 0) i wyraża się stosunkiem napięcia do prądu wtórnego
I1
I2
1
Zg
2
CZWÓRNIK
U1
U2
2’
1’
Z we2 =
U2
I2
Z drugiego równania (11.6) otrzymujemy
⇒
U 2 = z 21 I 1 + z 22 I 2
Z we 2 =
U2
I
= z 22 + z 21 1
I2
I2
Natomiast z drugiego równania po uwzględnieniu, że U 1 = − Z g I 1
Stąd:
Z we 2 =
I1
z12
=−
I2
Z g + z11
⇒
U 1 = z11 I 1 + z12 I 2
U2
z z
= z 22 − 12 21
I2
Z g + z11
(12.4)
W granicznych przypadkach Zwe2 staje się:
• impedancją wejściową wtórną rozwarciową Z2o
Z we 2 Z
g
=∞
= Z 2 o = z 22
(12.5)
• impedancją wejściową wtórną zwarciową Z2z
Z we 2 Z
g
=0
= Z2z =
det Z
z11
(12.6)
UWAGA:
Tak określone impedancje zwarciowe i rozwarciowe, pierwotne i wtórne
związane są zależnością: Z 1 o Z 2 z = Z 2 o Z 1 z = det Z
dr inż. Marek Szulim
e-mail: mszulim@wat.edu.pl
3 /11
OBWODY I SYGNAŁY 2
Wykład 12 : Czwórniki – parametry robocze i falowe
WZMOCNIENIE NAPIĘCIOWE (TRANSMITANCJA NAPIĘCIOWA)
Ku =
U2
U1
=
z 21 Z obc
det Z + z11 Z obc
I1
Gdy uwzględni się fakt zasilania z
rzeczywistego źródła energii, mówimy o
skutecznym (efektywnym)
wzmocnieniu napięciowym:
K u sk =
U2
Eg
=
(12.7)
Zg
Eg
1
2
U1
U 2 Z obc
1’
2’
Ku
U2
U2
=
=
Zg
U1 + Z g I1 U + Z U1
1+
g
1
Z we1
Z we1
(12.8)
WZMOCNIENIE PRĄDOWE (TRANSMITANCJA PRĄDOWA)
Ki =
(− I 2 )
I1
Gdy uwzględni się fakt zasilania z
rzeczywistego źródła energii, mówimy o
skutecznym (efektywnym)
wzmocnieniu prądowym:
K i sk =
(− I 2 ) = (− I 2 ) = (− I 2 )
Ig
=
z 21
z 22 + Z obc
(12.9)
(-I 2)
I1
1
Zg
Ig
Eg
U1 + Z g I1
Zg
Zg
2
U1
U 2 Z obc
1’
=
(− I 2 )
Z we1 I 1 + Z g I 1
Zg
2’
=
Ki
(12.10)
Z we1
1+
Zg
UWAGA: Wszystkie określone powyżej transmitancje (wzmocnienia) mogą być również wyrażone w mierze logarytmicznej:
[N ]
K dB = 20 lg K [dB ]
K N = ln K
dr inż. Marek Szulim
e-mail: mszulim@wat.edu.pl
4 /11
OBWODY I SYGNAŁY 2
Wykład 12 : Czwórniki – parametry robocze i falowe
12.1. PARAMETRY FALOWE CZWÓRNIKA
Parametry falowe czwórnika określane są dla szczególnych warunków
pracy czwórnika a mianowicie przy tzw. dopasowaniu falowym.
IMPEDANCJE FALOWE
Rozważmy czwórnik pracujący w układzie przesyłowym i załóżmy, że
jest on opisany parametrami łańcuchowymi – wówczas:
I1
Zg
I2
1
2
U1
Eg
U2
CZWÓRNIK
1’
2’
Z we1
Z we1 =
Z we2
Z obc a11 + a12
Z obc a 21 + a 22
(12.11)
Z we 2 =
Żądając aby
Z g = Z we1
Zg =
otrzymuje się
Z obc
oraz
Z g a 22 + a12
Z g a 21 + a11
Z obc = Z we 2
Z obc a11 + a12
Z obc a 21 + a 22
Z obc =
Z g a 22 + a12
(12.12)
(12.13)
(12.14)
Z g a 21 + a11
Impedancje Zg i Zobc, będące rozwiązaniami układu równań
(12.14) nazywają się impedancjami falowymi (charakterystycznymi)
czwórnika i wyrażają się wzorami:
dr inż. Marek Szulim
e-mail: mszulim@wat.edu.pl
5 /11
OBWODY I SYGNAŁY 2
Wykład 12 : Czwórniki – parametry robocze i falowe
impedancja falowa pierwotna
Z f1 =
a11 a12
a 21 a 22
(12.15)
impedancja falowa wtórna
Zf2=
a 22 a12
a 21 a11
(12.16)
Jest to zatem para impedancji o takiej właściwości, że
• Jeśli Zg=Zf1, to mówimy że czwórnik jest dopasowany falowo na
wejściu (wówczas impedancja wejściowa wtórna jest równa jego
impedancji falowej wtórnej).
