Analyse cinématique d’une table élévatrice TD 2 - Corrigé

Mécanique du solide - TD n˚2 : Analyse cinématique d’une table élévatrice On s’intéresse à une table élévatrice dont le schéma cinématique est présenté sur la Figure 1. Figure 1 – Schéma cinématique d’une table élévatrice L’architecture de cette table élévatrice repose sur un quadrilatère déformable. Elle comprend : −−→ →, → − → − − → – un bâti noté 1 auquel on associe un repère (O; − x 1 y1 , z1 ), avec OC = L1 x1 . → − – un bras motorisé 2, en liaison pivot d’axe (O, z1 ) avec le bâti 1, auquel on associe un repère −→ →, → − → − → − → − − → − → → − → − − → (O; − x 2 y2 , z2 ) tel que z2 = z1 et (x1 , x2 ) = ( y1 , y2 ) = α21 . De plus, on pose OA = R2 x2 . − – une plateforme 3, en liaison pivot d’axe (A, → z2 ) avec le bras motorisé 2, auquel on associe un −−→ − → → − → − → − → − − → − → − − →. repère (A; x3 , y3 , z3 ) tel que z3 = z2 et (x2 , x3 ) = (→ y2 , → y3 ) = α32 . De plus, on pose AB = L3 − x 3 − – une jambe 4 de longueur R4 , en liaison pivot d’axe (C, → z1 ) avec le bâti 1 et en liaison pivot − d’axe (B, → z3 ) avec la plateforme 3. L’objectif de cette étude est de caractériser le mouvement de la plateforme 3 par rapport au bâti 1 dans le cas particulier où le quadrilatère (OABC) est un parallélogramme. 1 Question 1 : Tracer le graphe des liaisons de ce mécanisme et dénombrer les inconnues cinématiques. Le graphe des liaisons de ce mécanisme est celui de la Figure 2. Figure 2 – Graphe des liaisons du mécanisme de la Figure 1 Question 2 : Écrire les torseurs cinématiques et tracer les figures de définition des deux angles α21 et α32 . Les figures de changement de base sont représentées sur la Figure 3. Figure 3 – Figures de changement de base permettant de définir les angles α21 et α32 On peut en déduire les torseurs cinématiques suivants : − − α˙21 → z1 α˙32 → z1 {V(2/1)} = , {V(3/2)} = ~0 ~0 O A {V(4/3)} = − − r43 → z1 r41 → z1 , {V(4/1)} = ~0 ~0 B C Question 3 : Déterminer la relation f (α˙32 , α32 , α˙21 , α21 ). La relation de composition des mouvements appliquée aux torseurs cinématiques nous permet d’écrire : {V(4/3)} + {V(3/2)} + {V(2/1)} − {V(4/1)} = O (1) 2 On a donc : − r43 → z1 ~0 + B − α˙32 → z1 ~0 + A − α˙21 → z1 ~0 − O − r41 → z1 ~0 =O C Du fait que les vecteurs rotations ne dépendent pas du point de réduction du torseur, il est possible d’écrire une première relation à l’aide de l’application de la relation de composition des mouvements à ces vecteurs rotations : r43 + α˙32 + α˙21 − r41 = 0 Cette relation n’est cependant pas intéressante du fait qu’elle fait intervenir les deux inconnues r43 et r41 . Nous allons donc devoir exploiter l’application de la relation de composition des mouvements aux vecteurs vitesses. Pour ce faire, nous devons tout d’abord choisir un point de réduction commun pour tous les torseurs cinématiques afin de pouvoir les sommer. Si l’on exprime le torseur {V(4/3)} en un point X, alors on obtient : ( ) − − r43 → z1 r43 → z1 {V(4/3)} = = −−→ − ~0 r43 → z1 ∧ BX B X De même, si l’on exprime le torseur {V(4/1)} en un point X, alors on obtient : ( ) − − r41 → z1 r41 → z1 {V(4/1)} = = −−→ − ~0 r41 → z1 ∧ CX C X Autrement dit, un changement de point de réduction des torseurs associés aux inconnues r41 et r43 fera apparaître ces inconnues dans le vecteur vitesse associé. Nous avons donc tout intérêt à changer de point de réduction un seul de ces deux torseurs, et donc à choisir pour point de réduction commun le point B ou le point C. Choisissons, par exemple, le point B. On a donc : ( ) − − α˙21 → z1 α˙21 → z1 {V(2/1)} = = −−→ − ~0 α˙21 → z1 ∧ OB O B ( ) − − α˙32 → z1 α˙32 → z1 {V(3/2)} = = −−→ − ~0 α˙32 → z1 ∧ AB A B → − r43 z1 {V(4/3)} = ~0 B ( ) − − r41 → z1 r41 → z1 {V(4/1)} = = −−→ − ~0 r41 → z1 ∧ CB C B La relation (1) permet donc d’écrire : ) ( ) ( ) ( − − − − ~0 α˙32 → z1 α˙21 → z1 r41 → z1 r43 → z1 = ~ + + − −−→ −−→ −−→ → − → − → − ~0 0 B α˙32 z1 ∧ AB α˙21 z1 ∧ OB r41 z1 ∧ CB B B B 3 B L’application de la relation de composition des mouvements aux vecteurs vitesses nous permet donc d’écrire : −−→ −−→ −−→ − − − α˙32 → z1 ∧ AB + α˙21 → z1 ∧ OB − r41 → z1 ∧ CB = ~0 −−→ −−→ −−→ − − − ⇔ α˙32 → z1 ∧ AB + α˙21 → z1 ∧ OB + r41 → z1 ∧ BC = ~0 Cette relation ne contient plus que l’inconnue r41 , qu’il est possible de supprimer en projetant −−→ cette relation selon BC. On obtient alors : −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ − − − (α˙32 → z1 ∧ AB) · BC + (α˙21 → z1 ∧ OB) · BC + (r41 → z1 ∧ BC) · BC = 0 −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ − − − ⇔ (α˙32 → z1 ∧ AB) · BC + (α˙21 → z1 ∧ OB) · BC + (BC ∧ BC}) · r41 → z1 = 0 | {z −−→ −−→ −−→ −−→ − − ⇔ (α˙32 → z1 ∧ AB) · BC + (α˙21 → z1 ∧ OB) · BC = 0 ~0 En remplaçant les vecteurs par leur expression, on obtient : −−→ −−→ −−→ −−→ − − (α˙32 → z1 ∧ AB) · BC + (α˙21 → z1 ∧ OB) · BC = 0 − →) · (L − → − → − → → − − → − → − → − → − → ⇔ (α˙32 → z1 ∧ L3 − x 3 1 x1 − R2 x2 − L3 x3 ) + (α˙21 z1 ∧ (R2 x2 + L3 x3 )) · (L1 x1 − R2 x2 − L3 x3 ) = 0 → ∧ (L − →−R − →−L − →)) · α˙ → − →+L − →) ∧ (L − →−R − →−L − →)) · α˙ → − ⇔ (L − x x x x z + ((R − x x x x x z =0 3 3 1 1 2 2 3 3 32 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 21 1 → ∧ (L − → − → → − − → − → − → → − ⇔ (L3 − x 3 1 x1 − R2 x2 )) · α˙32 z1 + ((R2 x2 + L3 x3 ) ∧ L1 x1 ) · α˙21 z1 = 0 − →) · (L − → − → → − − → − → − → ⇔ (α˙32 → z1 ∧ L3 − x 3 1 x1 − R2 x2 ) + (α˙21 z1 ∧ (R2 x2 + L3 x3 )) · L1 x1 = 0 − →) · (L − →−R − →) + (α˙ → − → + α˙ → − →) · L − →=0 ⇔ (α˙ → z ∧L − x x x z ∧R − x z ∧L − x x 32 3 3 3 1 1 2 2 21 2 2 2 21 3 3 3 1 1 − →−R − → → − → − − → ⇔ L3 α˙32 → y3 · (L1 − x 1 2 x2 ) + (R2 α˙21 y2 + L3 α˙21 y3 ) · L1 x1 = 0 − → − R L α˙ → − − → → − − → ⇔ L1 L3 (α˙21 + α˙32 )→ y3 · − x 1 2 3 32 y3 · x2 + L1 R2 α˙21 y2 · x1 = 0 Or, d’après les figures de changement de base de  −  → − → → −  x2 = cos α21 