1 Luenberger
1. (Amortization) A debt of $25,000 is to be amortized over 7 years at 7% interest. What value of
monthly payments will achieve this?
Calculado con la formula de la anualidad:
Monto $ 25.000
Periodos 84 meses
Tasa 7%
Por lo que el pago mensual asciende a $ 377.32
3. (Uncertain annuity 0) Gavin's grandfather, Mr. Jones, has just turned 90 years old and is applying
for a lifetime annuity that will pay $10,000 per year, starting 1 year from now, until he dies. He asks
Gavin to analyze it for him. Gavin finds that according to statistical summaries, the chance
(probability) that Mr. Jones will die at any particular age is as follows:
Age
90
0.07
Probability
91
0.08
92
0.09
93
0.10
94
0.10
95
0.10
96
0.10
97
0.10
98
10.00
99
0.07
100
0.05
101
0.04
Then Gavin (and you) answer the following questions:
(a) What is the life expectancy of Mr. Jones?
(A) Esperanza de vida = Σ (probabilidad x edad) = 90 * 0.07 + 91 * 0.08 + 92 * 0.09 + ... + 101 * 0.04 = 95.13
años
(b) What is the present value of an annuity at 8% interest that has a lifetime equal to Mr. Jones's life
expectancy? (For an annuity of a nonintegral number of years, use an averaging method.)
Año
1
2
3
4
5
6
Monto
$ 10,000.00
$ 10,000.00
$ 10,000.00
$ 10,000.00
$ 10,000.00
$ 10,000.00
Tasa
8.00%
8.00%
8.00%
8.00%
8.00%
8.00%
$
$
$
$
$
$
VP
9,259.26
8,573.39
7,938.32
7,350.30
6,805.83
6,301.70
$39,927.10
$46,228.80
AL AÑO 95
AL AÑO 96
Asumiendo que en el año 6 sólo se paga la fracción 0.13 de la anualidad, al momento de la muerte).
AÑO 95
AÑO 96
$ 39,927.10
$ 46,228.80
0.87 $
0.13 $
Calculo al 95.13
34,736.58
6,009.74
40,746.32
(c) What is the expected present value of the annuity?
El PV esperado de anualidad = Σ {probabilidad x PV (n) para el Sr. Jones morir al final de los años 90 a 101
Ammount:
Tasa
Probability
Age
Periodo
$ 10,000.00
8%
1.00
90
0
0.93
91
1
0.86
0.85
92
2
0.73
0.76
93
3
0.60
0.66
94
4
0.49
0.56
95
5
0.38
0.46
96
6
0.29
0.36
97
7
0.21
0.26
98
8
0.14
0.16
99
9
0.08
0.09
100
10
0.04
0.04
101
11
0.02
3.84 S Probabilidades
PV =
$ 38,386.95
5. (Callable bond) The Z Corporation issues a 10%, 20-year bond at a time when yields are 10%. The
bond has a call provision that allows the corporation to force a bond holder to redeem his or her bond
at face value plus 5%. After 5 years the corporation finds that exercise of this call provision is
advantageous. What can you deduce about the yield at that time? (Assume one coupon payment
per year.)
After five years, the payment the company needs to make if exercising the call provision is
P C 5 = (1 + 0 . 05) × 100 = 105
(1+l )^{15}(10-105 l)+100 l-10>0
l=
< 9.3666%
7. (Annual worth) One advantage of the annual worth method is that it simplifies the comparison of
investment projects that are repetitive but have different cycle times. Consider the automobile
purchase problem of Example 2.7. Find the annual worths of the two (single-cycle) options, and
determine directly which is preferable.
Auto A
Ciclo Sencillo 1 $ 22,487
Años Vida Util
4
Rate
10%
AA=22,487 / [(1 - 1.1^-4) / (1 - 1.1^-1)]
A A=
$ 6,449.08 MEJOR OPCION
Auto B
Ciclo Sencillo 2 $ 37,582
Años Vida Util
6
Rate
10%
AB= 37,582 / [(1 - 1.1^-6) / (1 - 1.1^-1)]
AB=
$ 7,844.64
8. (Variable-rate mortgage) The Smith family just took out a variable-rate mortgage on their new
home. The mortgage value is $100,000, the term is 30 years, and initially the interest rate is 8%. The
interest rate is guaranteed for 5 years, after which time the rate will be adjusted according to
prevailing rates. The new rate can be applied to their loan either by changing. the payment amount
or by changing the length of the mortgage.
(a) What is the original yearly mortgage payment? (Assume payments are yearly.)
El valor actual (P) de una anualidad que paga un monto A de cada período individual por períodos de 'm'
por
'n'
años
a
un
tipo
de
interés
anual
'r'
viene
dado
por
(a) P= $100,000 n = 30, m = 1, n * m = 30, r = 8%, r/m = 8% = 0.08
A = $8,882.74 Pago de la Hipoteca
(b) What will be the mortgage balance after 5 years?