1
2
Z g = Z f1 CZWÓRNIK
E g 1’
Z we2 = Z f2
2’
• Jeżeli natomiast Zobc=Zf2, to mówimy, że czwórnik jest dopasowany falowo na wyjściu (wówczas impedancja wejściowa pierwotna
jest równa jego impedancji falowej pierwotnej)
1
Z we1 = Z f1
2
CZWÓRNIK
1’
Z obc = Z f2
2’
• Jeśli czwórnik jest dopasowany na wejściu i na wyjściu to mówimy,
że jest obustronnie dopasowany falowo (w stanie dopasowania
falowego),
UWAGA: Impedancje falowe są parametrami własnymi czwórnika, tzn.
zależą tylko od właściwości samego czwórnika!
dr inż. Marek Szulim
e-mail: mszulim@wat.edu.pl
6 /11
OBWODY I SYGNAŁY 2
Wykład 12 : Czwórniki – parametry robocze i falowe
Impedancje falowe można uzależnić od impedancji wejściowych stanu
jałowego i stanu zwarcia.
Ponieważ impedancja wejściowa pierwotna:
• rozwarciowa Z 1o =
a11
(12.17)
a 21
• zwarciowa
Z1z =
a12
(12.18)
a 22
Z2z =
a12
(12.20)
a11
natomiast impedancja wejściowa wtórna:
• rozwarciowa Z 2 o =
a 22
(12.19)
a 21
• zwarciowa
Zatem: impedancja falowa pierwotna
impedancja falowa wtórna
Z f1 =
Z 1o Z 1 z
(12.21)
Zf2=
Z 2o Z 2 z
(12.22)
IMPEDANCJĘ FALOWĄ ŚREDNIĄ CZWÓRNIKA określamy
jako średnią geometryczną impedancji falowej pierwotnej i wtórnej
Zf =
Z f1Z f 2 =
a12
a 21
(12.23)
Jeśli czwórnik jest symetryczny (a11=a22) to posiada tylko jedną impedancję falową
Z f = Z f1 = Z f 2 =
Zo Zz
(12.24)
Dla czwórnika niesymetrycznego możemy również posługiwać się pojęciem
przekładni impedancyjnej czwórnika określonej następująco:
p=
Można wykazać, że
dr inż. Marek Szulim
e-mail: mszulim@wat.edu.pl
Zf2
Z f1 =
(12.25)
Z f1
Zf
p
, Z f 2 = pZ f
(12.26)
7 /11
OBWODY I SYGNAŁY 2
Wykład 12 : Czwórniki – parametry robocze i falowe
TAMOWNOŚĆ FALOWA (współczynnik przenoszenia falowego)
Drugim istotnym parametrem falowym czwórnika jest tamowność falowa „g”. Określa się ją dla czwórnika DOPASOWANEGO FALOWO
NA
•
WYJŚCIU jako tamowność falową pierwotną
(- I 2)
I1
1
U1
1’
•
U1I1
1
g 1 = ln
2 U 2 (− I 2 )
2
g1
U2
2’
Z obc = Z f 2
(12.27)
WEJŚCIU jako tamowność falową wtórną
(- I 1)
I2
1
2
U1
1’
g2
U2
U2I2
1
g 2 = ln
2 U 1 (− I 1 )
2’
Z g =Z f 1
(12.28)
g=
Definiuje się także tamowność falową średnią
g1 + g 2
2
(12.29)
Współczynniki g1 i g2 można wyrazić za pomocą macierzy łańcuchowej czwórnika:
)
(12.30)
⎛ a a + a12 a 21 ⎞
⎟
g 2 = ln ⎜⎜ 11 22
⎟
det
A
⎠
⎝
(12.31)
g 1 = ln
dr inż. Marek Szulim
e-mail: mszulim@wat.edu.pl
(
a11 a 22 + a12 a 21
8 /11
OBWODY I SYGNAŁY 2
Wykład 12 : Czwórniki – parametry robocze i falowe
Z równań (11.63 i 64) wynika, że dla czwórników odwracalnych
(det A=1) oba współczynniki przenoszenia są sobie równe
g = g1 = g 2 = ln
(
a11 a 22 + a12 a 21
)
(12.32)
Warunki transmisji sygnałów przez czwórnik odwracalny są dla obu
kierunków transmisji identyczne.
