Instituto Tecnológico de La Laguna
División de Estudios de Posgrado e Investigación
Robótica
Tarea I
Alumno:
Ed-yoha Abiram Vaquera Hernández
Dr. J. Alfonso Pámanes Garcı́a
28 de febrero del 2020
1.
Tarea I
Considerar 3 rotaciones sucesivas de un marco ortogonal ΣD con respecto a otro ,ΣA , en angulos
α, β, γ con respecto a los vectores ”z,y,x” respectivamente:
a) Obtenga la matriz de rotación A
D R que describe la orientación de ΣD con respecto a ΣA
cuando ΣD alcanza la orientación final.
b) Demuestre que det de A
D R = 1 mediante angulos de euler.
c) Demuestre tambien que det de A
D R = 1 mediante angulos de Bryant.
2.
Solución a
Tenemos las siguientes ecuaciones:
cα sα 0
A
B R = sα cα 0
0 0 1
cβ 0 sβ
B
0
1 0
CR =
−sβ 0 cβ
1 0
0
C
D R = 0 cγ −sγ
0 sγ cγ
Multiplicamos (1) y (2) para obtener A
CR :
cα sα 0
cβ 0 sβ
cαcβ −sα cαsβ
A
A
B
0
1 0 = cβsα cα sαsβ
C R =B RC R = sα cα 0
0 0 1 −sβ 0 cβ
−sβ
0
cβ
Tambien multiplicamos (4) y (3) para obtener A
DR :
cαcβ −sα cαsβ
1 0
0
A
A
C
cα sαsβ 0 cγ −sγ
D R =C RD R cβsα
−sβ
0
cβ
0 sγ cγ
cαcβ cαsβsγ − cγsα cαcγsβ + sαsγ
A
D R = cβsα cαcγ + sαsβsγ cγsαsβ − cαsγ
−sβ
cβsγ
cβcγ
1
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
3.
solución b
procedemos a escribir las diagonales para encontrar el determinante :
D1 = c2 αc2 βc2 γ + cαc2 βcγsαsβsγ
D2 = c2 γs2 αs2 β + c2 αs2 βs2 γ − cαcγsαsβsγ − cαcγsαs3 βsα
D3 = c2 βs2 αs2 γ + cαc2 βcγsαsβsγ
Procedemos a escribir las diagonales inversas considerando ya el signo negativo :
Di1 = cαcγsαsβsγ + c2 αc2 γs2 β + s2 αs2 βs2 γ + cαcγsαs3 βsγ
Di2 = c2 αc2 βs2 γ − cαc2 βcγsαsβsγ
Di3 = c2 βc2 γs2 α − cαc2 βcγsαsβsγ
Con la ayuda de Matlab obtenemos el siguiente resultado :
detA
D R = D1 + D2 + D3 + Di1 + Di2 + Di3
4.
detA
DR = 1
(6)
cµcν
−cµsν
sµ
A
sλsµcν + cλsν −sλsµsν + cλcν −sλcµ
DR =
−cλsµcν + sλsν cλsµsν + sλcν
cλcµ
(7)
solución c
procedemos a escribir las diagonales para encontrar el determinante :
D1 = −c2 λc2 µc2 ν − cλc2 µcνsλsµsν
D2 = c2 µs2 λs2 ν − cλc2 µcνsλsµsν
D3 = cλcνsλs3 µsν + c2 νs2 λs2 µ + c2 λs2 µs2 ν + cλcνsλsµsν
Procedemos a escribir las diagonales inversas considerando ya el signo negativo :
Di1 = c2 λc2 νs2 µ + s2 λs2 µs2 ν − cλcνsλs3 µsν − cλcνsλsµsν
Di2 = cλc2 µcνsλsµsν + c2 µc2 νs2 λ
Di3 = cλc2 µcνsλsµsν + c2 µc2 νs2 λ
Con la ayuda de Matlab obtenemos el siguiente resultado :
detA
D R = D1 + D2 + D3 + Di1 + Di2 + Di3 = 1
2
0
