FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS
TALLER DE CALCULO III PREVIO A EXAMEN FINAL – ENTREGAR EN GRUPOS DE 4 INTEGRANTES EN FÍSICO
FECHA DE ENTREGA: LUNES 27 DE MAYO
NOMBRE 1:
NOMBRE 2:
NOMBRE 3:
NOMBRE 4:
CÓDIGO:
CÓDIGO:
CÓDIGO:
CÓDIGO:
1. Para una elipse de centro 𝐶(3, 0) y semiejes de longitudes 1 y 2 (𝑥 y 𝑦 respectivamente), encontrar los
puntos de la elipse más cercanos y más alejados del origen.
2. Hallar la distancia más corta del punto (4, 0, 0) al cono 𝑧 = √𝑥 2 + 𝑦 2 y dar el punto del cono dónde se da
esa distancia.
3. Un estudiante tiene $100000 pesos para comprar y vender en galletas y papitas, las galletas cuestan $400
la unidad y las papitas $700 la unidad. Suponga que la utilidad obtenida por la venta de 𝑥 galletas y 𝑦
papitas está dada por la función de utilidad 𝑃(𝑥, 𝑦) = 15𝑥 0.55 𝑦 0.45. ¿Cuántas unidades de galletas y
papitas debería comprar el estudiante para maximizar la utilidad, y cuál es dicha utilidad?
4. Determinar las dimensiones de una lata cilíndrica de volumen 1000 𝑐𝑚3en las que el área superficial sea
mínima y calcula su área superficial.
5. La ganancia que obtiene un comerciante por la venta de tres productos diferentes 𝑥, 𝑦 y 𝑧, de precios
$300, $200 y $600 pesos respectivamente, es 𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥1/4 𝑦1/5 𝑧1/6 . Determinar cuántas cantidades
debe comprar de cada producto para maximizar su ganancia si dispone de $18000 pesos y cuál es dicha
ganancia.
6. Utilizar una integral doble para hallar el volumen limitado por las ecuaciones 𝑧 = 1 − 𝑥 2 − 𝑦 2 , 𝑧 = 1 − 𝑥.
7. Utilizando integrales dobles hallar el volumen debajo de la superficie dada por la función 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦
sobre la región acotada por 𝑦 = √1 − 𝑥 2 , 𝑦 = 𝑥.
8. Calcular ∬𝐷 (𝑥 2 − 2𝑦 + 𝑦 2 )𝑑𝐴 donde 𝐷 es el circulo con centro en (1, 1) y radio 2.
9. Calcule el área de la porción de superficie cónica 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑧 2 situada por encima del plano 𝑧 = 0 y
limitada por la esfera 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 2𝑎𝑥.
10. Calcule el área de la superficie cilíndrica 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑎𝑦 limitada por la esfera con centro en el origen y
radio 𝑎 > 0.
11. Hallar el área debajo de la superficie 𝑧 = (𝑥 − 𝑦)2 sobre la curva plana 𝐶 dada por la ecuación 𝑦 3 = 𝑥 2 ,
desde el punto (−1, 1) hasta el punto (1, 1).
12. Calcular la integral de línea ∫𝐶 𝑭 ⋅ 𝑑𝒓 con 𝑭(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝒊 + 𝑦𝒋, a lo largo de la curva 𝐶 dada por el tramo del
primer cuadrante de la curva 𝑥 2/3 + 𝑦 2/3 = 1.
13. Calcular la integral de línea ∫𝐶 𝑭 ⋅ 𝑑𝒓 con 𝑭(𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 𝑦)𝒊 + (𝑥 − 𝑦)𝒋, a lo largo de la curva 𝐶 dada por
el tramo del primer cuadrante de la elipse 𝑥 2 /𝑎2 + 𝑦 2 /𝑏 2 = 1.
14. Verificar el teorema de Green para el campo vectorial 𝐹⃗ (𝑥, 𝑦) = (2𝑥𝑦 − 𝑥 2 )𝑖̂ + (𝑥 + 𝑦 2 )𝑗̂ sobre la región
acotada por las curvas 𝑦 = 𝑥 2 , 𝑥 = 𝑦 2 .
15. Utilizar el teorema de Green para calcular el área de la región encerrada por la curva polar 𝑟 =
2(1 − cos 𝜃), con 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋.
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16. Utilice el teorema de Stokes para evaluar ∫𝐶 𝑭 ∙ 𝑑𝒓, donde 𝑭(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 2 𝑦𝒊 + 3 𝑥 3 𝒋 + 𝑥𝑦𝒌 y 𝐶 es la curva
de la intersección entre el paraboloide hiperbólico 𝑧 = 𝑦 2 − 𝑥 2 y el cilindro 𝑥 2 + 𝑦 2 = 4 con orientación
en el sentido contrario al de las manecillas del reloj como si se viera desde arriba.
17. Utilice el teorema de Stokes para evaluar ∫𝐶 𝑭 ∙ 𝑑𝒓, donde 𝑭(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 2 𝑧𝒊 + 𝑥𝑦 2 𝒋 + 𝑧 2 𝒌 y 𝐶 es la curva
de la intersección entre el plano 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1 y el cilindro 𝑥 2 + 𝑦 2 = 25 con orientación en el sentido
contrario al de las manecillas del reloj como si se viera desde arriba.
18. Calcular el flujo del campo 𝑭(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝒊 + 𝑦𝒋 + 𝑧𝒌 a través de la porción de superficie 𝑆 determinada por
𝑧 2 = 𝑥 2 + 𝑦 2 , 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 2𝑥, 𝑧 ≥ 0.
19. Utilice el teorema de la divergencia para hallar el flujo 𝑭(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦 2 𝑧𝒊 + 𝑥𝑦𝑧 2 𝒋 + 𝑥 2 𝑦𝑧𝒌 a través de la
superficie del sólido dado 𝑅, donde 𝑅 es el sólido acotado por las circunferencias con centro en el origen y
radios 1 y 4 y las planos 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 y 𝑧 = 9.
20. Calcular la integral de superficie ∫𝑆 𝑭𝑑𝑺, donde 𝑭(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦 2 𝒊 + 𝑦𝑧 2 𝒋 + 𝑥 2 𝑧𝒌 y 𝑆 es la superficie
acotada por los cilindros 𝑥 2 + 𝑦 2 = 4, 𝑥 2 + 𝑧 2 = 4.