MAGAZINE DEVOIR
Devoir de contrôle (1)
N◦ 6
.
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EXERCICE N◦ 1
—15’
3 point
Pour chacune des questions suivantes indiquer la réponse correcte en écrivant la lettre correspondante.
1. Soit z un nombre complexe vérifiant : |z| + 3z = 28 + 24i alors le forme algébrique de z est :
(a) z = 8 + 6i
(c) z = 6 − 8i
(b) z = 6 + 8i
2. Soient les points A√et B d’affixes respectives 2 + i et 2 − i. L’ensemble des points M d’affixes z tel
que : |z̄ − 2 − i| = 5 est :
(a) Le cercle
√ de centre A et de
rayon 5
(b) Le cercle
√ de centre B et de
rayon 5
(c) Le cercle de centre de diamètre [AB].
3. Soient A, B et C trois points distincts vérifiant : ZC − ZA = 7i (ZB − ZA ).
(a) A ,B et C sont alignés.
EXERCICE N◦ 2
—35’
(b) AB = 7AC
(c) Le triangle ABC est rectangle en A.
6 point
I) Le graphique ci-dessous Cf est la représentation graphique d’une fonction f définie et continue sur
R∗ .
✓ La droite ∆ : y = −x − 1 est une asymptote oblique à Cf au voisinage de −∞.
✓ La droite ∆′ : y = 3 est une asymptote horizontale à Cf au voisinage de +∞.
✓ La droite d’équation x = 0 est une asymptote verticale à Cf .
b
b
b
1
-2.5
0
b
1
1. A l’aide du graphique et des renseignements fournis, déterminer :
1
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4Inf
1
.
x→+∞
x→+∞ f (x) − 3
f (x)
1
(b) lim f (x); lim
; lim f (x) + x + 1 et lim
.
x→−∞
x→−∞ x
x→−∞
x→−∞ f (x) + x + 1
(c) lim+ f (x) et lim− f (x). En déduire lim f (x)
(a)
lim f (x) ; lim
x→0
x→0
x→0
2. (a) Dresser le tableau de variation de f ·
(b) Résoudre graphiquement l’équation f (x) = 2·
(c) Résoudre graphiquement l’inéquation f (x) < 2·
II) On donne ci-contre le tableau de variation d’une fonction g définie et continue sur ] − ∞, 2[.
1. Interpréter graphiquement les limites de g en −∞ et
à gauche en 2.
(
)
2. Déterminer g ] − ∞, 2[
3. Montrer que l’équation g(x) = 0 admet dans ] − ∞, 2[
une unique solution α.
x
−∞
0
1
2
+∞
2
g(x)
−1
−3
4. Montrer que 0 < α < 1.
III) Soit la fonction h = g ◦ f .
1. Montrer que h est définie sur ]1, 5[.
2. Calculer h(2).
3. Déterminer lim+ h(x) et lim− h(x).
x→1
x→5
4. Déterminer le sens de variation de h sur chacun des intervalles ]1, 2] et [2, 5[.
EXERCICE N◦ 3
—35’
6 point
On considère la suite (un ) définie sur N par :

 u0 = 2
 un+1 =
2un + 3
, n∈N
un + 4
5
.
un + 4
(b) Montrer par récurrence que pour tout n ∈ N, un ⩾ 1.
1. (a) Vérifier que pour tout n ∈ N, un+1 = 2 −
−(un − 1)(un + 3)
.
un + 4
(b) En déduire que la suite (un ) est décroissante.
2. (a) Vérifier que pour tout n ∈ N, un+1 − un =
3. Montrer que la suite (un ) est convergente et calculer sa limite ℓ.
4. Soit (vn ) la suite définie sur N par vn =
un − 1
.
un + 3
(a) Montrer que la suite (vn ) est géométrique de raison
1
.
5
(b) Exprimer vn puis un en fonction de n.
2
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4Inf
(c) Retrouver lim un .
n→+∞
5. Soit Sn = v0 + v1 + · · · + vn−1 , n ∈ N.
[
( )n ]
1
1
(a) Montrer que Sn =
1−
.
4
5
(b) Calculer lim Sn .
n→+∞
EXERCICE N◦ 4
—35’
7 point
(
−
→ −
→)
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé O, u , v .
3 − 3i
On appelle A, B et C les points d’affixes respectives zA = −1 + 3i, zB = −2 et zc = −
.
2
Soit f l’application du plan privé de A dans le plan qui, à tout point M d’affixe z distincte de zA , associe
z+2
le point M ′ d’affixe z ′ définie par : z ′ =
.
z + 1 − 3i
1. Factoriser z 2 − 3iz − 2 en remarquant que z = i en est une solution, puis résoudre l’équation
(E) : z 2 − 3iz − 2 = 0.
2. Déterminer les affixes des points invariants par f . (Un point est invariant lorsque z = z ′ ).
3. Déterminer l’ensemble des points M tels que M ′ appartienne au cercle de centre O de rayon 1 .
4. En posant z = x + iy, déterminer Im (z ′ ) en fonction de x et y. En déduire l’ensemble des points M
tels que M ′ appartienne à l’axe des abscisses.
5. (a) Montrer que pour tout z différent de −1 + 3i on a l’équivalence suivante:
z+2
z̄ + 2
5
=−
⇐⇒ (z − zc ) (z − zc ) =
z + 1 − 3i
z̄ + 1 + 3i
2
(b) En déduire l’ensemble des points M tels que M ′ ait une affixe imaginaire pure (on peut répondre
à la question (b) en admettant le résultat de la question (a) ).
3
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