RESUMEN VARIABLE COMPLEJA
Suma
(𝑥1 + 𝑖𝑦1 ) + (𝑥2 + 𝑖𝑦2 ) = (𝑥1 + 𝑥2 ) + 𝑖(𝑦1 + 𝑦2 )
Multiplicación
(𝑥1 + 𝑖𝑦1 )(𝑥2 + 𝑖𝑦2 ) = 𝑥1 𝑥2 + 𝑖𝑥1 𝑦2 + 𝑖𝑦1 𝑥2 − 𝑦1 𝑦2 = (𝑥1 𝑥2 − 𝑦1 𝑦2 ) + 𝑖(𝑥1 𝑦2 + 𝑦1 𝑥2 )
División
(𝑥 +𝑖𝑦 )
Mostrar que (𝑥1 +𝑖𝑦1 ) = 𝑥3 + 𝑖𝑦3 .
2
2
Con la multiplicación:
(𝑥1 + 𝑖𝑦1 ) = (𝑥3 + 𝑖𝑦3 )(𝑥2 + 𝑖𝑦2 )
(𝑥1 + 𝑖𝑦1 ) = (𝑥3 𝑥2 − 𝑦3 𝑦2 ) + 𝑖(𝑥3 𝑦2 + 𝑦3 𝑥2 )
De lo anterior se obtienen las dos ecuaciones:
𝑥1 = 𝑥3 𝑥2 − 𝑦3 𝑦2
𝑦1 = 𝑥3 𝑦2 + 𝑦3 𝑥2
La solución del sistema es:
𝑥1
det (𝑦
1
𝑥3 =
𝑥2
det (𝑦
2
𝑦3 =
𝑥2
det (𝑦
𝑥22
2
+
−𝑦2
𝑥2 ) 𝑥1 𝑥2 + 𝑦1 𝑦2
−𝑦2 = 𝑥 2 + 𝑦 2
2
2
𝑥2 )
𝑥1
𝑦1 )
𝑦22
=
𝑥2 𝑦1 − 𝑥1 𝑦2
𝑥22 + 𝑦22
Resultado:
(𝑥1 + 𝑖𝑦1 ) 𝑥1 𝑥2 + 𝑦1 𝑦2
𝑥2 𝑦1 − 𝑥1 𝑦2
=
+𝑖(
)
2
2
(𝑥2 + 𝑖𝑦2 )
𝑥2 + 𝑦2
𝑥22 + 𝑦22
Conjugación
Si 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦, ponemos 𝑧̅ = 𝑥 − 𝑖𝑦
“Un número 𝑎 es Real si y solo si 𝑎 = 𝑎̅”
Inverso
Hay un solo inverso para cualquier 𝑧 ≠ 0 y lo llamamos 𝑧 −1 .
𝑧𝑧 −1 = 1
𝑧 −1 =
𝑧̅
𝑥 − 𝑖𝑦
= 2
2
|𝑧|
𝑥 + 𝑦2
Raiz cuadrada
Se busca el número 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 que cumple con:
(𝑥 + 𝑖𝑦)2 = 𝛼 + 𝑖𝛽
(𝑥 2 − 𝑦 2 ) + 𝑖(2𝑥𝑦) = 𝛼 + 𝑖𝛽
El sistema que se obtiene es:
𝑥2 − 𝑦2 = 𝛼
2𝑥𝑦 = 𝛽
Del sistema anterior se obtiene:
𝛽
𝛽 2
2
𝑦=
→𝑥 −( ) =𝛼
2𝑥
2𝑥
𝛽2
𝑥 − 2=𝛼
4𝑥
2
4𝑥 4 − 𝛽 2
=𝛼
4𝑥 2
4𝑥 4 − 𝛽 2 = 𝛼4𝑥 2
4𝑥 4 − 𝛼4𝑥 2 − 𝛽 2 = 0
𝑥 4 − 𝛼𝑥 2 −
𝑥 4 − 𝛼𝑥 2 +
𝛽2
=0
4
𝛼 2 𝛼 2 𝛽2
−
−
=0
4
4
4
𝛼 2 1
(𝑥 2 − ) = (𝛼 2 + 𝛽 2 )
2
4
2
(𝑥 2 −
𝑥2 𝑦2
1
+ ) = (𝛼 2 + 𝛽 2 )
2
2
4
(𝑥 2 + 𝑦 2 )2 = (𝛼 2 + 𝛽 2 )
|𝑥 2 + 𝑦 2 | = √𝛼 2 + 𝛽 2 ;
√𝛼 2 + 𝛽 2 ≥ 0
𝑥2 + 𝑦2;
|𝑥 2 + 𝑦 2 | = { 2
−𝑥 − 𝑦 2 ;
𝑥2 + 𝑦2 ≥ 0
𝑥2 + 𝑦2 < 0
Como 𝑥 2 + 𝑦 2 siempre es ≥ 0:
𝑥 2 + 𝑦 2 = √𝛼 2 + 𝛽 2 ;
√𝛼 2 + 𝛽 2 ≥ 0