(b) El saldo de la hipoteca después de 5 años es:
Saldo hipotecario después de 5 años = $ 94,821.30
(c) If the interest rate on the mortgage changes to 9% after 5 years, what will be the new yearly
payment that keeps the termination time the same?
(c) Aquí se tiene que modificar el tiempo de finalización, es decir de 30 - 5 = 25, por lo tanto, se tiene que
encontrar el nuevo pago que completará el préstamo en este tiempo, es decir:
P=
n=
m=
r=
n*m=
r/ m
94,821.30
25
1
9%
25
0.09
A=
9,653.40
El nuevo pago anual que se mantendrá durante el tiempo de terminación igual es $ 9653.40
(d) Under the interest change in (c), what will be the new term if the payments remain the same?
d) Aquí se necesitan mantener los mismos pagos mensuales que recibimos en (a), pero necesitamos
encontrar el nuevo término (tiempo de terminación) al cual el préstamo se completará después del
cambio de tasa de interés (que aumentó al 9% de 8%, por lo tanto, si sus pagos son iguales en el tipo de
interés del 9%, el nuevo plazo va a aumentar).
N = 37.56 años
En otras palabras, tardará (37.56 + 5 = 42.56 años) para pagar el préstamo cuando se mantienen los
pagos iguales después de 5 años en el tipo de interés del 9%.
9. (Bond price) An 8% bond with 18 years to maturity has a yield of 9%. What is the price of this
bond?
Cupones=2 por año
l = 9%, l/2 = 4,5%
N=18, n*m=36
C = 8% o el pago del cupón pagado por año = 8% * 100 = $ 8
Sustituyendo los valores anteriores en la fórmula del precio de los bonos:
P = $ 91.17
10. (Duration) Find the price and duration of a 10-year, 8% bond that is trading at a yield of 10%
Basado en la fórmula para el precio de un bono y su duración,
El precio del bono es
P = $83.537
Duracion del bono es
D = 6.84
11. (Annuity duration 0) Find the duration D and the modified duration DM of a perpetual annuity
that pays an amount A at the beginning of each year, with the first such payment being I year from
now. Assume a constant interest rate r compounded yearly. [Hint: It is not necessary to evaluate any
new summations.]
La duración se mide en años, por lo que no mide directamente el cambio en los precios de los bonos con
respecto a los cambios en el rendimiento. Sin embargo, el riesgo de tasa de interés puede compararse
fácilmente comparando las duraciones de diferentes bonos o carteras. Por otra parte, la duración
modificada mide la sensibilidad de los cambios en el precio de los bonos con cambios en el rendimiento.
Específicamente:
12. (Bond selection) Consider the four bonds having annual payments as shown in Table 3.9.
They are traded to produce a 15% yield.
(a) Determine the price of each bond.
Para todos los Bonos , Yield λ = 15%, m = 1
For Bond A, F = 1000, C = 100, n = 3
For Bond B, F = 1000, C = 50, n = 3
For Bond C, F = 1000, C = 0, n = 3 (Zero coupon bond of 3 year duration)
For Bond D, F = 1000, C = 0, n = 1 (Zero coupon bond of 1 year duration)
FV =
l=
m=
n=
n*m=
l/ m =
C=
Pago Cupon =
Precio del Bono
Bond A
$ 1,000.00
15%
1
3
3
15.00%
10%
$ 100.00
Bond B
$ 1,000.00
15%
1
3
3
15.00%
5%
$
50.00
$885.84
$771.68
Bond C
$ 1,000.00
15%
1
3
3
15.00%
Bond D
$ 1,000.00
15%
1
1
1
15.00%
$
$
$657.52
$869.57
(b) Determine the duration of each bond (not the modified duration).
Duración
Bond A
2.72
Bond B
2.84
Bond C
3.00
Bond D
1.00
(c) Which bond is most sensitive to a change in yield?
De la fórmula de sensibilidad a los precios de los bonos, se encuentra que el bono C es más sensible a un
cambio en el rendimiento (por supuesto, es un bono de cupón cero con una duración de 3 años).
(d) Suppose you owe $2000 at the end of 2 years. Concern about interest rate risk suggests that a
portfolio consisting of the bonds and the obligation should be immunized, If VA, VB, VC and VD are
the total values of bonds purchased of types A, B, C and D, respectively, what are the necessary
constraints to implement the immunization? [Hint: There are two equations. (Do not Solve.)]