Przepływ energii odbywa się w sposób symetryczny.
====================================
Gdy czwórnik dopasowany jest falowo na wyjściu:
(- I 2)
I1
1
Z we1=Z f1
2
U1
1’
U2
g1
2’
U2
=Z
(− I 2 ) f 2
U1
= Z f1 ⇒
I1
I1 =
⇒
(− I 2 ) =
U2
Zf2
U1
Z f1
U1
Z f 1 1 U 12 Z f 2
U1I1
1
1
g 1 = ln
= ln
= ln 2
2 U 2 (− I 2 ) 2 U U 2
2 U2 Z f1
2
Zf2
U1
I 12 Z f 1
1
= ln
2 (− I 2 )2 Z f 2
====================================
W przypadku czwórnika symetrycznego [pamiętając o (12.24)]
g = ln
(
U1
I
= ln 1
(− I 2 )
U2
)
(
g = ln a11 + a12 a 21 = ln a11 + a112 − 1
dr inż. Marek Szulim
e-mail: mszulim@wat.edu.pl
(12.33)
)
(12.34)
9 /11
OBWODY I SYGNAŁY 2
Wykład 12 : Czwórniki – parametry robocze i falowe
Ogólnie współczynnik przenoszenia falowego jest liczbą zespoloną
o postaci
g= a+jb
współczynnik
tłumienia falowego
współczynnik
przesunięcia falowego
(tłumienność)
(przesuwność)
====================================
Zespolone wartości skuteczne napięć zaciskowych:
U 1 = U 1 e j Ψ1 , U 2 = U 2 e j Ψ 2
====================================
Zgodnie z (12.33)
U1
U 1 e j Ψ1
g = ln
= ln
U2
U 2 e jΨ 2
⎛U
= ln ⎜⎜ 1
⎝U2
⎛U
= ln ⎜⎜ 1
⎝U2
⎛ e jΨ 1 ⎞
⎞
⎟⎟ + ln ⎜⎜ jΨ 2 ⎟⎟
⎠
⎝e
⎠
⎞
⎟⎟ + ln e j (Ψ1 −Ψ 2 )
⎠
(
)
⎛U ⎞
= ln ⎜⎜ 1 ⎟⎟ + j (Ψ1 −Ψ 2 )
⎝U2 ⎠
=
a [Np]
+ j b [rad ]
Przekształcając (12.33)
g
e =
U1
U2
e = e(a + jb ) = e
g
a
ej
b
U 1 U 1 e j Ψ1
U1 j (Ψ1 −Ψ 2 )
=
=
e
U2
U 2 U 2 e jΨ 2
dr inż. Marek Szulim
e-mail: mszulim@wat.edu.pl
10 /11
OBWODY I SYGNAŁY 2
Wykład 12 : Czwórniki – parametry robocze i falowe
PRZYKŁAD:
Dla czwórnika w stanie dopasowania falowego o znanej
⎡(4 + j 2)
⎣ 0,2
(− 20 + j 20)⎤
(4 + j 2) ⎥⎦
macierzy łańcuchowej A = ⎢
i znanym napięciu wej. u1 (t ) = 10 2 sin(628 t + 60 )
o
wyznaczyć: a)
b)
c)
Ad. a)
rozwarciową i zwarciową impedancję wejściową wtórną;
parametry dwójnika obciążenia;
napięcie wyjściowe.
rozwarciowa impedancja wejściowa wtórna (12.19)
Z 2o =
a 22 4 + j 2
=
= 20 + j10
a 21
0,2
zwarciowa impedancja wejściowa wtórna (12.20)
Z2z =
Ad. b)
a12 − 20 + j 20
=
= −2 + j 6
a11
4 + j2
Z macierzy A wynika, że czwórnik jest symetryczny, czyli (12.24)
Zf =
Z o Z z = Z obc = 4,55 + j 10,99
R
Zatem:
XL
Znając pulsację i reaktancję indukcyjną, L =
Ad. c)
Tamowność falowa (12.34)
(
) (
o
)
XL
ω
(
= 17 [mH]
g = ln a11 + a112 − 1 = ln 8,88 e j 27,15 = ln 8,88 e j 0, 474 rad
(
)
)
g = ln(8,88) + ln e j 0, 474 rad = 2,18 + j 0,474
Czyli:
U2 =
U1 10
10
=
=
= 1,126 [v], Ψ 2 =Ψ1 − b
e a e 2,18 8,88
[ ] = 60
o
o
− 27,15o = 32,85o
u2 (t ) = 1,126 2 sin(628 t + 32,85o )
dr inż. Marek Szulim
e-mail: mszulim@wat.edu.pl
11 /11