2022《数学物理方程》讲义
曹周键
电话：15120099066
邮件：zjcao@amt.ac.cn
October 25, 2023
目录
1 偏微分方程概述
1.1 数学物理方程和偏微分方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 偏微分方程的定解条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 偏微分方程的适定性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 常见偏微分方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 常见偏微分方程的分类 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 达朗贝尔(d’Alembert)公式和波动方程的显式解 . . . . . . . . . .
1.6.1 达朗贝尔公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.2 固定边界条件、自由边界条件和半波损失 . . . . . . . . .
1.6.3 泊松(Poisson)公式和基尔霍夫(Kirchhoff)公式 . . . . . . .
1.6.4 波动方程的显式解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
4
5
5
6
6
6
8
8
9
2 分离变量法求解偏微分方程
11
2.1 分离变量法简介 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 分离变量法求解波动方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 分离变量法求解热扩散方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4 分离变量法求解拉普拉斯方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4.1 矩形区域上的拉普拉斯方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4.2 欧拉型常微分方程回顾 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4.3 圆形区域外的拉普拉斯方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5 从分离变量法到谱方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.6 冲量定理变非齐次方程为齐次方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.6.1 冲量定理法的数学验证 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.6.2 冲量定理法例子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.6.3 冲量定理法求解热传导方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.7 非齐次边界条件的处理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.7.1 特殊处理方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.8 非齐次椭圆方程–泊松方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.9 偏微分方程的弱解问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1
3 二 阶常微分方程的级数解法和施图姆-刘
刘维 尔 本 征 值 问 题
31
3.1 拉普拉斯方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.1.1 球坐标系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.1.2 柱坐标系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2 亥姆霍兹(Helmholtz)方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.1 球坐标系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.2 柱坐标系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3 常点邻域上的级数法求解二阶常微分方程 . . . . . . . . . . . . . 35
3.4 常点邻域上的级数法求解勒让德方程 . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.5 正则奇点邻域上的级数法求解二阶常微分方程 . . . . . . . . . . . 36
3.6 正则奇点邻域上的级数法求解贝塞尔方程 . . . . . . . . . . . . . 37
3.7 正则奇点邻域上的级数法求解虚宗量贝塞尔方程 . . . . . . . . . . 39
3.8 级数法求解常微分方程小结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.9 施图姆-刘维尔(Sturm-Liouville)本征值问题 . . . . . . . . . . . . 40
3.10 关于施图姆-刘维尔本征值问题的两点注记 . . . . . . . . . . . . . 42
4 球函数
44
4.1 轴对称球函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.1.1 勒让德多项式的性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.1.2 第二类勒让德函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.1.3 广义傅里叶级数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.1.4 拉普拉斯方程的轴对称定解问题 . . . . . . . . . . . . . . 47
4.1.5 勒让德多项式的母函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.1.6 勒让德多项式的递推公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2 连带勒让德函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2.1 连带勒让德函数的微分表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.2.2 连带勒让德函数的积分表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.2.3 广义傅里叶级数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.2.4 连带勒让德函数的递推关系 . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.2.5 一般球函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.2.6 转动坐标变换和球函数加法公式 . . . . . . . . . . . . . . 58
4.3 泊松方程和多极矩 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.4 带自旋权重的球函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5 柱函数
64
5.1 柱函数在自然边界处的极限行为 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.2 柱函数递推关系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.3 整数阶贝塞尔函数的母函数、积分表示和加法公式 . . . . . . . . 65
5.4 柱函数的零点和齐次边条件对应的本征值 . . . . . . . . . . . . . 66
5.5 柱函数与施图姆-刘维尔本征值问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.6 应用柱函数求解定解问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.7 球贝塞尔方程和球贝塞尔函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.8 球贝塞尔函数在自然边界处的行为 . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.9 球贝塞尔函数的广义傅里叶级数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.10 应用球贝塞尔函数求解定解问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.11 用球面波展开平面波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2
5.12 贝塞尔函数在开普勒轨道中的应用 . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
6 格林函数法
85
6.1 泊松方程的格林函数法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.1.1 格林函数的对称性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.2 拉普拉斯方程的基本解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.3 格林函数法求解泊松方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.4 波动方程的格林函数法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.5 波动方程的基本解和格林函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.6 格林函数法求解有限区间波动方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.7 热传导方程的格林函数法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.8 热传导方程的基本解和格林函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.9 推广的格林公式和格林函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7 积分变换法
104
7.1 傅里叶变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
7.2 拉普拉斯变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
8 保角变换法
107
8.1 保角变换的基本性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
8.2 常用的保角变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
8.2.1 分式线性变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
8.2.2 幂函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
8.2.3 指数函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
8.2.4 对数函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
8.2.5 茹科夫斯基(Rokovsky)函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
8.2.6 施瓦茨(Schwarz)-克里斯托弗(Christoffel)变换 . . . . . . . 109
8.3 保角变换法求解二维拉普拉斯方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
9 非线性数学物理方程
113
9.1 KdV方程和反散射方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
9.2 混沌和李雅普诺夫指数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3
1
偏微分方程概述
1.1
数学物理方程和偏微分方程
数学物理以研究物理问题为目标的数学理论和数学方法。数学物理的说法起源
于希尔伯特把物理学“数学公理化”的想法，具体地说就是把物理理论抽象出
公理假设进而建立完备的公理化体系。从物理的角度不严格地说就是，把具体
的物理问题分成建立方程和求解方程两步。物理理论负责建立方程，接下来的
工作留给方程求解的科学工作者来做。所以形式上来讲，理性思考建立方程，
数学推演求解方程，整个过程可以跟实验研究相对独立形成了理论物理学的研
究模式。因而数学物理这个学科在理论物理中扮演了非常重要的角色。
数学物理方程指的就是物理问题研究中涉及到的方程，主要包括偏微分方
程、积分方程和积分微分方程。在本课程中，我们只涉及偏微分方程。
一般说来，如果(x1 , x2 , ..., xn )是自变量，以u为未知函数的偏微分方程的一
般形式是：
∂αu
∂u
, ..., α1
) = 0,
α
∂x1
∂ x1 ∂ 2 x2 ...∂ αn xn
α = α1 + α2 + ... + αn .
F (x1 , x2 , ..., xn , u,
(1)
(2)
α是所包含偏导数的最高阶数，被称为偏微分方程的阶数。
如果未知函数多于一个，方程由多个偏微分方程构成就称为偏微分方程组。
当方程的个数超过未知函数的个数时，就称这偏微分方程组为超定的；当方程
的个数少于未知函数的个数时，就称为欠定的。
如果一个偏微分方程（组）关于所有的未知函数及其导数都是线性的，则称
为线性偏微分方程（组）。否则，称为非线性偏微分方程（组）。在非线性偏
微分方程（组）中，如果对未知函数的最高阶导数来说是线性的，那么就称为
拟线性偏微分方程（组）。
1.2
偏微分方程的定解条件
自变量可分为时间变量和空间变量。包含时间变量的偏微分方程被称为初值问
题。空间变量的取值范围Ω如果存在边界∂Ω，这样的偏微分问题被称为边值问
题。既包含初值又包含边值的问题叫做初边值问题。表示初始状态的条件称为
初始条件，表示边界约束状态的条件称为边界条件。
常见的边界条件分成三类。直接给定函数值的是第一类，叫狄里赫莱边界
条件。给定函数法向导数值的边界条件是第二类，叫做纽曼边界条件。给定函
数值和法向导数值线性组合的边界条件是第三类，叫做混合边界条件。给定值
为0的边界条件叫做齐次边界条件。
保证偏微分方程的解存在且唯一的条件叫做定解条件。初始条件和边界条件
对应定解条件。
关于初值问题定解，我们有柯西-柯瓦列夫斯卡娅(Cauchy-Kovalevskaja)定
理。假设函数f (t, x1 , ..., xn , u, p1 , ..., pn )在点(t0 , x01 , ..., x0n , u0 , p01 , ..., p0n )的邻域
内解析，函数φ(x1 , ..., xn )在点(x01 , ..., x0n )的邻域内解析，则偏微分方程
∂u
∂u
∂u
= f (t, x1 , ..., xn , u,
, ...,
),
∂x1
∂x1
∂xn
4
(3)
u|t=t0 = φ(x1 , ..., xn )
(4)
在点(t0 , x01 , ..., x0n )的某邻域内存在唯一的解析解。
实解析函数的意思是它能表示成Taylor级数形式。实解析函数一定无限阶
可导。但反过来，一个实函数即使在一点处无限次可导，它也不一定能表示
−2
成Taylor级数。一个例子是f (x) = ex 。对比我们之前学过的复解析函数。表
面看起来，复解析函数只要求在一点的某邻域内一阶可导即可，要求比上述实
解析函数弱得多。但实际上，复函数结构保证了复解析函数不仅无限次可导，
而且Taylor级数形式存在。
1.3
偏微分方程的适定性
从物理角度想象，描述物理系统的偏微分方程不仅应该存在唯一的解，而且其
解还应该具有稳定性。这个性质在数学上被称为适定性。确切地讲，就是指当
初始条件和边界条件细微变动时，对应解变动也应该是细微的。数学语言称之
为方程的解对初边值具有连续依赖性。
1.4
常见偏微分方程
弦和杆的振动方程
utt − a2 uxx = f (t, x).
(5)
f (t, x) = 0对应自由振动，否则是受迫振动。
电报方程
utt + dut − uxx + cu = 0.
(6)
utt − a2 (uxx + uyy ) = f (t, x, y).
(7)
c = 0对应理想电报方程。
膜振动方程
与一维振动方程(5)类似，f (t, x, y) = 0对应自由振动，否则是受迫振动。
声波、电磁波等波动方程
utt − a2 (uxx + uyy + uzz ) = 0.
(8)
扩散方程和热传导方程
ut − a2 ∇2 u = f (u; t, x, y, z).
(9)
f (u; t, x, y, z)是扩散源或者热源。∇ 是空间拉普拉斯算子，与空间的维数对
应。假设维数为n则
n
∑
∂2
∇2 ≡
,
(10)
∂x2i
i=1
2
其中xi 是空间中的笛卡儿坐标。
静电场及各种稳恒分布方程
∇2 u = f (u; t, x, y, z).
∇2 是空间拉普拉斯算子，与空间的维数对应。
5
(11)
1.5
常见偏微分方程的分类
上述常见偏微分方程的最高阶导数项总可以形式写为aij uxi xj 。根据二阶偏
导数的对易性，aij 一定是对称矩阵。把这个对称矩阵通过正交变换对角化
得到Aij 。如果存在Aii = 0，该偏微分方程为抛物方程；如果所有Aii ̸= 0且
同号，该偏微分方程为椭圆方程；如果所有Aii ̸= 0且其中一个与其他的符
号不同，该偏微分方程为双曲方程。上述的(5)-(8)是双曲方程，(9)是抛物方
程，(11)是椭圆方程。
不严格但形象地可以如下来理解上述的方程分类。如果物理量的传播速度是
有限的，则方程为双曲方程；如果物理量的传播速度是无限的，则方程为抛物
方程。如果自变量分不出时间和空间的差别，则方程为椭圆方程。
物理上，双曲方程对应波动方程，抛物方程对应热扩散方程，椭圆方程对应
泊松方程。
1.6
达 朗贝 尔(d’Alembert)公
公式 和 波 动 方 程 的 显 式 解
1.6.1
达朗贝尔公式
我们考虑空间一维的双曲方程
utt − a2 uxx = 0.
(12)
1
1
(ξ + η), t =
(ξ − η).
2
2a
(13)
考虑关于自变量的坐标变换
x=
ξ和η实际上对应广义相对论中的类光坐标。其坐标逆变换是
ξ = x + at, η = x − at.
(14)
基于上述坐标变换，我们有
∂
∂ξ ∂
∂η ∂
=
+
,
∂t
∂t ∂ξ
∂t ∂η
∂ξ ∂
∂η ∂
∂
=
+
.
∂x
∂x ∂ξ
∂x ∂η
(15)
(16)
从而空间一维的双曲方程变为
∂2u
= 0.
∂ξ∂η
(17)
∂u
= f (ξ),
∂ξ
(18)
先对η积分得到
其中f (ξ)是积分常数，常于η，对于ξ是任意函数。对上式再积分一次得到
∫
u = f (ξ)dξ + f2 (η) = f1 (ξ) + f2 (η)
(19)
6
= f1 (x + at) + f2 (x − at),
(20)
f1 (x + at)代表以速度a向x负方向移动的行波，f2 (x − at)代表以速度a向x正方
向移动的行波。
接下来我们考虑初始条件
u|t=0 = φ(x), ut |t=0 = ψ(x).(−∞ < x < ∞)
(21)
把我们上面得到的解(20)代入初始条件，得到
f1 (x) + f2 (x) = φ(x),
(22)
af1′ (x) − af2′ (x) = ψ(x).
(23)
对上面的第二式积分得到
∫
a[f1 (x) − f2 (x)] =
ψ(ξ)dξ + C
(24)
把上面的不定积分表达成定积分的形式可以确定常数C
∫ x
a[f1 (x) − f2 (x)] =
ψ(ξ)dξ + C
(25)
x0
取x = x0 得到
a[f1 (x0 ) − f2 (x0 )] = C.
所以
(26)
∫ x
a[f1 (x) − f2 (x)] =
ψ(ξ)dξ + a[f1 (x0 ) − f2 (x0 )].
(27)
x0
联立上式和(22)可解出
∫ x
1
1
1
f1 (x) = φ(x) +
ψ(ξ)dξ + [f1 (x0 ) − f2 (x0 )],
2
2a x0
2
∫ x
1
1
1
f2 (x) = φ(x) −
ψ(ξ)dξ − [f1 (x0 ) − f2 (x0 )].
2
2a x0
2
(28)
(29)
把上述解代回(20)得到
u=
1
1
[φ(x + at) + φ(x − at)] +
2
2a
∫ x+at
ψ(ξ)dξ.
(30)
x−at
这个解的形式被叫做达朗贝尔公式。
特别地，当初始时间导数ψ(x) = 0时，我们得到
u=
1
[φ(x + at) + φ(x − at)].
2
(31)
即方程解表现为左右两个方向传播的波，形状为初始形状。
当初始时间导数ψ(x) = ±aφ′ (x)时，我们得到
u = φ(x ± at).
即单纯往右(左)传播的波，形状为初始形状。
7
(32)
1.6.2
固定边界条件、自由边界条件和半波损失
我们考虑如下的固定边界条件问题
utt − a2 uxx = 0, 0 < x < ∞
(33)
u|t=0 = φ(x), ut |t=0 = ψ(x), 0 ≤ x < ∞
u|x=0 = 0.