x1 + sin α21 y1  → − → + cos α → − y2 = − sin α21 − x 1 21 y1 ,  →  − − z2 = → z1 la Figure 3, on a : − → = cos α − → → − x 3 32 x2 + sin α32 y2 → − → + cos α → − y3 = − sin α32 − x 2 32 y2 , → − → − z =z 3 2  − → − → → −  x3 = cos(α21 + α32 )x1 + sin(α21 + α32 ) y1 → − → + cos(α + α )→ − y3 = − sin(α21 + α32 )− x 1 21 32 y1  → − → − z3 = z1 Nous avons donc : −L1 L3 (α˙21 + α˙32 ) sin(α21 + α32 ) + R2 L3 α˙32 sin α32 − L1 R2 α˙21 sin α21 = 0 (2) Question 4 : Intégrer cette relation. Dans le cas particulier où L1 = L3 = L, R2 = R4 = R et L 6= R, détailler les mouvements possibles. 4 L’intégration de la relation (2) nous permet d’écrire : L1 L3 cos(α21 + α32 ) − R2 L3 cos α32 + L1 R2 cos α21 = λ ∈ R En posant L1 = L3 = L et R2 = R4 = R, la relation précédente devient : L2 cos(α21 + α32 ) − RL cos α32 + LR cos α21 = λ ∈ R ⇔ L cos(α21 + α32 ) − R cos α32 + R cos α21 = λ0 ∈ R Dans le cas particulier où α32 = −α21 , on obtient λ0 = L. La relation précédente devient donc : L cos(α21 + α32 ) − R cos α32 + R cos α21 = L (3) Intéressons-nous maintenant aux mouvements possibles de la table. Plaçons-nous dans le cas particulier où α21 = 0, et considérons un déplacement de la jambe 4. Les points O, B et C sont alors connus, mais le point A ne l’est pas. Le point A appartient à la plateforme 3, donc le point A se trouve sur un cercle de centre B et de rayon L. De plus, le point A appartient au bras 2, donc le point A se trouve sur un cercle de centre O et de rayon R. Comme l’illustre la Figure 4, ces deux cercles ont deux points d’intersection, ce qui implique qu’il existe deux positions possibles du point A, et donc de la table : – une position (A ≡ A1 ) pour laquelle la table est fonctionnelle puisque OABC est un parallélogramme, – une position (A ≡ A2 ) pour laquelle la table n’est pas fonctionnelle puisque OABC n’est pas un parallélogramme. Question 5 : Caractériser le mouvement de la plateforme 3 par rapport au bâti 1 lorsque α32 = −α21 . Du fait que le point A appartient à la plateforme 3, le mouvement de la plateforme 3 est caractérisé par le torseur cinématique de son mouvement par rapport à 1 exprimé au point A. D’une part, on a : − ~ ~ ~ Ω(3/1) = Ω(3/2) + Ω(2/1) = (α˙21 + α˙32 )→ z1 = ~0 (4) On peut donc en déduire que le mouvement de la plateforme 3 par rapport au bâti 1 est un mouvement de translation. D’autre part, on a : ~ (A, 3/1) = V ~ (A, 3/2) +V ~ (A, 2/1) V | {z } ~0 −→ ~ (O, 2/1) +Ω(2/1) ~ = V ∧ OA | {z } ~0 − → = α˙21 → z1 ∧ R − x 2 → − − → = α˙21 z2 ∧ Rx2 − = Rα˙ → y 21 2 5 (5) Figure 4 – Les deux mouvements possibles de la table Du fait que la distance OA est constante et que la vitesse du point A est non nulle, alors on peut en déduire que la trajectoire du point A est le cercle de centre O et de rayon R. Le mouvement de la plateforme 3 par rapport au bâti 1 est donc un mouvement de translation circulaire. 6

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