Con 𝑥 2 − 𝑦 2 = 𝛼 es posible hallar x^2 y y^2
Al final, los valores obtenidos de x y y deben satisfacer 2xy=β (que el producto de x y y tengan el
signo de beta). Esto genera dos posibilidades:
De lo anterior se concluye que la raíz cuadrada de cualquier número complejo existe y tiene dos
valores opuestos.
REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE NÚMEROS COMPLEJOS
El número complejo 𝑎 = 𝛼 + 𝑖𝛽 puede representarse como el par coordenado (𝛼, 𝛽).
Distancia entre a y b:
|𝑎 − 𝑏|
Desigualdad del triángulo:
|𝑎 + 𝑏| ≤ |𝑎| + |𝑏|
Identidad:
Representación polar:
Si las coordenadas polares de (𝛼, 𝛽) son (𝑟, 𝜑)
𝛼 = 𝑟𝑐𝑜𝑠(𝜑)
𝛽 = 𝑟𝑠𝑖𝑛(𝜑)
𝑎 = 𝛼 + 𝑖𝛽 = 𝑟(𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜑)
𝜑 = 𝑎𝑟𝑔𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 = arg 𝑎
Multiplicación:
Ecuación binomial
Cuánto es 𝑎𝑛 ?.
𝑎𝑛 = 𝑟 𝑛 (cos(𝑛𝜑) + 𝑖𝑠𝑖𝑛(𝑛𝜑));
𝑛𝜖ℤ
Para encontrar la raíz n-ésima de un número complejo a, es necesario resolver:
𝑧𝑛 = 𝑎
Para 𝑎 ≠ 0 tomemos la siguiente convención:
𝑎 = 𝑟(𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜑)
𝑧 = 𝜌(𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃)
Con esto:
𝑧 𝑛 = 𝜌𝑛 (cos(𝑛𝜃) + 𝑖𝑠𝑖𝑛(𝑛𝜃)) = 𝑟(𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜑) 𝑛𝜖ℤ
Lo anterior se cumple si
𝜌𝑛 = 𝑟
𝑦
𝑛𝜃 = 𝜑 + 𝑘2𝜋,
𝑘 = 0,1,2, 𝑛 − 1
En realidad k puede ser cualquier entero, pero los anteriores valores dan distintos valores de z.
𝑛
𝜌 = √𝑟
𝜃=
𝜑 𝑘2𝜋
+
𝑛
𝑛
𝑘 = 0,1,2, 𝑛 − 1
De esta forma:
𝜑 𝑘2𝜋
𝜑 𝑘2𝜋
𝑛
𝑧 = √𝑟 (cos ( +
) + 𝑖𝑠𝑖𝑛 ( +
)) 𝑘 = 0,1,2, 𝑛 − 1, 𝑛𝜖ℤ
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
Existen n raíces n-ésimas de cualquier número complejo distinto de 0.