(34)
(35)
观察达朗贝尔公式，我们发现只要φ和ψ都是奇函数，则上一小节讨论的无
界问题给出的解具有性质u(0, t) = 0，刚好满足上述边界条件。也就是说我们可
以基于此把上述固定边界条件问题延拓为φ和ψ都是奇函数的无界问题。由此我
们可以得到解
{
∫ x+at
1
1
[φ(x + at) + φ(x − at)] + 2a
ψ(ξ)dξ, t ≤ xa
2
x−at
∫
(36)
u= 1
x+at
1
x
2 [φ(x + at) − φ(at − x)] + 2a at−x ψ(ξ)dξ, t ≥ a
上述解表现为无界问题解和一个反射波的叠加。反射波表现为无界问题传
到x < 0部分的波往x > 0空间做镜像变换并加一个负号。加的这个负号可以解
释为π相位差。也被人们称为半个波相位的损失，简称半波损失。
类似地，如果我们把固定边界条件变为自由边界条件
ux |x=0 = 0,
(37)
通过观察达朗贝尔公式，我们发现只要φ和ψ都是偶函数，则上一小节讨论的无
界问题给出的解具有性质ux (0, t) = 0，刚好满足这一自由边界条件。也就是说
我们可以基于此把这里的自由边界条件问题延拓为φ和ψ都是偶函数的无界问
题。由此我们可以得到解
{
∫ x+at
1
1
[φ(x + at) + φ(x − at)] + 2a
ψ(ξ)dξ, t ≤ xa
2
x−at
∫
∫ at−x
u= 1
(38)
x+at
1
ψ(ξ)dξ + 0
ψ(ξ)dξ], t ≥ xa
2 [φ(x + at) + φ(at − x)] + 2a [ 0
这个解也表现为无界问题解和一个反射波的叠加。反射波表现为无界问题传
到x < 0部分的波往x > 0空间做镜像变换。即自由边界情形不存在半波损失。
1.6.3
泊松(Poisson)公
公式和基尔霍夫(Kirchhoff )公
公式
上述讲到的达朗贝尔公式实际上是空间一维波动方程的显式解公式。把达朗贝
尔公式往二维空间和三维空间推广将分别得到泊松(Poisson)公式
∫
1
atφ(⃗r′ ) + a2 t2 ψ(⃗r′ ) + at∇φ · (⃗r′ − ⃗r)
√
u(⃗r, t) =
dS(⃗r′ )
(39)
2 B(⃗r,at)
a2 t2 − |⃗r′ − ⃗r|2
和基尔霍夫(Kirchhoff)公式
∫
[atψ(⃗r′ ) + φ(⃗r′ ) + ∇φ · (⃗r′ − ⃗r)] dS(⃗r′ ).
u(⃗r, t) =
B(⃗
r,at)
上面公式中的B(⃗r, at)表示以⃗r为心at为半径的‘球面’。
8
(40)
更一般地，我们还可以得到偶数n ≥ 2维空间波动方程的显式解公式
[( ) (
( ∫
)
) n−2
′
2
∂
φ(⃗
r
)
1
1 ∂
√
tn
dS(⃗r′ )
u(⃗r, t) =
γn
∂t
t ∂t
a2 t2 − |⃗r′ − ⃗r|2
B(⃗
r ,t)
( ∫
)]
(
) n−2
2
1 ∂
ψ(⃗r′ )
2
n
′
√
+a
t
dS(⃗r )
,
(41)
t ∂t
a2 t2 − |⃗r′ − ⃗r|2
B(⃗
r ,at)
γn = 2 · 4 · · · (n − 2) · n.
(42)
奇数n ≥ 3维空间波动方程的显式解公式
[( ) (
(
)
) n−3
∫
2
1
∂
1 ∂
n−2
′
′
u(⃗r, t) =
t
φ(⃗r )dS(⃗r )
γn
∂t
t ∂t
B(⃗
r ,t)
(
)]
(
) n−3
∫
2
1 ∂
n−2
′
′
+a
t
ψ(⃗r )dS(⃗r )
,
t ∂t
B(⃗
r,t)
γn = 1 · 3 · 5 · · · (n − 2).
1.6.4
(43)
(44)
波动方程的显式解
上面讲到的达朗贝尔公式等对应的是齐次(无源)波动方程的显式解。下面我们
考虑非齐次(有源)波动方程、齐次(零)初始条件的显式解。对于空间一维的双
曲方程
utt − a2 uxx = f (x, t),
u|t=0 = 0, ut |t=0 = 0.(−∞ < x < ∞)
(45)
(46)
对应地，我们先研究带参数s的方程
utt (x, t; s) − a2 uxx (x, t; s) = 0, t > s
u(x, s; s) = 0, ut (x, s; s) = f (x, s).(−∞ < x < ∞)
(47)
(48)
我们记上述方程的解为u(x, t; s)。我们下面证明上述齐次初始条件、非齐次波
动方程的解可表达为
∫ t
u(x, t) =
u(x, t; s)ds.
(49)
0
直接对上式求导得到
∫ t
ut (x, t) = u(x, t; t) +
∫ t
ut (x, t; s)ds =
ut (x, t; s)ds,
∫ t
∫ t
utt (x, t) = ut (x, t; t) +
utt (x, t; s)ds = f (x, t) +
utt (x, t; s)ds,
0
0
∫ t
∫ t
1
utt (x, t; s)ds,
uxx (x, t) =
uxx (x, t; s)ds = 2
a
0
0
0
(50)
0
9
(51)
(52)
utt (x, t) − a2 uxx (x, t) = f (x, t).
(53)
同时显然有
u(x, 0) = 0, ut (x, 0) = 0.(−∞ < x < ∞)
(54)
结果(49)在数学上被称为齐次化原理，或者杜哈曼(Duhamel)原理。物理上
对应我们后文会讲到的冲量定理。
把前面讲到的齐次(无源)波动方程的显式解代入这里的u(x, t; s)，我们就可
以得到非齐次(有源)波动方程、齐次(零)初始条件的显式解。对于一维空间，
我们有
∫ t ∫ x+as
1
u(x, t) =
f (y, t − s)dyds.
(55)
2a 0 x−as
对于三维空间，我们有
1
u(⃗r, t) =
4π
∫ t∫
0
f (⃗r′ , t′ − |⃗r′ − ⃗r|/a)
dS(⃗r′ )dt′ .
′ −⃗
|⃗
r
r
|
′
B(⃗
r,at )
(56)
物理文献把上式叫做基尔霍夫积分公式，被积函数叫做推迟势，t′ − |⃗r′ −⃗r|/a叫
做推迟时间。
椭圆方程的显式解可以通过后面课程讲到的格林函数方法来得到。
作业：
求解无限长弦的自由振动utt − a2 uxx = 0,设弦的初始位移为φ(x)，初始速度
为−aφ′ (x)。
10
2
分离变量法求解偏微分方程
2.1
分离变量法简介
考虑齐次方程
a(x, y)uxx + b(x, y)uyy + c(x, y)ux + d(x, y)uy + e(x, y)u = 0
(57)
我们考查形如
u = X(x)Y (y)
(58)
的解。这种形式的解叫做可分离变量的。把上述解形式带入方程(57)，我们得
到
aX ′′ Y + bXY ′′ + cX ′ Y + dXY ′ + eXY = 0
(59)
上式中的撇号代表对各自依赖自变量的导数。假设存在函数p(x, y)使得上式两
边同时除以p(x, y)XY 后得到
A(x)
X ′′
Y ′′
X′
Y′
+ B(y)
+ C(x)
+ D(y)
+ E(x) + F (y) = 0
X
Y
X
Y
(60)
则原方程(57)被称为可分离变量的。
(60)可写为
A(x)
[
]
X ′′
X′
Y ′′
Y′
+ C(x)
+ E(x) = − B(y)
+ D(y)
+ F (y)
X
X
Y
Y
(61)
注意到上式左边只是x的函数，而右边只是y的函数，x和y又是相互独立的自变
量，所以意味着左右两边只能是常数，既不依赖于x也不依赖于y。记该常数
为λ我们得到两个方程
X ′′
X′
+ C(x)
+ E(x) = λ,
X
X
Y′
Y ′′
+ D(y)
+ F (y) = −λ.
B(y)
Y
Y
A(x)
(62)
(63)
这样就将原偏微分方程的求解分解为了两个常微分方程的求解。
2.2
分离变量法求解波动方程
考虑偏微分方程
utt − a2 uxx = 0,
u(t = 0, x) = f (x),
(64)
(65)
ut (t = 0, x) = g(x),
u(t, x = 0) = 0,
(66)
(67)
11
u(t, x = l) = 0.
(68)
把分离变量形式的解u = T (t)X(x)代入(64)，我们可以得到两个方程
T ′′ + λa2 T = 0,
X ′′ + λX = 0.
(69)
(70)
先考察方程(70)和边界条件(67)、(68)。如果λ < 0，则
√
√
X = C1 e −λx + C2 e− −λx
(71)
代入边界条件(67)、(68)得到
C1 e
√
−λl
C1 + C2 = 0,
+ C2 e
√
− −λl
=0
(72)
(73)
解得
C1 = C2 = 0.
(74)
X = C1 x + C2
(75)
C2 = 0,
(76)
C1 l + C2 = 0
(77)
C1 = C2 = 0.
(78)
√
√
X = C1 cos( λx) + C2 sin( λx)
(79)
这是一个无意义的解。
如果λ = 0，则
代入边界条件(67)、(68)得到
解得
这也是一个无意义的解。
如果λ > 0，则
代入边界条件(67)、(68)得到
C1 = 0,
√
√
C1 cos( λl) + C2 sin( λl) = 0
(80)
(81)
为了避免无意义的解，λ需要取如下特定值
λ=
n2 π 2
, n = 1, 2, 3, ...
l2
12
(82)
对应的解为
nπx
.
l
(83)
n2 π 2 2
a T = 0.
l2
(84)
nπt
nπt
) + A2 sin(
)
l
l
(85)
X = C2 sin
把(82)中的λ代入(69)，我们得到
T ′′ +
解得
T = A1 cos(
于是在只考虑方程和边界条件的情况下，我们得到一系列的解
[
]
nπt
nπt
nπx
un = An1 cos(
) + An2 sin(
) sin
l
l
l
(86)
其中(83)中的常数C2 被吸收到了常数A1 和A2 中。由于方程的线性性，上述系列
解的线性组合
]
∞ [
∑
nπt
nπx
nπt
u=
) + An2 sin(
) sin
(87)
An1 cos(
l
l
l
n=1
也是方程的解。
我们把上述解代入初始条件(65)和(66)
∞
∑
n=1
∞
∑
An2
n=1
nπx
= f (x),
l
(88)
nπx
nπ
sin
= g(x)
l
l
(89)
An1 sin
上式刚好是函数f (x)和g(x)的傅里叶级数展开式，由此可以确定An1 和An2 。
作业：
长为l的均匀杆，两端受压从而长度缩为l(1 − 2ϵ)。放手后自由振动utt −
a2 uxx = 0。求解杆随后的振动。
初始条件u(t = 0, x) = −2ϵ和ut (t = 0, x) = 0，自由边界条件ux (t, 0) =
ux (t, l) = 0。
2.3
分离变量法求解热扩散方程
考虑偏微分方程
ut − a2 uxx = 0,
u0
x,
u(t = 0, x) =
l
13
(90)
(91)
u(t, x = 0) = 0,
(92)
ux (t, x = l) = 0.
(93)
把分离变量形式的解u = T (t)X(x)代入(90)，我们可以得到两个方程
T ′ + λa2 T = 0,
(94)
′′
X + λX = 0.
(95)
先考察方程(95)和边界条件(92)、(93)。类似于上述波动方程情形的分析可知，
必须有λ > 0，对应的解为
(2n + 1)2 π 2
,
4l2
(2n + 1)πx
, n = 1, 2, 3, ....
X = C2 sin
2l
λ=
(96)
(97)
把(96)中的λ代入(94)，我们得到
T′ +
(2n + 1)2 π 2 2
a T = 0.
4l2
(98)
解得
T = Ce−
(2n+1)2 π 2
t
4l2
.
(99)
于是在只考虑方程和边界条件的情况下，我们得到一系列的解
un = Cn e−
(2n+1)2 π 2
t
4l2
sin
(2n + 1)πx
2l
(100)
其中(97)中的常数C2 被吸收到了常数C中。由于方程的线性性，上述系列解的
线性组合
u=
∞
∑
Cn e−
(2n+1)2 π 2
t
4l2
n=1
sin
(2n + 1)πx
2l
(101)
也是方程的解。
我们把上述解代入初始条件(91)
∞
∑
n=1
Cn sin
u0
(2n + 1)πx
=
x,
2l
l
(102)
2u0 l
.
(n + 12 )2 π 2
(103)
Cn = (−1)n
作业：
求解细杆导热问题ut − a2 uxx = 0，杆长为l，两端保持为0度，初始温度分
布为u(t = 0, x) = bx(l − x)/l2 。
14
2.4
分离变量法求解拉普拉斯方程
2.4.1
矩形区域上的拉普拉斯方程
考虑偏微分方程
uxx + uyy = 0,
u(x = 0, y) = u0 ,
(104)
(105)
u(x = a, y) = u0 ,
u(x, y = 0) = u0 .
(106)
(107)
u(x, y = b) = U.
(108)
把分离变量形式的解u = X(x)Y (y)代入(104)，我们可以得到两个方程
X ′′ + λX = 0,
Y ′′ − λY = 0.
(109)
(110)
把分离变量形式的解u = X(x)Y (y)代入边界条件(105)-(108)，我们得到
u0
,
Y
u0
,
X(a) =
Y
u0
Y (0) =
,
X
U
Y (b) = .
X
X(0) =
(111)
(112)
(113)
(114)
我们发现这时没法得到X和Y 分别的边界条件，也就没法结合分离变量后的方
程(109)和(110)求解。由此我们可以总结出一个规律，分离变量法需要针对齐
次方程和齐次边界条件使用。
但我们可以针对上述拉普拉斯方程问题的特点，做变量代换
u = u0 + v
(115)
vxx + vyy = 0,
v(x = 0, y) = 0,
(116)
(117)
v(x = a, y) = 0,
v(x, y = 0) = 0.
v(x, y = b) = U − u0 .
(118)
(119)
(120)
其中v满足方程和边界条件
对此考虑分离变量形式的解v = X(x)Y (y)代入(116)，我们可以得到两个方程
X ′′ + λX = 0,
Y ′′ − λY = 0.
15
(121)
(122)
把分离变量形式的解v = X(x)Y (y)代入边界条件(117)-(120)，我们得到
X(0) = 0,
X(a) = 0,
Y (0) = 0,
U − u0
Y (b) =
.