Present Value of the obligation P = 2000 / (1.15 ^ 2) = $1512.29
Si VA + VB + VC + VD representan el valor de cada bono (que es igual al precio del bono multiplicado por el
número de cantidades del bono comprado
VA + VB + VC + VD =
P
=
$1512.29
DA * VA + DB * VB + DC * VC + DD * VD = 2 * 1512.29
2.72 * VA + 2.84 * VB + 3 * VC + VD = 3024.58
(e) In order to immunize the portfolio, you decide to use bond C and another bond, Which other bond
should you choose? Find the amounts (in total value) of each of these to purchase
Una de las limitaciones de la inmunización es que la duración media de la cartera de bonos debe ser
mayor o igual a la duración de la obligación, en este caso si se selecciona el bono D con C, entonces la
duración media (3 + 1) / 2 = 2 coincide con la duración de la obligación que es exactamente 2 años, por lo
tanto, seleccionamos el bono C y el bono D, luego de la restricción de inmunización de la cartera de bonos
en la sección (d), tenemos
VC + VD =1,512.29
Resolviendo se obtiene, VC = VD = $756.14
Bono C = VC / PC = 756.14 / 657.52 = 1.15
Bono D = VD / PD = 756.14 / 869.57 = 0.87
Por lo tanto, si uno compra 1.15 acciones de bonos C y 0.87 acciones de bonos D, la cartera de bonos será
inmunizada.
Lo cual nos indica que no hay forma de inmunizar dicha cartera.
(f) You decided in (e) to use bond C in the immunization. Would other choices, including perhaps a
combination of bonds, lead to lower cost?
Basado en las restricciones de inmunización de la cartera de bonos, la suma del valor total de los bonos
debe ser igual al valor presente de la obligación, la alternativa de los bonos no conducirá a un menor
costo, pero uno debe asegurarse de que la duración media de los bonos en la cartera debe ser mayor o
igual a la duración de la obligación.
2. Oportunidades de Arbitraje
Analice la información sobre los siguientes bonos y determine si hay oportunidades de arbitraje. Si
existieran, de qué forma implementaría una estrategia para ganar dinero sin riesgo.
3.- Chicago Board of Trade
a) Explique qué factores afectan la duración.
 Vencimiento: A medida que aumenta el vencimiento de un bono, la duración También
aumenta.
 Rendimiento: A medida que aumenta el nivel de rendimiento de un bono, la duración
Disminuye.
 Nivel de Cupón: La duración se ve afectada por el nivel y la frecuencia del pago del cupón. En
general, cuanto menor sea el pago del cupón, mayor será la duración. Es decir, si la duración es
más alta, generalmente significa que el bono tiene más riesgo.
b) Si anticipa un alza en tasas, la duración del portafolio debe ser mayor o menor.
La duración debe ser menor
c) Que acciones pueden tomarse para reducir o aumentar la duración de un portafolio de
bonos.
Se pueden hacer compras o ventas de futuros de tasa de interés, dependiendo de qué es lo que
se quiera realizar
d) Qué propiedades tiene la convexidad.
1. Para los bonos con igual duración, los bonos cupón cero tienen la menor convexidad y los
bonos de alto cupón tienen más.
2. Para los bonos con vencimientos iguales, los bonos cupón cero tienen la mayor convexidad.
3. El aumento de la duración en una cantidad que es más de uno aumenta la convexidad en más
de esa cantidad.
4. A medida que disminuyen los rendimientos, aumenta la duración.
5. A medida que los rendimientos aumentan, la duración disminuye.
e) Por que la convexidad siempre tiene un efecto positivo sobre el precio del bono sin
importar si las tasas suben o bajen.
La convexidad es la tasa a la que la duración cambia a medida que nos movemos alejándonos
del punto mencionado sobre la curva de rendimientos. Mediante la convexidad podemos
corregir la inexactitud del comportamiento linear de la duración
f) Por qué existen bonos con convexidad negativa. Qué implicaciones tiene esta propiedad en un
portafolio de bonos.
La convexidad negativa, la no convexa y la compresión de precios son todos los términos que se refieren
al comportamiento de los precios de los valores negociables cuando los precios se acercan o superan el
precio de rescate del valor. P.e bonos prepagables.
4.- Pregunta de examenes anteriores: Financial Times October 16,2016
Usted es un administrador de portafolio con un portafolio de larga duración financiado parcialmente.
Considerando el contexto económico de la nota, explique:
a) La duración del portafolio debe de aumentar o disminuir.
La duración debe disminuir, ya que los rendimientos se están incrementando.
b) Con este objetivo explique cómo afecta la duración del portafolio:
1. Aumentar el porcentaje de deuda de corto plazo que financia el portafolio.
Si los pasivos son sensibles a las variaciones en las tasas de interés; el riesgo proveniente de la
variación de estas en el mercado no solamente afectará la cartera de inversiones, sino también
la de pasivos, lo que podría devenir en cambios en la posición patrimonial, toda vez que cambios
en las tasas de interés incidan positivamente en los pasivos (haciéndolos crecer) y
negativamente en los activos (haciéndolos decrecer).
2. Entrar en una estrategia de inmunización
Sería conveniente a fin de que la cartera que se mantiene el portafolio a fin de hacerlo menos
adverso a cambios en las tasas de interés.
c) Es conveniente reducir o aumentar la convexidad del portafolio.
Es conveniente aumentar la convexidad del portafolio.