X
(123)
(124)
(125)
(126)
方程(121)和边界条件(123)、(124)给出解
n2 π 2
, n = 1, 2, 3, ...,
a2
nπx
X = C2 sin
.
a
λ=
(127)
(128)
至此我们发现，齐次边界条件不仅是分离变量法可用的条件，而且它还起到确
定分量变量得到的常数的作用。
把(127)中的λ代入(122)，我们得到
Y ′′ −
n2 π 2
Y = 0.
a2
(129)
解得
Y = Ae a y + Be− a y .
nπ
nπ
于是在只考虑方程和部分边界条件的情况下，我们得到一系列的解
(
nπ
nπ )
nπx
vn = An e a y + Bn e− a y sin
a
(130)
(131)
其中(128)中的常数C2 被吸收到了常数A和B中。由于方程的线性性，上述系列
解的线性组合
v=
∞
∑
(
nπ
nπ )
nπx
An e a y + Bn e− a y sin
a
n=1
(132)
也是方程的解。
我们把上述解代入剩下的边界条件(125)和(126)
∞
∑
nπx
= 0,
a
(133)
(
nπ
nπ )
nπx
= U − u0 .
An e a b + Bn e− a b sin
a
n=1
(134)
(An + Bn ) sin
n=1
∞
∑
由此解得
{
An = −Bn =
0, n为偶数
4(U −u0 )
, n为奇数
nπ(enπb/a −e−nπb/a )
16
(135)
作业：
均匀的薄板占据区域0 < x < a，0 < y < ∞。边界上的温度为
u(x = 0, y) = 0,
u(x = a, y) = 0,
(136)
(137)
u(x, y = 0) = u0 ,
lim u(x, y) = 0.
(138)
(139)
y→∞
求解板的稳定温度分布uxx + uyy = 0。
2.4.2
欧拉型常微分方程回顾
形如
n
∑
ai xn−i y (n−i) = 0
(140)
i=0
的常微分方程被称为欧拉型常微分方程。其中a0 = 1, a1 , a2 , ..., an 为常数。
做变量代换
x = et
(141)
这样y作为t的函数我们有
dy
dx dy
=
,
dt
dt dx
dy
dy
= e−t ,
dx
dt
s
d
d d
d
xs s y = ( − 1)...( − s + 1)y
dx
dt dt
dt
所以方程(140)变为
n
∑
i=0
ai
d d
d
( − 1)...( − n + i + 1)y = 0.
dt dt
dt
这是一个常系数常微分方程。上述常系数常微分方程的通解形式为
m
∑
y=
eri t Pki −1 (t)
(142)
(143)
(144)
(145)
(146)
i=1
其中ri 是下面多项式方程的根
n
∑
ai r(r − 1)...(r − n + i + 1) = 0
(147)
i=0
ki 是根ri 的重数，m是根的个数，Ps 是系数任意的s次多项式。
回到自变量x，欧拉型常微分方程的通解可表为
m
∑
y=
xri Pki −1 (ln x).
i=1
17
(148)
2.4.3
圆形区域外的拉普拉斯方程
考虑偏微分方程
uxx + uyy = 0, x2 + y 2 > a2
2
2
2
(149)
u(x + y = a ) = 0,
(150)
u(x + y → ∞) = −E0 x,
(151)
2
2
上述的第二个边界条件对应的物理意义是无穷远处渐近为x方向的匀强电场，
强度为E0 。
我们发现虽然现在是齐次边界条件，但由于边界不对应自变量为某常数的位
置，也无法变成分离变量后的边界条件。为此，我们可以针对边界的形状选取
坐标系。在问题中，我们可以使用极坐标重新表述上述偏微分方程问题
1
1
uρρ + uρ + 2 uφφ = 0, ρ > a
ρ
ρ
u(ρ = a, φ) = 0,
u(ρ → ∞) = −E0 ρ cos φ.
(152)
(153)
(154)
考虑分离变量形式的解u = R(ρ)Φ(φ)代入(152)，我们可以得到两个方程
Φ′′ + λΦ = 0,
′′
(155)
′
ρ R + ρR − λR = 0.
2
(156)
在φ方向虽然没有明显的边界条件，但实际上φ = 2π跟φ = 0是同一个点，
我们把这个特点称为自然的周期边界条件
Φ(φ = 2π) = Φ(φ = 0).
(157)
方程(155)结合边界条件(157)得到解
λ = m2 , m = 0, 1, 2, 3, ...,
{
A, m = 0
Φ=
A cos(mφ) + B sin(mφ), m > 0
把(158)的λ代入欧拉型常微分方程(156)，解得
{
C + D ln ρ, m = 0
R=
Cρm + ρDm , m > 0
(158)
(159)
(160)
所以我们得到方程(152)的系列解
u0 = C0 + D0 ln ρ,
(161)
−m
m
um = ρ [Am cos(mφ) + Bm sin(mφ)] + ρ
18
[Cm cos(mφ) + Dm sin(mφ)]
(162)
把这系列解线性叠加并代入边界条件(153)、(154)，我们可以确定待定系数
得到
( 2
)
a
− ρ cos φ.
(163)
u = E0
ρ
作业：
分别在圆形区域ρ < ρ0 内求解uxx + uyy = 0，使其满足边界条件
u(ρ = ρ0 , ϕ) = A cos ϕ
(164)
u(ρ = ρ0 , ϕ) = A + B sin ϕ.
(165)
和
从上面的几个例子我们可以看到，齐次边界条件会固定下来可能的分离变
量常数λ，这些可能值又被人们称为本征值，对应的方程解被称为本征函数。
接下来我们把这些本征函数线性组合，再结合剩下来的边界条件或者初始条件
确定线性组合的系数。虽然上述例子都给出剩下来的边界条件或者初始条件刚
好够确定这些系数，但给人凑解的感觉。实际上的确就是凑解的过程，只不过
凑出来的解满足方程和初边值条件。又根据偏微分方程的适定性知道解的唯一
性，我们就可以确定这样得到的解就是原来偏微分方程的解。
2.5
从分离变量法到谱方法
我们接下来考虑非齐次波动方程
utt − a2 uxx = A cos
πx
sin(ωt),
l
(166)
u(t = 0, x) = f (x),
ut (t = 0, x) = g(x),
(167)
(168)
ux (t, x = 0) = 0,
ux (t, x = l) = 0.
(169)
(170)
这里的方程是非齐次的，根据我们之前的经验知道分离变量法不能在这种情形
下工作。但我们又想借用一些分离变量法中的技巧，特别是本征函数线性组合
的技巧。考虑满足边界条件(169)和(170)的定义在0 < x < l上的函数u(x)。根
据我们之前复变函数部分学到的知识可知，这样的函数可以展开成形式
u(x) =
∞
∑
Tn cos
n=0
nπx
l
(171)
如果这个函数还是别的自变量t的函数，则导致上述展开系数是t的函数，即
u(t, x) =
∞
∑
Tn (t) cos
n=0
19
nπx
l
(172)
把上述表达式代入方程(166)
∞
( naπ )2
nπx ∑
nπx
πx
T̈n (t) cos
+
Tn (t)
cos
= A cos
sin(ωt)
l
l
l
l
n=0
n=0
∞
∑
比较方程两边傅里叶级数的系数我们得到
( naπ )2
Tn (t) = 0, n = 0, 2, 3, ...
T̈n (t) +
l
( aπ )2
T̈1 (t) +
T1 (t) = A sin(ωt).
l
把表达式(172)代入初始条件(169)和(170)得到
∞
∞
( naπ )2
∑
nπx ∑
nπx
Tn (0)
cos
=
fn cos
,
l
l
l
n=0
n=0
∞
∑
n=0
Ṫn (0)
( naπ )2
l
cos
∞
nπx ∑
nπx
=
,
gn cos
l
l
n=0
其中fn 和gn 分别是函数f (x)和g(x)的傅里叶级数系数。从而得到
( naπ )−2
Tn (0) = fn
,
l
( naπ )−2
Ṫn (0) = gn
,
l
正好充当方程(174)和(175)的初始条件。于是解得
(173)
(174)
(175)
(176)
(177)
(178)
(179)
T0 = f0 + g0 t,
(180)
(
)
Al
1
πat πa
πat
l
πat
T1 =
ω sin
−
sin ωt + f1 cos
+
g1 sin
πa ω 2 − π 2 a2 /l2
l
l
l
πa
l
(181)
nπat
l
πat
Tn = fn cos
+
gn sin
,n ≥ 2
(182)
l
πa
l
代回(172)即得原方程的解。
上述方法先考虑一个自变量方向的边界条件，特别是该边界条件确定的函数
空间，再从该函数空间中选取一完备函数基底对任意函数进行展开。进而把展
开系数看作其余自变量的函数，然后把展开式代入方程和其他初边值条件进行
求解。这里的完备函数基底展开就是通常人们说的谱展开，所以这个方法又被
称为谱方法。常见的函数基底包括上述傅里叶级数和切比雪夫多项式等。
作业：
用谱方法求解热传导问题
ut − a2 uxx = A sin ωt,
ux (t, x = 0) = 0,
(183)
(184)
u(t, x = l) = 0,
u(t = 0, x) = φ(x).
(185)
(186)
20
2.6
冲量定理变非齐次方程为齐次方程
从物理上我们考虑描述弦振动的非齐次波动方程
utt − a2 uxx = f (t, x),
u(t, x = 0) = u(t, x = l) = 0,
(187)
(188)
u(t = 0, x) = ut (t = 0, x) = 0.
(189)
其中f (t, x)的物理意义是作用在单位长度弦单位质量上的外力。冲量定理法的
基本物理思想是把持续作用力看作是许许多多前后相继瞬时力的叠加，把持续
作用力引起的振动看作是所有瞬时力引起振动的叠加。即
∫ t
f (t, x) =
f (x, τ )δ(t − τ )dτ
(190)
0
其中f (x, τ )δ(t − τ )dτ 为作用在很短时间区间(τ, τ + dτ )上而冲量为f (x, τ )dτ 的
瞬时力。把该瞬时力引起的振动记作u(τ ) (t, x)，则u(τ ) (t, x)满足偏微分方程
(τ )
)
utt − a2 u(τ
xx = f (x, τ )δ(t − τ )dτ,
(t, x = 0) = u
(t, x = l) = 0,
(192)
(τ )
(τ )
(t = 0, x) = ut (t = 0, x) = 0.
(193)
u
u
(τ )
(191)
(τ )
由于瞬时力f (x, τ )δ(t − τ )dτ 作用在时间(τ, τ + dτ )上，从0时刻直到τ − 0时
刻，它尚未起作用，弦依然是静止的，即
(τ )
u(τ ) (t = τ − 0, x) = ut (t = τ − 0, x) = 0.
(194)
时刻τ ，该瞬时力开始作用，到时刻τ + dτ 结束。由于dτ 很短，弦上各质点”来
不及“位移，故在时刻τ + dτ ，位移为0
u(τ ) (t = τ + dτ, x) = 0.
(195)
再看时刻τ + dτ 的速度，根据冲量定理，从τ − 0时刻到τ + dτ 时刻，单位长度
单位质量弦的动量变化等于瞬时力f (x, τ )δ(t − τ )dτ 的冲量
(τ )
(τ )
ut (t = τ + dτ, x) − ut (t = τ − 0, x) = f (x, τ )dτ,
(196)
(τ )
ut (t = τ + dτ, x) = f (x, τ )dτ.
(197)
接下来我们考察τ + dτ 作为初始时刻的振动问题
(τ )
)
utt − a2 u(τ
xx = 0,
(t, x = 0) = u
(τ )
(τ )
(t = τ + dτ, x) = 0, ut (t = τ + dτ, x) = f (x, τ )dτ.
u
u
(τ )
(198)
(τ )
(t, x = l) = 0,
(199)
(200)
根据方程的线性性，我们可以知道上述方程的解一定具有形式u(τ ) (t, x) =
v(t, x; τ )dτ 。所以等价地有
vtt − a2 vxx = 0,
(201)
21
v(t, x = 0) = v(t, x = l) = 0,
(202)
v(t = τ, x) = 0, vt (t = τ, x) = f (x, τ ).
(203)
回到原始的问题(187)，u是一系列u(τ ) 的线性叠加
t
∑
u(t, x) =
∫ t
(τ )
u
2.6.1
v(t, x; τ )dτ.
(t, x) =
(204)
0
τ =0
冲量定理法的数学验证
上述冲量定理法的引入虽然物理上看起来有些道理，但数学上显得有些不严
格，让人不免担心其合理性。我们可以把(204)当作是方程(187)的猜测解，
然后进行检验，只要满足方程和初边值条件，根据解的唯一性我们就敢肯
定(204)一定是方程(187)的解。
我们首先验证边界条件。由于v(t, x = 0) = v(t, x = l) = 0，因此
∫ t
u(t, x = 0) =
v(t, x = 0; τ )dτ = 0,
(205)
v(t, x = l; τ )dτ = 0.
(206)
0
∫ t
u(t, x = l) =
0
(204)的确满足边界条件。
我们再验证初始条件。初始位移
∫ 0
u(t = 0, x) =
v(t, x; τ )dτ = 0.
(207)
0
为了计算初始速度，我们先计算
∫ t
ut (t, x) = v(t, x; t) +
vt (t, x; τ )dτ
(208)
0
根据(203)我们有
v(t, x; t) = 0,
∫ t
ut (t, x) =
vt (t, x; τ )dτ,
0
(209)
(210)
∫ 0
vt (t, x; τ )dτ = 0.
ut (t = 0, x) =
(211)
0
(204)的确满足初始条件。
最后我们验证方程。对(210)再求导
∫ t
utt (t, x) = vt (t, x; t) +
∫ t
vtt (t, x; τ )dτ = f (t, x) +
0
vtt (t, x; τ )dτ.
0
22
(212)
把上述结果代入方程(187)得到
∫ t
utt − a2 uxx = f (t, x) +
∫ t
vtt dτ − a2
0
vxx dτ
0
∫ t
(vtt − a2 vxx )dτ
= f (t, x) +
0
= f (t, x).
(213)
至此我们验证了(204)的确满足方程和初边值条件，所以我们肯定(204)就是
要找的解。虽然上面我们只讨论了第一类边界条件，实际上对于第一、第二和
第三类齐次边界条件冲量定理法都成立。冲量定理法实际上对应之前讲过的杜
哈曼(Duhamel)数学原理。
2.6.2
冲量定理法例子
考虑初边值问题
πx
sin ωt,
l
ux (t, x = 0) = ux (t, x = l) = 0,
(215)
u(t = 0, x) = 0, ut (t = 0, x) = 0.
(216)
utt − a2 uxx = A cos
(214)
根据冲量定理法，先考虑方程
vtt − a2 vxx = 0,
vx (t, x = 0) = vx (t, x = l) = 0,
(217)
(218)
v(t = τ, x) = 0, vt (t = τ, x) = A cos
πx
sin ωτ.
l
(219)
参照边条件(218)，使用谱方法展开v
v(t, x; τ ) =
∞
∑
Tn (t; τ ) cos
n=0
nπx
.
l
把上述展开式代入方程得到
]
∞ [
∑
n2 π 2 a 2
nπx
′′
Tn +
Tn cos
,
2
l
l
n=0
(220)
(221)
n2 π 2 a 2
Tn = 0,
l2
T0 (t; τ ) = A0 (τ ) + B0 (τ )(t − τ ),
Tn′′ +
(222)
(223)
nπa(t − τ )
nπa(t − τ )
Tn (t; τ ) = An (τ ) cos
+ Bn (τ ) sin
, n > 0,
l
l
v(t, x; τ ) = A0 (τ ) + B0 (τ )(t − τ )
]
∞ [
∑
nπa(t − τ )
nπa(t − τ )
nπx
+
An (τ ) cos
+ Bn (τ ) sin
cos
.
l
l
l
n=0
23
(224)
(225)
把上述解代入初始条件(219)得到
An (τ ) = 0,
Bn (τ ) = 0, n ̸= 1,
l
B1 (τ ) = A
sin ωτ.
πa
(226)
(227)
(228)
所以
v(t, x; τ ) = A
l
πa(t − τ )
πx
sin ωτ sin
cos
πa
l
l
积分得出原方程的解为
∫ t
u(t, x) =
v(t, x; τ )dτ
(229)
(230)
0
=
2.6.3
)
(
Al
1
πa
πa
πx
ω
sin
t
−
sin
ωt
cos
.
πa ω 2 − π 2 a2 /l2
l
l
l
(231)
冲量定理法求解热传导方程
考虑初边值问题
ut − a2 uxx = f (t, x),
ux (t, x = 0) = ux (t, x = l) = 0,
(232)
(233)
u(t = 0, x) = 0.
(234)
vt − a2 vxx = 0,
(235)
vx (t, x = 0) = vx (t, x = l) = 0,
v(t = τ, x) = f (τ, x).
(236)
(237)
对应的v方程为
u的解为
∫ t
u(t, x) =
v(t, x; τ )dτ.
(238)
0
例子
ut − a2 uxx = A sin ωt,
u(t, x = 0) = ux (t, x = l) = 0,
u(t = 0, x) = 0.
(239)
(240)
(241)
使用冲量定理，先求解v方程
vt − a2 vxx = 0,
24
(242)
v(t, x = 0) = vx (t, x = l) = 0,
(243)
v(t = τ, x) = A sin ωτ.
(244)
参照边条件(243)，使用谱方法展开v
v(t, x; τ ) =
∞
∑
Tn (t; τ ) sin
n=0
(n + 12 )πx
.
l
把上述展开式代入方程得到
]
∞ [
∑
(n + 12 )πx
(n + 12 )2 π 2 a2
Tn′ +
T
sin
,
n
l2
l
n=0
Tn′ +
(n + 12 )2 π 2 a2
Tn = 0,
l2
(245)
(246)
(247)
(n+ 1 )2 π 2 a2
2
(ttau)
l2
Tn (t; τ ) = Cn (τ )e−
,
∞
∑
(n+ 1 )2 π 2 a2
(n + 12 )πx
2
(t−τ )
l2
v(t, x; τ ) =
sin
.
Cn (τ )e−
l
n=0
(248)
(249)
把上述解代入初始条件(244)得到
Cn (τ ) =
2A sin ωτ
(n + 21 )π
(250)
所以
∞
v(t, x; τ ) =
(n+ 1 )2 π 2 a2
(n + 12 )πx
2
2A sin ωτ ∑ 1
(t−τ )
−
l2
sin
e
.
1
π
l
n+ 2
n=0
积分得出原方程的解为
∫ t
u(t, x) =
v(t, x; τ )dτ
(251)
(252)
0
∞
(n + 12 )πx
2A ∑ 1
1
sin
×
1
1
4
4
π n=0 n + 2
l
(n + 2 ) π a4 /l4 + ω 2
]
[
(n+ 1 )2 π 2 a2
(n + 12 )2 π 2 a2
2
t
−
l2
.
sin
ωt
−
ω
cos
ωt
+
ωe
l2
=
2.7
(253)
非齐次边界条件的处理
上一小节中，无论是谱方法还是冲量定理方法都需要齐次边界条件作为工作基
础。这一小节我们介绍非齐次边界条件的处理方法。
考虑问题
utt − a2 uxx = 0,
(254)
25
u(t, x = 0) = µ(t), u(t, x = l) = ν(t),
(255)
u(t = 0, x) = φ(x), ut (t = 0, x) = ψ(x).
(256)
基于线性方程的性质，使用叠加原理，把u拆成两个函数，一个(v)用来处理
非齐次边条件，一个(w)用来处理方程问题
u(t, x) = v(t, x) + w(t, x),
v(t, x) =
ν(t) − µ(t)
x + µ(t).
l
(257)
(258)
基于上述形式，可以确定w应该满足的方程
µ′′ (t) − ν ′′ (t)
− µ′′ (t),
l
w(t, x = 0) = w(t, x = l) = 0,
wtt − a2 wxx =
µ(0) − ν(0)
x − µ(0),
l
µ′ (0) − ν ′ (0)
wt (t = 0, x) = ψ(x) +
x − µ′ (0).
l
w(t = 0, x) = φ(x) +
(259)
(260)
(261)
(262)
上述齐次边界条件非齐次方程的问题就可以用上一节讲到的谱方法和冲量定理
方法来求解了。
如果非齐次边界条件(255)变为
ux (t, x = 0) = µ(t), ux (t, x = l) = ν(t),
(263)
我们可以使用
v(t, x) =
2.7.1
ν(t) − µ(t) 2
x + µ(t).
2l
(264)
特殊处理方法
上述方法在处理非齐次边界条件的时候只考虑了边条件，没有考虑方程，所以
得到的w方程形式较为复杂，成为了非齐次方程。实际上我们有可能把边条件
和方程一起考虑，只排除开初始条件。例如问题
utt − a2 uxx = 0,
u(t, x = 0) = 0, u(t, x = l) = A sin ωt,
(265)
(266)
u(t = 0, x) = 0, ut (t = 0, x) = 0.
(267)
在边界驱动A sin ωt作用下，一定存在相同时间行为的运动模式，所以我们先假
设
v = X(x) sin ωt
(268)
我们要求它满足方程和边界条件
vtt − a2 vxx = 0,
(269)
26
v(t, x = 0) = 0, v(t, x = l) = A sin ωt.
(270)
由此得到
X ′′ +
( ω )2
X = 0,
a
X(0) = 0, X(l) = A.
(271)
(272)
解得
A
ωx
sin
.
ωl
a
sin a
(273)
A
ωx
sin ωt.
sin
ωl
a
sin a
(274)
X=
所以
v=
接下来我们假设u = v + w，进而得到
wtt − a2 wxx = 0,
(275)
w(t, x = 0) = 0, w(t, x = l) = 0,
(276)
w(t = 0, x) = 0, wt (t = 0, x) = −Aω
sin ωx/a
.
sin ωl/a
(277)
于是我们得到一个齐次方程、齐次边界条件问题。我们可以使用分离变量法求
解该问题得到
∞
w=
2.8
2Aω ∑
1
nπat
nπx
sin
sin
.
2
2
2
2
2
al n=1 ω /a − n π /l
l
l
(278)
非 齐次 椭 圆 方 程–泊
泊松 方 程
泊松方程
∇2 u = f (x, y, z)
(279)
就是非齐次的拉普拉斯方程，或者说典型的非齐次椭圆方程。由于不含时，前
述的冲量定理方法不适用。但上一节讲到的把未知函数分成两个部分，分别考
虑方程和边界条件的方法是可行的。我们把这样的方法叫做特解法。具体地，
我们先不管边界条件，找一个泊松方程(279)的特解v。分解u为
u = v + w,
(280)
∇ v = f,
2
(281)
∇ u = ∇ v + ∇ w = f,
(282)
∇ w = 0.
(283)
2
2
2
2
27
我们得到一个齐次方程(283)。具体看下面的例子。在圆域ρ < ρ0 上求解
∇2 u = a + b(x2 − y 2 ),
u(ρ = ρ0 ) = c.
(284)
(285)
按上面提到的思路，我们先寻找方程(284)的特解v。为此我们注意到
a
∇2 ( x2 ) = a,
2
2 a 2
∇ ( y ) = a.
2
2
(286)
(287)
2
所以为了同时照顾到x和y我们取a x +y
来满足方程(284)中的a项。
4
我们再注意到
b 4
x ) = bx2 ,
12
b
∇2 ( y 4 ) = by 2 .
12
∇2 (
(288)
(289)
由此我们可以猜出一个特解
a 2
b
(x + y 2 ) + (x4 − y 4 ),
4
12
∇2 v = a + b(x2 − y 2 ).
v=
(290)
(291)
再由于圆形区域的要求，我们把该定解问题用极坐标来表出
v=
a 2
b
ρ + ρ4 cos 2ϕ.
4
12
(292)
由此计算得到关于w的定解问题
∇2 w = 0,
(293)
a
b
w(ρ = ρ0 ) = c − ρ20 − ρ40 cos 2ϕ.
4
12
(294)
分离变量法可以求解上述方程得到
w = C0 + D0 ln ρ +
∞
∑
{ρm [Am cos(mϕ) + Bm sin(mϕ)]
m=1
−m
+ρ
[Cm cos(mϕ) + Dm sin(mϕ)]}
(295)
形式上ρ存在0和ρ0 两个边界。在ρ = 0的地方，w需要是有限值，所以
D0 = Cm = Dm = 0.
(296)
再代入ρ = ρ0 处边界条件(294)
C0 +
∞
∑
a 2
b 4
ρm
ρ0 cos 2ϕ,
0 [Am cos(mϕ) + Bm sin(mϕ)] = c − ρ0 −
4
12
m=1
28
(297)
a
C0 = c − ρ20 ,
4
Bm = 0,
b
A2 = − ρ20 .
12
(298)
(299)
(300)
所以我们得到解
a
b
w = c − ρ20 − ρ20 ρ2 cos(2ϕ),
4
12
a
b
u = c + (ρ2 − ρ20 ) + ρ2 (ρ2 − ρ20 ) cos(2ϕ).
4
12
(301)
(302)
我们再看一个例子。在矩形区域0 < x < a、0 < y < b上求解泊松方程
∇2 u = −2,
(303)
u(x = 0, y) = u(x = a, y) = u(x, y = 0) = u(x, y = b) = 0.
(304)
先寻求一个特解满足非齐次方程。v = −x2 就满足∇2 v = −2。但这样的特解
会使得x = a和y方向变成非齐次边界条件。注意到v = −x2 + c1 x + c2 也可以
满足∇2 v = −2。同时我们还可以通过要求v(x = 0, y) = v(x = a, y) = 0求
出c1 = a和c2 = 0。
接下来分解
u = v + w = x(a − x) + w.
(305)
从而得到w的定解问题
∇2 w = 0,
w(x = 0, y) = w(x = a, y) = 0,
(306)
(307)
w(x, y = 0) = w(x, y = b) = x(x − a).
(308)
由分离变量法可得
w=
∞
∑
nπy
nπy
(An e a + Bn e− a ) sin
n=1
nπx
.
a
(309)
把上式代入边界条件(308)得到
∞
∑
n=1
∞
∑
(An + Bn ) sin
nπx
= x(x − a),
a
(An e a + Bn e− a ) sin
nπb
nπb
n=1
(310)
nπx
= x(x − a).
a
(311)
由于
x(x − a) =
∞
∑
4a2
n3 π 3
n=1
[(−1)n − 1] sin
29
nπx
.
a
(312)
所以
∞
y−b/2
(2k − 1)πx
8a2 ∑ cosh[(2k − 1)π a ]
w=− 3
sin
π
a
(2k − 1)3 cosh[(2k − 1) πb
]
2a
(313)
k=1
2.9
偏微分方程的弱解问题
在本章讲解过程中，我们强调比较多定解问题的解适定性或者说解的存在唯一
性，于是保证猜算解的合理性。我们下面看一个例子。
ut = auxx ,
u(t = 0, x) = u0 ,
(314)
(315)
bux (t, x = l) + u(t, x = l) = ue ,
ux (t, x = 0) = 0,
(316)
(317)
其中(316)叫做霍班(Robin)边界条件，它对应边界温度自由冷却到温度ue 的物
理情形或者一个纵向振动的杆与一弹簧相连的物理情形(ue = 0)等。把初始
条件(315)代入边界条件(316)我们会发现除非u0 = ue ，否则初始条件与边界
条件是矛盾的，即一定不可能找到一个解满足上述方程和初边界条件。如
果u0 = ue 我们又会发现u(t, x) = u0 这样的平庸解可以满足上述方程和初边界条
件。根据解的存在唯一性，我们就会知道这个平庸解就是上述定解问题的解。
实际上霍班边界条件是物理问题建模而来的近似边界条件，初始温度u0 和
环境温度ue 不等，或者说被拉长或者压缩的杆连着弹簧自由振动是很常见的物
理问题。这时对应的上述定解问题需要拓展到非光滑解，即数学上说的弱解这
样的探讨范围。弱解在偏微分方程理论中也有存在唯一性，但其求解就不是我
们上述讲到的方法能做的了。这些内容超出了本课程的讲解范围。
30
二 阶 常 微 分 方 程 的 级 数 解 法 和 施 图 姆 -刘
刘维 尔 本 征
值问题
3
上一章讲到的分离变量法求解偏微分方程，实质的过程是把偏微分方程变成若
干个独立的常微分方程来求解。这些常微分方程不见得都是我们在高数课程中
见过的可解型常微分方程。所以本章我们介绍级数的求解方法，这是一种比较
通用的求解方法。由于常见的偏微分方程是二阶的，约化得到的常微分方程也
算是二阶的。我们本章重点关心二阶常微分方程的级数解法。
3.1
拉普拉斯方程
我们先看看常见偏微分方程所约化的常微分方程的情况。首先我们考察拉普拉
斯方程∇2 u = 0。
3.1.1
球坐标系
根据上一章讲过的内容，我们知道，如果所设计的区域形状是球形，我们就需
要使用球坐标系来刻画相应的定解问题。此时拉普拉斯问题变为
(
)
(
)
1 ∂
1
∂
∂u
1
∂2u
2 ∂u
r
+
sin
θ
+
= 0.
(318)
r2 ∂r
∂r
r2 sin θ ∂θ
∂θ
r2 sin2 θ ∂ϕ2
首先我们把径向变量r和角向变量θ和ϕ分离
u(r, θ, ϕ) = R(r)Y (θ, ϕ)
代入方程(318)我们得到
(
)
(
)
1 d
dR
1
∂
∂Y
1 1 ∂2Y
r2
=−
sin θ
−
= λ1 .
R dr
dr
sin θY ∂θ
∂θ
Y sin2 θ ∂ϕ2
(319)
(320)
于是我们得到
(
)
d
2 dR
r
− λ1 R = 0,
dr
dr
(
)
1 ∂
∂Y
1 ∂2Y
sin θ
+
+ λ1 Y = 0.
sin θ ∂θ
∂θ
sin2 θ ∂ϕ2
(321)
(322)
常微分方程(321)可化为
r2
d2 R
dR
+ 2r
− λ1 R = 0,
2
dr
dr
(323)
实为我们熟悉的欧拉型常微分方程。
对于偏微分方程(322)，我们进一步分离变量
Y (θ, ϕ) = Θ(θ)Φ(ϕ)
31
(324)
代入(322)我们得到
(
)
dΘ
1 d2 Φ
sin θ
+ λ1 sin2 θ = −
= λ2
dθ
Φ dϕ2
(325)
进一步我们约化得到两个常微分方程
(
)
d
dΘ
sin θ
sin θ
+ (λ1 sin2 θΘ − λ2 )Θ = 0,
dθ
dθ
d2 Φ
+ λ2 Φ = 0.
dϕ2
(326)
sin θ d
Θ dθ
(327)
常微分方程(327)结合自然的周期性边界条件可解出
λ2 = m2 , m = 0, 1, 2, ...
(328)
Φ = A cos(mϕ) + B sin(mϕ),
(329)
把(328)代入(326)我们得到
(
)
d
dΘ
sin θ
sin θ
+ (λ1 sin2 θΘ − m2 )Θ = 0
dθ
dθ
(330)
引入自变量代换
x = cos θ
(331)
上述常微分方程可化为
(1 − x2 )
dΘ
dΘ
m2
−
2x
+
(λ
−
)Θ = 0
1
dx2
dx
1 − x2
(332)
这个常微分方程就不是我们熟悉的样子了，需要我们后续介绍的级数解法来进
行求解。
3.1.2
柱坐标系
在柱坐标系下，拉普拉斯问题变为
(
)
1 ∂
∂u
1 ∂2u ∂2u
ρ
+ 2 2 + 2 = 0.
ρ ∂ρ
∂ρ
ρ ∂ϕ
∂z
(333)
在上一小节中，我们对三个自变量使用了连续两次分离变量引入了两个分离
变量常数。实际上变量分离时可以一股脑分成每个自变量独立的形式，同样是
引入自变量个数减一个分离变量常数。第一个和最后一个分离出来的变量常微
分方程只涉及一个分离变量常数，中间的变量常微分方程涉及且只涉及两个分
离变量常数。这是因为引入新的分离变量常数时是按新的项引入的，上一次的
常数却按乘的方式进入方程。所以上一次引入的常数只会留在其中一个分离变
量方程中。
32
下面我们按一股脑分离变量的方式来分析方程(333)。设
u(ρ, ϕ, z) = R(ρ)Φ(ϕ)Z(z)
(334)
代入方程(333)，首先把ϕ分离出来得到
ρ2 d2 R
ρ dR
Z ′′
Φ′′
+ ρ2
=−
= λ1 .
+
2
R dρ
R dρ
Z
Φ
(335)
由此得到两个方程
Φ′′ + λ1 Φ = 0,
(336)
′′
2
ρ ′′
ρ
Z
R + R′ + ρ2
= λ1 .
R
R
Z
(337)
常微分方程(336)结合自然的周期性边界条件可解出
λ1 = m2 , m = 0, 1, 2, ...
Φ = A cos(mϕ) + B sin(mϕ).
(338)
(339)
把(338)代入(337)并再一次分离变量得到
1 ′′
1 ′ m2
Z ′′
R +
R − 2 =−
= −λ2
R
ρR
ρ
Z
(340)
由此得到两个常微分方程
Z ′′ − λ2 Z = 0,
(341)
1
m2
R′′ + R′ + (λ2 − 2 )R = 0.
ρ
ρ
(342)
如果λ2 = 0则(342)是欧拉型常微分方程。对于λ2 ̸= 0则(342)就不是我们熟悉的
常微分方程形式了。
如果λ2 > 0，我们引入自变量代换
√
x = λ2 ρ
(343)
则方程(342)化为
x2 R′′ + xR′ + (x2 − m2 )R = 0.
(344)
这个常微分方程在数学上被称为m阶贝塞尔方程，其解被称为m阶贝塞尔函
数。
如果λ2 < 0，我们引入自变量代换
√
x = −λ2 ρ
(345)
则方程(342)化为
x2 R′′ + xR′ − (x2 + m2 )R = 0.
(346)
这个常微分方程在数学上被称为m阶虚宗量贝塞尔方程，其解被称为m阶虚宗
量贝塞尔函数。
33
3.2
亥 姆霍 兹(Helmholtz)方
方程
对波动方程或者热传导方程分离变量，把时间和空间自变量分离开来后，空间
自变量的部分往往出现下述方程的样子
∇2 u + k 2 u = 0
(347)
上述偏微分方程被称为亥姆霍兹方程。
3.2.1
球坐标系
在球坐标系下讨论亥姆霍兹方程与上述讲过的拉普拉斯方程很像，唯一不同的
是径向方程将从(323)变为
r2
d2 R
dR
+ 2r
+ (k 2 r2 − λ1 )R = 0.
dr2
dr
(348)
引入变量代换
x = kr,
(349)
y(x)
R(r) = √ ,
x
(350)
把上述变量代换代入(348)我们得到
x2
d2 y
dy
1
+x
+ [x2 − (λ1 + )]y = 0.
dx2
dx
4
(351)
这也不是我们熟悉的常微分方程形式。
3.2.2
柱坐标系
在柱坐标系下讨论亥姆霍兹方程与上述讲过的柱坐标系下的拉普拉斯方程很
像，唯一不同的是径向方程将从(342)变为
1
m2
R′′ + R′ + (k 2 + λ2 − 2 )R = 0.
ρ
ρ
(352)
记µ′ ≡ k 2 + λ2 则上述方程变为
1
m2
R′′ + R′ + (µ′ − 2 )R = 0.
ρ
ρ
(353)
上述方程与(342)形式完全一样。如果m = 0则它是欧拉型常微分方程。如
果µ′ > 0，我们引入变量代换
√
x = µ′ ρ,
(354)
把上述变量代换代入(353)我们得到
x2
d2 R
dR
+x
+ (x2 − m2 )R = 0.
dx2
dx
34
(355)
这正是在(344)中见过的m阶贝塞尔方程。如果µ′ < 0，我们引入变量代换
√
x = −µ′ ρ,
(356)
把上述变量代换代入(353)我们得到
x2
dR
d2 R
+x
− (x2 + m2 )R = 0.
dx2
dx
(357)
这正是在(346)中见过的m阶虚宗量贝塞尔方程。
3.3
常点邻域上的级数法求解二阶常微分方程
上一节中遇到的各种常微分方程虽然不是高数课程中讲过的熟悉形式，但都可
写为下述形式
y ′′ + p(x)y ′ + q(x)y = 0.
(358)
把上述方程的自变量x和函数y都延拓到复数域。如果复变函数p(x)和q(x)在x0 点
都是解析的，则x0 称为方程的常点。反之，x0 称为方程的奇点。
柯西(Cauchy)定理：在方程(358)的常点x0 附近存在唯一的解析函数y(x)满
足方程(358)并使得
y(x0 ) = C0 , y ′ (x0 ) = C1 ,
(359)
其中C0 和C1 是两个给定的复常数。
基于上述定理，既然微分方程(358)在常点x0 的邻域上存在唯一的解析解，
我们就可以把它表达成泰勒级数的形式
y(x) =
∞
∑
ak (x − x0 )k ,
(360)
k=0
其中的系数ak 有待确定。级数解法的过程也就是确定这些系数的过程。具体的
做法就是把上述表达式代入微分方程(358)，合并同幂项，令合并后的各系数分
别等于零，找出系数ak 之间的递推关系，然后用初值C0 和C1 来确定这些系数。
3.4
常点邻域上的级数法求解勒让德方程
我们考虑方程(332)在m = 0情况下的特例。此时令λ1 = l(l + 1)方程变为
(1 − x2 )y ′′ − 2xy ′ + l(l + 1)y = 0
(361)
l由λ1 决定，一般说来l为任意复数。如果l为非负整数，这个方程被人们称为l阶
勒让德方程。
我们考虑任意复数l，对应方程形式(358)
p(x) = −
2x
,
1 − x2
35
(362)
l(l + 1)
.
1 − x2
q(x) =
(363)
x = 0是复变函数p(x)和q(x)的常点，也就是方程(361)的常点。通过泰勒展开我
们可以得到
ak+2 =
(k − l)(k + l + 1)
ak
(k + 1)(k + 2)
(364)
所以我们得到解为
]
[
∞
∑
(2k − 2 − l)(2k − 4 − l)...(−l)(l + 1)(l + 3)..(l + 2k − 1) 2k
x
a0
y(x) = 1 +
(2k)!
k=1
[
]
∞
∑
(2k − 1 − l)(2k − 3 − l)...(1 − l)(l + 2)(l + 4)..(l + 2k) 2k
+ 1+
x
a1 x
(2k + 1)!
k=1
(365)
上述幂级数要收敛的话，上式的a0 部分和a1 部分需要分别都收敛。这两者的收
敛半径都是
ak
(k + 2)(k + 1)
= lim
=1
k→∞ ak+2
k→∞ (k − l)(k + l + 1)
R = lim
(366)
即在−1 < x < 1范围内上述级数解都是适用的。
更仔细的分析表明，上述级数在x = ±1是发散的。而x = ±1正好对应θ =
0和π，对应原始方程(332)的自然边界。物理上的解在这两个自然边界处一定是
有限的。为了保证解有限，上述无穷级数必须截断为有限项的多项式。为此l必
须为非负整数。而且当l为偶数时，必须a1 = 0；当l为奇数时，必须a0 = 0。
也就是说方程(361)结合自然边界x = ±1构成本征值问题，可以确定出l的本征
值。
3.5
正则奇点邻域上的级数法求解二阶常微分方程
富克斯(Fuchs)定理：在方程(358)的奇点x0 附近，方程(358)存在两个线性独立
解，形式为
y1 (x) =
∞
∑
ak (x − x0 )s1 +k ,
(367)
k=−∞
y2 (x) = Ay1 (x) ln(x − x0 ) +
∞
∑
bk (x − x0 )s2 +k ,
(368)
k=−∞
其中s1 , s2 , A, ak , bk 是常数。级数解法的过程也就是确定这些常数的过程。
对于特殊情况
p(x) =
∞
∑
pk (x − x0 )k ,
k=−1
36
(369)
∞
∑
qk (x − x0 )k
(370)
s(s − 1) + sp−1 + q−2 = 0
(371)
q(x) =
k=−2
我们有指标方程
记s1,2 为上述指标方程的两个根s2 ≤ s1 。如果s1 − s2 为非整数，则A一定为零。
如果s1 − s2 为整数，则A可能为零也可能不为零。而且ak = bk = 0, k < 0，即
方程(358)的两个线性独立解现在变为
y1 (x) =
∞
∑
ak (x − x0 )s1 +k ,
(372)
k=0
y2 (x) = Ay1 (x) ln(x − x0 ) +
∞
∑
bk (x − x0 )s2 +k .
(373)
k=0
3.6
正则奇点邻域上的级数法求解贝塞尔方程
ν阶贝塞尔方程形如
x2 y ′′ + xy ′ + (x2 − ν 2 )y = 0
(374)
其中ν可以为任意实数。对应方程形式(358)
p(x) =
1
,
x
q(x) = 1 −
(375)
ν2
.
x2
(376)
即
p−1 = 1,
(377)
q−2 = −ν .
(378)
s(s − 1) + s − ν 2 = 0,
(379)
s1,2 = ±ν,
s1 − s2 = 2|ν|
(380)
(381)
2
所以指标方程(371)变为
先求形如(372)的级数解，把表达式(372)代入微分方程(374)，合并同幂项，
令合并后的各系数分别等于零，得到系数ak 之间的递推关系
ak = −
1
ak−2 .
(s1 + k + ν)(s1 + k − ν)
37
(382)
而且
a1 = 0.
(383)
该级数的收敛半径为
ak−2
= ∞.
k→∞
ak
R = lim
(384)
所以上述级数解总是适用的。
1
取a0 = 2s1 Γ(s
，上述级数变为
1 +1)
Js1 (x) =
∞
∑
(−1)k
k=0
( x )s1 +2k
1
k!Γ(s1 + k + 1) 2
(385)
这个函数被人们称为s1 阶贝塞尔函数。对应地，我们还有s阶诺伊曼(Neumann)函
数
Ns (x) ≡
Js (x) cos(sπ) − J−s (x)
.
sin(sπ)
(386)
由富克斯定理可知，J|ν| (x)一定是ν阶贝塞尔方程的解，但只有在2|ν|为非
整数时J−|ν| (x)和N|ν| (x)才一定是ν阶贝塞尔方程的解。所以在2|ν|为非整数时
我们可以使用通解形式
y(x) = C1 J|ν| (x) + C2 J−|ν| (x)
(387)
y(x) = C1 J|ν| (x) + C2 N|ν| (x)
(388)
或者
利用边界条件来确定常数C1,2 以此求解原始贝塞尔方程。
2|ν|为整数又可分为两种情形。ν本身为整数或者ν为半奇数。
我们先考虑ν为半奇数的情形。此时我们把形式(373)的级数解代入微分方
程(374)，计算发现A = 0。所以J−|ν| (x)和N|ν| (x)也是半奇数阶贝塞尔方程的
解。此时我们仍然可以使用通解形式
y(x) = C1 J|ν| (x) + C2 J−|ν| (x)
(389)
y(x) = C1 J|ν| (x) + C2 N|ν| (x)
(390)
或者
并利用边界条件来确定常数C1,2 以次求解原始贝塞尔方程。
当ν本身为整数m时，这正是我们在分析柱坐标系拉普拉斯方程和亥姆霍兹
方程时遇到的情形。我们会发现形式(373)中的A不再等于零。具体的计算会发
现形如(373)的级数解刚好等于(386)定义的诺伊曼函数取极限
Nm (x) = lim
s→m
Js (x) cos(sπ) − J−s (x)
.
sin(sπ)
38
(391)
具体计算我们会发现
J−m (x) = (−1)m Jm (x).
(392)
所以此时我们只能使用通解形式
y(x) = C1 Jm (x) + C2 Nm (x)
(393)
并利用边界条件来确定常数C1,2 以次求解原始贝塞尔方程。
柱坐标的ρ = 0有可能成为原始定解问题的自然边界。函数值在自然边界
处有限会成为一个自然边界条件。注意到负数阶的Jν (0)和任意阶的Nν (0)都发
散，ρ = 0的自然边界条件会把这些解都排除掉，只剩下
y(x) = C1 Jν (x).
3.7
(394)
正则奇点邻域上的级数法求解虚宗量贝塞尔方程
ν阶虚宗量贝塞尔方程形如
x2 y ′′ + xy ′ − (x2 + ν 2 )y = 0
(395)
其中ν可以为任意实数。做自变量代换
ξ = ix
(396)
d2 y
dy
+ξ
+ (ξ 2 − ν 2 )y = 0
2
dξ
dξ
(397)
方程(395)会变为
ξ2
这个方程不是别的，正是前面讲过的ν阶贝塞尔方程(374)。这也就是为什么我
们把(395)叫做ν阶虚宗量贝塞尔方程。
由于级数解法本身要把方程复化，所以虚宗量贝塞尔方程和贝塞尔方程没有
实质差异。我们只需要注意自变量代换就可以从贝塞尔方程的解得到虚宗量贝
塞尔方程的解。具体地，我们有
Jν (ξ) = Jν (ix) = iν
∞
∑
k=0
( x )ν+2k
1
,
k!Γ(ν + k + 1) 2
Nν (ξ) = Nν (ix).
(398)
(399)
通常说的虚宗量贝塞尔函数是下面的实函数
Iν (x) = i−ν Jν (ix).
(400)
但“虚宗量诺伊曼函数”不容易抽出实函数来。于是人们提出了汉克
尔(Hankel)函数
Hν(1) (x) ≡ Jν (x) + iNν (x),
39
(401)
Hν(2) (x) ≡ Jν (x) − iNν (x)
(402)
分别被称为第一类和第二类汉克尔函数。其中第一类汉克尔函数很容易实化
Kν (x) ≡
πieiνπ (1)
π I−ν (x) − Iν (x)
Hν (ix) =
2
2
sin νπ
(403)
通常说的虚宗量汉克尔函数就是指上式。
在ν不等于整数时，Kν (x)实际上就是I±ν (x)的线性组合。所以对于此时的
虚宗量贝塞尔方程，我们通解形式
y(x) = C1 Iν (x) + C2 I−ν (x)
(404)
y(x) = C1 Iν (x) + C2 Kν (x)
(405)
和
是等价的。但当ν等于整数时Im (x) = I−m (x)，而
Km (x) ≡ lim Kν (x)
ν→m
(406)
是线性独立于Im (x)的虚宗量贝塞尔方程的解。所以，此时对于虚宗量贝塞尔
方程，我们可以使用通解形式
y(x) = C1 Im (x) + C2 Km (x)
(407)
利用边界条件来确定常数C1,2 以此求解原始的虚宗量贝塞尔方程。
柱坐标的ρ = 0有可能成为原始定解问题的自然边界。函数值在自然边界
处有限会成为一个自然边界条件。注意到负数阶的Iν (0)和任意阶的Kν (0)都发
散，ρ = 0的自然边界条件会把这些解都排除掉，只剩下
y(x) = C1 Iν (x).
3.8
(408)
级数法求解常微分方程小结
除了上述勒让德多项式、贝塞尔函数、诺伊曼函数和汉克尔函数，实际上众多
特殊函数比如拉盖尔(Laguerre)多项式、厄米(Hermite)多项式、超几何函数、
合流超几何函数等都是通过级数法求解相应的常微分方程得到的。
3.9
施 图姆-刘
刘维 尔(Sturm-Liouville)本
本征 值 问 题
形为
[
]
dy
d
k(x)
− q(x)y + λρ(x)y = 0
dx
dx
(409)
的常微分方程被称为施图姆-刘维尔型常微分方程。实际上任意形式二阶线性常
微分方程
y ′′ + a(x)y ′ + b(x)y + λc(x)y = 0
40
(410)
使用变换
∫
k(x) = e a(x)dx ,
q(x) = −b(x)k(x),
ρ(x) = c(x)k(x).
(411)
(412)
(413)
都可以化成施图姆-刘维尔型常微分方程。其中的λ是待定常数。齐次或者自然
边界条件会把常数λ确定下来。也就是说施图姆-刘维尔型常微分方程配以齐次
或者自然边界条件成为本征值问题，被人们称为施图姆-刘维尔本征值问题。
施图姆-刘维尔定理：在有界闭区间a ≤ x ≤ b上，如果k(x)，q(x)和ρ(x)均
为非负函数(对应(410)方程形式则是a(x)符号任意，b(x) ≤ 0但c(x) > 0。)，而
且k(x)，k ′ (x)和q(x)(对应(410)方程形式则是要求a(x)和b(x))连续或者最多以
端点x = a和/或x = b为一阶极点，则所有本征值非负
0 ≤ λ1 ≤ λ2 ≤ ...
(414)
y1 (x), y2 (x), ...
(415)
而且对应本征函数
排列次序对应节点个数依次增多。不同本征值对应的本征函数带权重ρ(x)正交
∫ b
ym (x)yn (x)ρ(x) = 0, m ̸= n
(416)
a
而且这些本征函数构成满足齐次或者自然边界条件的具有连续一阶导数和分段
连续二阶导数的函数组成的函数空间的完备基底。即，满足齐次或者自然边界
条件的具有连续一阶导数和分段连续二阶导数任意函数均可表达为
f (x) =
∞
∑
fn yn (x).
(417)
n=1
举例，对于类勒让德方程(332)，或者等价地
[
] [
]
d
dΘ
m2
(1 − x2 )
+ λ−
Θ = 0,
dx
dx
1 − x2
(418)
我们有
2x
,
1 − x2
m2
< 0,
b(x) = −
(1 − x2 )2
1
c(x) =
> 0.
1 − x2
k(x) = 1 − x2 ≥ 0,
a(x) = −
(419)
(420)
(421)
(422)
2
q(x) =
m
> 0,
1 − x2
41
(423)
ρ(x) = 1 > 0,
(424)
x = ±1为q的一阶极点。满足施图姆-刘维尔定理的条件。
对于贝塞尔方程(374)我们有
λ = ν2,
(425)
1
,
x
b(x) = 1 > 0,
1
c(x) = − 2 < 0.
x
a(x) =
(426)
(427)
(428)
函数正负性不对，不满足施图姆-刘维尔定理的条件。
对于虚宗量贝塞尔方程(395)我们有
λ = ν2,
(429)
1
a(x) = ,
x
b(x) = −1 < 0,
1
c(x) = − 2 < 0.
x
(430)
(431)
(432)
函数正负性不对，不满足施图姆-刘维尔定理的条件。
我们之前学过的傅里叶级数对应周期性边界条件且
y ′′ + ω 2 y = 0,
(433)
2
λ=ω ,
a(x) = 0,
b(x) = 0,
(434)
(435)
(436)
c(x) = 1 > 0.
(437)
满足施图姆-刘维尔定理的条件。所以λ = ω 2 ≥ 0从而保证ω为实数。
施图姆-刘维尔定理所给出的那些本征函数可看作是傅里叶级数基函数的推
广，被人们叫做广义傅里叶级数。
作业：
判断下述本征值问题是否满足施图姆-刘维尔定理的条件
3.10
y ′′ + λy = 0,
y(x = 0) = 0,
(438)
(439)
y ′ (x = l) − λy(x = l) = 0.
(440)
关于施 图 姆 -刘
刘维 尔 本 征 值 问 题 的 两 点 注 记
在n维线性空间上的正规算子(矩阵)的谱定理可看作是施图姆-刘维尔本征值定
理的特殊情形。关于无限维复希尔伯特空间的正规算子(normal operator)谱分
解定理实际上是施图姆-刘维尔本征值定理的一个推广。
42
在含时问题中，与时间自变量分离相关的那个分离变量常数对应的本征
值对应时间演化的本征频率，相应的那个分离变量形式的整个解叫做正则模
式(Normal Mode)。相应地，在施图姆-刘维尔本征值定理条件不能满足时，可
能得到复的时间演化本征频率，这时相应的那个分离变量形式的整个解叫做准
正则模式(Quasi-Normal Mode)。在广义相对论的黑洞微扰问题中会出现典型
的准正则模式问题。
关于施图姆-刘维尔定理所述本征函数的完备性和分离变量法求解偏微分方
程的关系有一点是值得注意的。施图姆-刘维尔定理所述本征函数的完备性告诉
我们，只要满足边界条件的函数都可以用本征函数展开。比如波动方程(64)初
值可以谱展开，方程也按谱展开，然后自然导出关于时间的常微分方程控制展
开系数，进而求解。非波动方程的分离变量法的原理类似。
43
球函数
4
前一章在讲到球坐标系处理拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程的时候有得到形如
(
)
1 ∂
∂Y
1 ∂2Y
sin θ
+
+ λ1 Y = 0.
(441)
sin θ ∂θ
∂θ
sin2 θ ∂ϕ2
的偏微分方程。这个方程被人们称为球函数方程。该方程的解称为球函数，也
就是定义在球面上的函数，它是角度θ和ϕ的函数。
4.1
轴对称球函数
轴对称函数也就是说函数不依赖于角度ϕ。从而方程(441)退化为
(
)
d
dY
sin θ
+ λ1 Y = 0.
dθ
dθ
(442)
该方程不是别的正是我们上一章讲过的m = 0的方程(330)，也就是勒让德方
程。本征值为
λ1 = l(l + 1).
(443)
本征函数为l阶勒让德多项式
∑
[l/2]
Y (θ, ϕ) = Pl (cos θ) =
k=0
(2l − 2k)!
(−1)k l
xl−2k .
2 k!(l − k)!(l − 2k)!
(444)
其中记号[l/2]表示不超过l/2的整数，或者说向下取整的意思。
4.1.1
勒让德多项式的性质
在x = 0处，奇数阶勒让德多项式等于0，即
P2k+1 (0) = 0.
(445)
但偶数阶勒让德多项式不等于0
(2k − 1)!!
.
(2k)!!
(446)
1 dl 2
(x − 1)l .
2l l! dxl
(447)
P2k (0) = (−1)k
勒让德多项式可以用导数的形式表为
Pl (x) =
这个公式被称为罗德里格斯(Rodriguez)公式。
根据复变函数中的留数定理，我们还可以把上述罗德里格斯公式改写为积分
形式表达
I
(z 2 − 1)l
1 1
dz
(448)
Pl (x) =
2πi 2l C (z − x)l+1
44
C为z平面上围绕x的任一闭合回路。这个公式叫做施列夫利(Schläfli)积分。
√
把上述的闭合回路取为半径为 |x2 − 1|的圆，我们可以得到拉普拉斯积分
表达式
∫
√
1 π
Pl (x) =
(449)
[x + i 1 − x2 cos ϕ]l dϕ
π 0
根据上述拉普拉斯积分表达式我们很容易看出勒让德多项式的性质
∫
1 π
Pl (1) =
dϕ = 1,
π 0
∫
1 π
Pl (−1) =
[−1]l dϕ = (−1)l ,
π 0
∫
√
1 π
|Pl (x)| ≤
|x + i 1 − x2 cos ϕ|l dϕ
π 0
∫
1 π 2
[x + (1 − x2 ) cos2 ϕ]l/2 dϕ
=
π 0
∫
1 π 2
≤
[x + (1 − x2 )]l/2 dϕ
π 0
∫
1 π
=
dϕ
π 0
= 1.
4.1.2
(450)
(451)
(452)
(453)
(454)
(455)
(456)
第二类勒让德函数
由于勒让德方程的线性性，我们知道勒让德多项式乘以任意常数
y(x) = C1 Pl (x)
(457)
还是勒让德方程的解。但作为二阶常微分方程，我们知道其通解应该包含两个
积分常数。也就是说应该还有另外一个线性独立于勒让德多项式的函数满足勒
让德方程。这一函数对应我们接下来要讲的第二类勒让德函数。
回忆我们之前是采用常点级数法得到的勒让德多项式，由于x = ±1是勒
让德方程的奇点，为了得到另一线性独立解，我们需要采用奇点级数法求
解。但实际上，在已知一个线性独立解y1 (x)的情况下，我们可以采用朗斯
基(Wronskian)行列式理论来寻找另外一个线性独立解y2 (x)
∫
∆(z)
y2 (x) = y1 (x)
dz,
(458)
y12 (z)
∆(x) = ∆0 e−
∫
p(z)dz
,
(459)
其中∆(x)被称为二阶常微分方程(358)
y ′′ + p(z)y ′ + q(z)y = 0
的朗斯基行列式，∆0 为任意常数。
45
(460)
2z
对应到勒让德方程，我们有p(z) = − 1−z
2 。所以朗斯基行列式为
∫
∆(x) = ∆0 e
2z
dz
1−z 2
= ∆0 e− ln(1−z ) =
2
∆0
1 − z2
所以第二类勒让德函数可表为
∫
dx
Ql (x) = Pl (x)
(1 − x2 )Pl2 (x)
(461)
(462)
l−1
[ 2 ]
k
∑
1
1+x
1 ∑
(−1)n+1
(2l − 2n)!
xl−1−2k
= Pl (x) ln
+ l
.
2
1−x 2
2k
−
2n
+
1
n!(l
− n)!(l − 2n)!
n=0
k=0
(463)
在x = ±1处，Ql (x)都是发散的。
虽然勒让德方程的通解可以写为
y(x) = C1 Pl (x) + C2 Ql (x),
(464)
但x = ±1的自然边界条件确定了常数C2 = 0。
4.1.3
广义傅里叶级数
作为施图姆-刘维尔问题的特例，勒让德多项式是一种广义的傅里叶级数基函
数。不同阶勒让德多项式具有正交性。但由于
∫
2
Nl2 = Pl (x)2 dx =
(465)
2l + 1
不等于1，所以勒让德多项式不归一。上述积分可以利用导数形式的勒让德多项
式表达式罗德里格斯公式结合分布积分求出。
注意到上述不归一性后我们可以写出广义傅里叶级数展开式
f (x) =
∞
∑
fl Pl (x),
l=0
fl =
2l + 1
2
(466)
∫ 1
−1
f (x)Pl (x)dx
(467)
或者
f (θ) =
∞
∑
l=0
fl =
2l + 1
2
fl Pl (cos θ),
(468)
∫ π
f (θ)Pl (cos θ) sin θdθ
0
46
(469)
4.1.4
拉普拉斯方程的轴对称定解问题
例一：在半径为r = r0 的球内部求解拉普拉斯方程并满足边界条件
u(r = r0 ) = cos2 θ.
(470)
根据对称性原理，结果中的对称性一定不少于原因中的对称性。拉普拉斯方
程和边界条件是我们这个问题的原因，解函数是这个问题的结果。由于拉普拉
斯方程和边界条件都具有轴对称性，所以其解也一定具有轴对称性。由此我们
可以把原来的三自变量问题变为二自变量问题，进而进行分离变量求解。在考
虑边界条件前我们得到通解
)
∞ (
∑
Bl
u(r, θ) =
Al rl + l+1 Pl (cos θ)
(471)
r
l=0
在r = 0处函数值有限作为自然边界条件定出常数
Bl = 0.
(472)
在r = r0 处的边界条件再得出
u(r = r0 , θ) =
∞
∑
Al r0l Pl (cos θ) = cos2 θ,
(473)
l=0
1
,
3
2
A2 = 2 ,
3r0
A0 =
(474)
(475)
Al = 0, l ̸= 0, 2.
(476)
例二：半径为r0 的半球，球面温度保持为u0 cos θ，地面绝热，求半球内的
稳定温度分布。对应的定解问题为
π
∇2 u = 0, 0 < r < r0 , 0 < θ < ,
(477)
2
u(r = r0 , θ) = u0 cos θ,
(478)
π
∂u
(r, θ = ) = 0.
(479)
∂θ
2
我们根据边界条件(479)使用偶延拓把上述问题拓展为整个球体得到
∇2 u = 0, 0 < r < r0 , 0 < θ < π,
{
u0 cos θ, 0 < θ < π2
u(r = r0 , θ) =
.
−u0 cos θ, π2 < θ < π
(480)
(481)
和上一个例题类似，同样地基于对称性原理和r = 0处的自然边界条件，在
考虑边界条件(481)前我们有通解
u(r, θ) =
∞
∑
Al rl Pl (cos θ)
l=0
47
(482)
代入边界条件(481)
u(r = r0 , θ) =
∞
∑
{
Al r0l Pl (cos θ) =
l=0
A0 =
u0 cos θ, 0 < θ < π2
,
−u0 cos θ, π2 < θ < π
1
u0 ,
2
(483)
(484)
A2n = (−1)n+1
(4n + 1)(2n − 1)!! u0
,
(2n − 1)(2n + 2)!! r02n
(485)
A2n+1 = 0.
(486)
⃗ 0 中放入半径为r0 、相对介电常数(有的文献也叫相
例三：在本来匀强电场E
对介电系数)为ϵ(注意介电常数和相对介电常数的区别)的均匀介质球，球全空
间的电场分布。
电势在介质球表面连续，但由于感应电荷的原因电场在其表面不连续。所
以我们需要分别在球内外考虑拉普拉斯方程，利用连续性条件把两部分解连起
来。
⃗ 0 的方向是轴对称的。所以我们以介质球心
显然，问题关于原来匀强电场E
⃗
为原点E0 的方向为z轴方向建立坐标系。
球外的通解可写为
)
∞ (
∑
Bl
uout (r, θ) =
Al rl + l+1 Pl (cos θ)
(487)
r
l=0
结合无穷远处边界条件
uout (r → ∞, θ) = −E0 r cos θ
(488)
这种渐近边界条件只能确定领头阶的信息和高阶等于零的结果。于是我们得出
uout (r, θ) = A0 − E0 rP1 (cos θ) +
∞
∑
Bl
l=0
rl+1
Pl (cos θ)
(489)
目前还无法确定低于领头阶的系数A0 和Bl 。
球内的通解可写为
uin (r, θ) =
∞
∑
Cl rl Pl (cos θ)
(490)
l=0
根据球内外解在r = r0 处连续我们得到
uin (r = r0 , θ) = uout (r = r0 , θ)
∞
∑
Bl
Cl r0l Pl (cos θ)
A0 − E0 r0 P1 (cos θ) +
P
(cos
θ)
=
l
l+1
r
l=0 0
l=0
∞
∑
(491)
(492)
再根据球内外解在r = r0 处电场法向分量连续我们得到
ϵ
∂uout
∂uin
(r = r0 , θ) =
(r = r0 , θ)
∂r
∂r
48
(493)
− E0 P1 (cos θ) −
∞
∞
∑
∑
Bl
(l + 1) l+2 Pl (cos θ) = ϵ
lCl r0l−1 Pl (cos θ)
r
0
l=0
l=0
(494)
由此解出
3
E0 r cos θ,
ϵ+2
ϵ − 1 3 cos θ
uout (r, θ) = A0 − E0 r cos θ +
r E0 2 .
ϵ+2 0
r
uin (r, θ) = A0 −
(495)
(496)
不定常数A0 对应无穷远处电势的取值规范自由性。
4.1.5
勒让德多项式的母函数
我们考虑如下一个物理问题：在z轴上(0, 0, 1)位置处放置电量为Q = 4πϵ0 的正
电荷，其中ϵ0 是真空介电常数。根据电磁学的知识我们知道此时全空间的电势
可以用球坐标表达为
Q
4πϵ0
=
4πϵ0 d
4πϵ0 d
1
1
= =√
d
1 − 2r cos θ + r2
u(r, θ, ϕ) =
(497)
(498)
其中d为空间点(x, y, z) = (r sin θ cos ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos θ)与点电荷所处位置(0, 0, 1)的
距离。由于电势在无源的地方满足拉普拉斯方程，同时上述问题可以表达为偏
微分方程的定解问题
∇2 u = 0, r > 1 or r < 1
(499)
我们把r = 1的球面当作是上述定解问题的边界。虽然边界条件我们不知道怎么
具体给，但我们确定它一定是轴对称的。所以我们可以使用前面讲过的技术，
在r > 1的区域把解写为
u(r, θ, ϕ) =
∞
∑
Bl
l=0
Pl (cos θ).
(500)
Al rl Pl (cos θ).
(501)
rl+1
在r < 1的区域把解写为
u(r, θ, ϕ) =
∞
∑
l=0
我们现在关心上面展开系数Al 和Bl 是什么。结合上面的叙述，我们知道定
解问题的解实际上就是(498)，所以
{∑∞
1
Al rl Pl (cos θ), r < 1
√
= ∑l=0
(502)
∞
Bl
1 − 2r cos θ + r2
l=0 r l+1 Pl (cos θ), r > 1
49
特别地，在θ = 0上式也成立，所以有
{∑∞
∑∞
1
Al rl Pl (1) = l=0 Al rl , r < 1
l=0
∑
∑
√
=
∞
∞
Bl
Bl
1 − 2r + r2
l=0 r l+1 Pl (1) =
l=0 r l+1 , r > 1
(503)
我们注意到
1
1
√
=
|1 − r|
1 − 2r + r2
{ 1
1−r , r < 1
1
r−1 , r > 1
(504)
1
把 1−r
在r = 0处做泰勒展开
∞
∑
1
=
rl
1−r
(505)
l=0
1
把 r−1
在r = ∞处做泰勒展开相当于在x = 1r = 0处展开
∞
∞
∞
l=0
l=0
l=0
∑
∑ 1
1
1
x
1∑ 1
= 1
=
=x
xl =
=
.
r−1
1−x
r
rl
rl+1
x −1
(506)
对比(503)和(505)、(506)我们得到Al = Bl = 1。于是我们从(502)得到结论
{ ∑∞ l
1
r P (cos θ), r < 1
√
= ∑∞l=0 1 l
(507)
1 − 2r cos θ + r2
l=0 r l+1 Pl (cos θ), r > 1
也就是说Pl (cos θ)实际上就是函数 √1−2r 1cos θ+r2 在r = 0或者r = ∞处泰勒展开
的系数。所以，人们把 √1−2r 1cos θ+r2 称为勒让德多项式的母函数。
电 象 法 的 又 一 理 解 把 点电荷Q = 4πϵ0 q放在半径为a的接地导体球外与球心相
距r1 > a的位置处，求球外的电势分布。
选球心为坐标原点，球心与点电荷连线方向为z轴建立坐标系。显然该问题
具有轴对称性。利用之前学过的δ函数，该问题的定解问题可以写为
Q
δ(⃗r − ⃗r0 ),
ϵ0
u(r = a, θ, ϕ) = 0.
∇2 u = −
(508)
(509)
其中⃗r0 = (0, 0, r1 )为点电荷所处位置。
这是一个非齐次椭圆方程问题，我们使用之前讲过的特解法求解。先不管边
q
界条件，我们知道点电荷Q = 4πϵ0 q产生的电场v = √ 2
是(508)的
2
r1 −2rr1 cos θ+r
一个特解。然后分解u为
u = v + w,
(510)
∇ w = 0,
2
(511)
q
w(r = a, θ, ϕ) = − √ 2
.
r1 − 2ar1 cos θ + a2
50
(512)
考虑方程(511)和无穷远边界条件，我们得到w的通解
w(r, θ, ϕ) =
∞
∑
Bl
l=0
rl+1
Pl (cos θ)
(513)
代入边界条件(512)我们得到
∞
∑
Bl
l=0
al+1
q
Pl (cos θ) = − √ 2
r1 − 2ar1 cos θ + a2
(514)
利用勒让德多项式的母函数性质
q
1
q
−√ 2
,
=− √
r1 1 − 2x cos θ + x2
r1 − 2ar1 cos θ + a2
a
x=
< 1,
r1
∞
∑
1
√
=
xl Pl (cos θ),
1 − 2x cos θ + x2
l=0
∞
∑
Bl
l=0
a
(516)
(517)
∞
P (cos θ) = −
l+1 l
Bl = −q
(515)
q ∑ al
Pl (cos θ)
r1
r1l
(518)
l=0
a2l+1
.
r1l+1
(519)
所以
w = −q
∞
∑
a2l+1 1
Pl (cos θ)
r1l+1 rl+1
(520)
l=0
∞
∑
1
q
Pl (cos θ),
a
xl+1
l=0
rr1
x = 2 > 1, if r > a,
a
( )
q
1
q a2
√( )
w=− √
=−
2
a 1 − 2x cos θ + x2
a r1
a2
=−
r1
(521)
(522)
−2
1
( )
a2
r1
(523)
r cos θ + r2
2
这正是电量为−4πϵ0 q ra1 位置在(0, 0, ar1 )处的点电荷产生的电场。这也就是我们
在电象法中说的象电荷。
4.1.6
勒让德多项式的递推公式
我们可以把勒让德多项式的母函数展开式等价写为
∞
∑
1
√
=
rl Pl (x)
1 − 2rx + r2
l=0
51
(524)
把上式对r求导可得
∞
∑
x−r
lrl−1 Pl (x)
=
(1 − 2rx + r2 )3/2
l=0
(525)
两边同乘1 − 2rx + r2 得到
√
∞
∑
x−r
= (1 − 2rx + r2 )
lrl−1 Pl (x)
1 − 2rx + r2
l=0
(x − r)
∞
∑
rl Pl (x) = (1 − 2rx + r2 )
l=0
∞
∑
lrl−1 Pl (x)
(526)
(527)
l=0
xPk (x) − Pk−1 (x) = (k + 1)Pk+1 − 2xkPk (x) + (k − 1)Pk−1 (x)
(k + 1)Pk+1 (x) = (2k + 1)xPk (x) − kPk−1 (x), k ≥ 1
(528)
(529)
基于上式我们就可以从Pk−1 和Pk 递推出Pk+1 .
使用类似的技巧我们还可以得到递推关系
′
′
(x), k ≥ 1,
(x) − 2xPk′ (x) + Pk−1
Pk (x) = Pk+1
′
′
(2k + 1)Pk (x) = Pk+1
(x) − Pk−1
(x), k ≥ 1,
′
′
Pk+1 (x) = (k + 1)Pk (x) + xPk (x), k ≥ 0,
′
kPk (x) = xPk′ (x) − Pk−1
(x), k ≥ 1,
2
′
(x − 1)Pk (x) = kxPk (x) − kPk−1 (x), k ≥ 1
(530)
(531)
(532)
(533)
(534)
在使用勒让德多项式做广义傅里叶级数分解的时候我们需要算一些定积分，
上述递推关系往往被利用来算定积分，我们就不举例说明了。
作业：
1、用一层不导电的物质把半径为r0 的导体球壳分隔成两个半球壳，使半球
各充电到电势为v1 和v2 。计算空间中的电势分布。对应的定解问题为在球形区
域内部和外部分别求解
∇2 u = 0,
u(r = r0 , θ) =
(535)
{
v1 , 0 < θ < π2
.
v2 , π2 < θ < π
(536)
2、一空心球壳区域，内半径为r1 ，外半径为r2 ，内球面电势为u0 ，外球面
电势为u1 cos2 θ，求球壳区域内的电势分布。对应的定解问题为
∇2 u = 0, r1 < r < r2
(537)
u(r = r1 , θ) = u0 ,
(538)
2
u(r = r2 , θ) = u1 cos θ.
(539)
3、半径为r0 ，相对介电常数为ϵ的介质球放置在点电荷4πϵ0 q的电场中，球
心离点电荷的距离为d > r0 ，求全空间的电势分布。对应的定解问题为
∇2 u =
Q
δ(⃗r − ⃗r′ ) = 4πqδ(⃗r − ⃗r′ ),
ϵ0
52
(540)
4.2
⃗r′ = (0, 0, d),
(541)
uin (r = r0 , θ) = uout (r = r0 , θ),
∂uin
∂uout
ϵϵ0
(r = r0 , θ) = ϵ0
(r = r0 , θ).
∂r
∂r
(542)
(543)
连带勒让德函数
在非轴对称的一般情况下，球函数方程(441)分离变量后得到关于θ方向的常微
分方程(332)
(1 − x2 )
d2 Θ
dΘ
m2
− 2x
+ (λ1 −
)Θ = 0.
2
dx
dx
1 − x2
(544)
虽然可以直接用常点邻域级数解法求解上述常微分方程，但得到的级数系数递
推关系比较复杂，我们引入下述变量代换可以简化问题
m
Θ = (1 − x2 ) 2 y,
(545)
′′
′
(1 − x )y − 2(m + 1)xy + [λ1 − m(m + 1)]y = 0.
2
(546)
直接用常点邻域级数解法求解上述常微分方程(546)。但仔细分析我们会发现
把m = 0的方程(361)求导m次后得到的结果正是上述方程(546)。
首先根据莱布利兹规则我们有
(uv)[m] =
m
∑
k [m−k] [k]
k
Cm
u
v , Cm
≡
k=0
m!
k!(m − k)!
(547)
上式与二项式公式的形式非常类似。这里我们用了上指标[m]来表示求导m次。
m = 0时(546)为
(1 − x2 )y ′′ − 2xy ′ + λ1 y = 0
(548)
即方程(361)。把(548)求导m次，我们得到
m
∑
k
Cm
(1 − x2 )[m−k]
(
y
[k]
)′′
−2
k=0
m
∑
( )′
k [m−k]
Cm
x
y [k] + λ1 y [m] = 0.
(549)
k=0
注意到
(1 − x2 )[k] = 0, k > 2,
[k]
x
= 0, k > 1.
(550)
(551)
所以(549)变为
)′′
(
)′′
(
)′′
(
2
1
0
(1 − x2 )[2] y [m−2]
(1 − x2 )[1] y [m−1] + Cm
Cm
(1 − x2 ) y [m] + Cm
53
(
)′
(
)′
0
1 [1]
− 2Cm
x y [m] − 2Cm
x
y [m−1] + λ1 y [m] = 0
(
)′′
(
)′′
m(m − 1) ( [m−2] )′′
(1 − x2 ) y [m] − 2xm y [m−1] − 2
y
2
(
)′
(
)′
− 2x y [m] − 2m y [m−1] + λ1 y [m] = 0
(
)′′
(
)′
m(m − 1) [m]
(1 − x2 ) y [m] − 2xm y [m] − 2
y
2
(
)′
− 2x y [m] − 2my [m] + λ1 y [m] = 0
(
)′′
(
)′
(1 − x2 ) y [m] − 2x(m + 1) y [m] + [λ1 − m(m + 1)]y [m] = 0
(552)
(553)
(554)
(555)
对比(555)和(546)我们发现，如果y是(548)的解，则y [m] 是(546)的解。由此我们
知道，只有当
λ1 = l(l + 1)
(556)
时，(546)才存在−1 ≤ x ≤ 1上光滑的函数解
m
[m]
Plm (x) = (1 − x2 ) 2 Pl
(x).
(557)
Plm (x)被人们称为连带勒让德函数。连带勒让德函数不一定是多项式，比如
√
P11 (x) = 1 − x2 ,
(558)
√
2
2
P2 (x) = 3x 1 − x .
(559)
4.2.1
连带勒让德函数的微分表示
把勒让德多项式的微分表达式，即罗德里格斯公式(447)代入(447)，我们得到
连带勒让德函数的微分表达式
m
Plm (x) =
(1 − x2 ) 2 dl+m 2
(x − 1)l
2l l!
dxl+m
(560)
这个公式也被称为罗德里格斯公式。
m
由于(1 − x2 ) 2 是偶函数，而偶函数乘偶函数是偶函数，偶函数乘奇函数是
dl+m
2
l
奇函数，所以Plm 的奇偶性由 dx
l+m (x − 1) 决定。又由于偶函数的导数是奇函
2
l
数，奇函数的导数是偶函数。而(x − 1) 是偶函数，所以Plm 的奇偶性与l + m的
奇偶性一样。等价地说，如果l和m同奇偶性则Plm 为偶函数，如果l和m不同奇
偶性则Plm 为奇函数。
4.2.2
连带勒让德函数的积分表示
类似于勒让德多项式的施列夫利积分公式，利用留数定理和(560)我们可以得到
连带勒让德函数的积分表示
I
m
(1 − x2 ) 2 1 (l + m)!
(z 2 − 1)l
m
Pl (x) =
dz.
(561)
l+m+1
2l
2πi
l!
C (z − x)
54
其中C为围绕x的任一闭合回路。这个公式也叫施列夫利积分公式。取回路C为
√
以x为心，半径为 |x2 − 1|的圆周我们得到
∫
]
√
im (l + m)! π −imψ [
m
Pl (x) =
e
x + x2 − 1 cos ψ dψ
(562)
2π
l!
−π
这个公式也叫拉普拉斯积分公式。
到目前为止我们都默认了m ≥ 0。我们现在形式让把(562)中的m拓展到m <
0。但我们发现
∫
]
√
i−m (l − m)! π imψ [
−m
Pl (x) =
e
x + x2 − 1 cos ψ dψ
(563)
2π
l!
−π
ψ ′ = −ψ,
∫ −π
−m
(564)
[
]
√
′
−e−imψ x + x2 − 1 cos ψ ′ dψ ′
i
(l − m)!
2π
l!
π
∫
]
√
i−m (l − m)! π −imψ′ [
=
e
x + x2 − 1 cos ψ ′ dψ ′
2π
l!
−π
Pl−m (x) =
i−m (l − m)! m
P (x)
im (l + m)! l
(l − m)! m
= (−1)m
P (x).
(l + m)! l
(565)
(566)
(567)
=
(568)
也就是说Pl−m (x)与Plm (x)只差到一个倍数。同时我们还注意到，在m <
0时 从 罗 德 里 格 斯 公 式(560)到 施 列 夫 利 积 分 公 式(561)再 到 拉 普 拉 斯 积 分 公
式(562)都成立。基于罗德里格斯公式我们发现，因为(560)公式中导数前面
还含着一个x的函数，所以说Pl (x)不定积分m次和Pl (x)求导m次并不是简单倍
数关系。实际上Pl (x) 求导m次是l − m次多项式，Pl (x)不定积分m次是l + m次
多项式，也不可能是简单倍数关系。
在方程(544)出现的是m2 ，所以±m实际上并不影响方程本身，但为了形式
上方便，人们喜欢把方程(544)的特解约定为带着正负号差异的连带勒让德函数
与方程(544)中的m形式一致。
4.2.3
广义傅里叶级数
同勒让德多项式类似，连带勒让德函数可以作为广义傅里叶级数的基函数。同
样地，连带勒让德函数正交但不归一。
∫ 1
(l + m)! 2
2
2
(Nlm ) =
[Plm (x)] dx =
.
(569)
(l − m)! 2l + 1
−1
于是有
f (x) =
∞
∑
fl Plm (x),
l=m
fl =
2l + 1 (l − m)!
2 (l + m)!
55
(570)
∫ 1
−1
f (x)Plm (x)dx
(571)
或者
f (θ) =
∞
∑
fl Plm (cos θ),
l=m
2l + 1 (l − m)!
fl =
2 (l + m)!
(572)
∫ π
f (θ)Plm (cos θ) sin θdθ
(573)
0
注意展开项从m开始而不是从0开始。这是因为Plm (x) = 0如果m > l。
4.2.4
连带勒让德函数的递推关系
基于勒让德多项式的递推关系和连带勒让德函数与勒让德多项式导数的关系，
我们可以导出连带勒让德函数的递推关系。比如基于
(k + 1)Pk+1 (x) = (2k + 1)xPk (x) − kPk−1 (x), k ≥ 1
(574)
′
′
(2k + 1)Pk (x) = Pk+1
(x) − Pk−1
(x), k ≥ 1
(575)
把上两式分别求导m次和m − 1次得到
[m]
[m]
[m−1]
(k + 1)Pk+1 (x) = (2k + 1)xPk (x) + m(2k + 1)Pk
[m−1]
(2k + 1)Pk
[m]
[m]
(x) − kPk−1 (x), k ≥ 1
(576)
[m]
(x) = Pk+1 (x) − Pk−1 (x), k ≥ 1
[m−1]
上两式线性组合削去Pk
(577)
(x)得到
[m]
[m]
[m]
(k − m + 1)Pk+1 (x) − (2k + 1)xPk (x) + (k + m)Pk−1 (x) = 0.
(578)
m
上式两边同时乘以(1 − x2 ) 2 我们就得到递推关系
m
m
(x) = 0.
(x) − (2k + 1)xPkm (x) + (k + m)Pk−1
(k − m + 1)Pk+1
(579)
类似地，我们还可以得到
√
m+1
m+1
(2k + 1) 1 − x2 Pkm (x) = Pk+1
(x) − Pk−1
(x), k ≥ 1
√
m−1
(x)
(2k + 1) 1 − x2 Pkm (x) = (k + m)(k + m − 1)Pk−1
(580)
m−1
− (k − m + 2)(k − m + 1)Pk+1
(x), k ≥ 1
(581)
m
2 dPk (x)
(2k + 1)(1 − x )
m
(x)
= (k + 1)(k + m)Pk−1
dx
m
− k(k − m + 1)Pk+1 (x), k ≥ 1
4.2.5
(582)
一般球函数
把上面讲到连带勒让德函数和ϕ方向的解结合在一起我们得到一般球函数方程
的分离变量解，也叫做一般球函数
{
sin(mϕ)
m
m
Yl (θ, ϕ) = Pl (cos θ)
, l = 0, 1, 2, ...., m = 0, 1, ..., l
(583)
cos(mϕ)
56
给定l线性独立的一般球函数有2l + 1个。
如果考虑球面上的复变函数，我们有复数形式的一般球函数
|m|
Ylm (θ, ϕ) = Pl
(cos θ)eimϕ , l = 0, 1, 2, ...., m = −l, ..., 0, ..., l
(584)
现在m可以为负，给定l线性独立的一般复数形式球函数也有2l + 1个。
作为广义傅里叶级数展开，实数形式的一般球函数有正交非归一关系
∫
Plm (cos θ) sin(mϕ)Pkn (cos θ) sin(nϕ) sin θdθdϕ
2π (l + m)!
=
δmn δkl , m ̸= 0, n ̸= 0,
2l + 1 (l − m)!
∫
Plm (cos θ) cos(mϕ)Pkn (cos θ) cos(nϕ) sin θdθdϕ
{
2πδm (l + m)!
2, m = 0
=
δmn δkl , δm =
.
1, m ̸= 0
2l + 1 (l − m)!
复数形式的一般球函数有正交非归一关系
∫
Ylm (θ, ϕ)Ykn (θ, ϕ) sin θdθdϕ =
4π (l + |m|)!
δmn δkl .
2l + 1 (l − |m|)!
(585)
(586)
(587)
从表现形式上我们会发现复数形式的一般球函数会更整洁和简单。
f (θ, ϕ) =
∞ ∑
l
∑
flm Ylm (θ, ϕ),
l=0 m=−l
2l + 1 (l − |m|)!
flm =
4π (l + |m|)!
(588)
∫ π ∫ 2π
0
0
f (θ, ϕ)Ylm (θ, ϕ) sin θdθdϕ
(589)
例一：考虑定解问题
∇2 u = 0, r < r0
(590)
2
u(r = r0 , θ, ϕ) = u0 sin θ cos ϕ sin ϕ
(591)
根据之前分离变量法求解偏微分方程的经验以及一般球函数的性质，我们知道
上述问题的通解形式为
(
)
∞ ∑
l
∑
Blm
m l
u(r, θ, ϕ) =
Al r + l+1 Ylm (θ, ϕ)
r
(592)
l=0 m=−l
带入r = 0处的自然边界条件可知Blm = 0，再带入边界条件(591)得到
∞ ∑
l
∑
2
l m
Am
l r0 Yl (θ, ϕ) = u0 sin θ cos ϕ sin ϕ
l=0 m=−l
=−
57
]
iu0 [ 2
Y2 (θ, ϕ) − Y2−2 (θ, ϕ)
12
(593)
A22 = −A−2
2 =−
iu0
,
12r02
Am
l = 0, other m, l
(594)
(595)
注意到Ylm (θ, ϕ) = Yl−m (θ, ϕ)，我们可以看出最后解
u(r, θ, ϕ) = −
iu0 2 2
iu0 2 −2
r Y2 (θ, ϕ) +
r Y2 (θ, ϕ)
2
12r0
12r02
(596)
−m
实际上跟复数形式的傅里叶级数类似，只要系数满足Am
，线性组合出
l = Al
来的一定是实数。
例二：考虑定解问题
∇2 u = 0, r > r0
(
)
1
ur (r = r0 , θ, ϕ) = u0 sin2 θ sin2 ϕ −
3
(597)
(598)
根据之前分离变量法求解偏微分方程的经验以及一般球函数的性质和无穷远自
然边界条件，我们知道上述问题的通解形式为
u(r, θ, ϕ) =
∞ ∑
l
∑
Blm m
Y (θ, ϕ)
rl+1 l
(599)
l=0 m=−l
带入边界条件(598)得到
(
)
(l + 1)Blm m
1
2
2
−
Yl (θ, ϕ) = u0 sin θ sin ϕ −
3
r0l+2
l=0 m=−l
]
u0
u0 [ 2
Y2 + Y2−2 − Y20
=−
12
3
4
u
r
u0 r04
0
0
B22 = B2−2 =
, B20 =
36
9
Blm = 0, other m, l
∞ ∑
l
∑
4.2.6
(600)
(601)
(602)
转动坐标变换和球函数加法公式
球函数是球面上自变量θ和ϕ的函数。如果把坐标系做一个转动变换，我们会得
′
到一组新的坐标系θ′ 和ϕ′ ，新坐标系下的球函数Ylm
(θ′ , ϕ′ )就会被诱导变成关于
′
′
m
′
′
老坐标系的新函数f (θ, ϕ) ≡ Yl′ (θ (θ, ϕ), ϕ (θ, ϕ))。
从老的坐标系θ和ϕ立场上讲，f (θ, ϕ)也是球面上的函数，根据球函数的完
备性我们知道它可以用球函数展开
′
Ylm
(θ′ (θ, ϕ), ϕ′ (θ, ϕ)) =
′
∞ ∑
l
∑
l=0 m=−l
′
我们现在关心展开系数fllmm
等于什么。
′
58
′
fllmm
Ylm (θ, ϕ).
′
(603)
我们可以用下述方式来刻画转动坐标变换，记新坐标系的z轴方向在老球坐
标系的角方向为(θ0 , ϕ0 )。
两组球坐标我们可以分别记为(r, θ, ϕ)和(r, θ′ , ϕ′ )，径向坐标r一样是因为两
组坐标只差一个转动。考虑一个球体内部拉普拉斯方程的通解
′
l
∞
∑
∑
′
′
m′ l ′
Al′ r
′
Ylm
(θ′ , ϕ′ ) =
′
l′ =0 m′ =−l′
∞ ∑
l
∞
l
∑
∑
∑
′
′
′
′
fllmm
Al′m rl Ylm (θ, ϕ)
′
l′ =0 m′ =−l′ l=0 m=−l
=
∞ ∑
l
∑
l m
Am
l r Yl (θ, ϕ)
(604)
l=0 m=−l
固定r上式是关于球函数展开的形式，所以
′
∞
l
∑
∑
′
′
′
′
l
fllmm
Al′m rl = Am
′
l r
(605)
l′ =0 m′ =−l′
上式两边都是关于r的级数，对应系数相等
′
l
∑
′
′
′
Al′m = 0, l ̸= l′
fllmm
′
(606)
m′ =−l′
l
∑
′
′
′
fllmm Alm = Am
l ,
(607)
m′ =−l
′
′
由于Al′m 的任意性，(606)告诉我们
′
′
= dmm
δll′
fllmm
′
l
(608)
′
这里我们引入了文献中常用的维格纳(Wigner)转动函数记号dmm
，显然它依赖
l
且仅依赖于θ0 和ϕ0 。
′
′
m′
mm′
既然dmm
与Am
。
l
l 和Al′ 无关，我们可以考虑特殊而简单的函数来计算dl
比如
ρ(θ, ϕ) = δ(cos θ − cos θ0 )δ(ϕ − ϕ0 )
=
∞
∑
l
∑
m
Am
l Yl (θ, ϕ)
(609)
(610)
l=0 m=−l
Am
l =
(l − m)! m
Y (θ0 , ϕ0 )
(l + m)! l
(611)
由于δ函数(609)位于新坐标的z轴上，所以形式上与ϕ′ 无关，即
ρ(θ′ , ϕ′ ) = Cδ(cos θ′ − 1)
(612)
1
。于是
由δ函数的积分性质可确定C = 2π
′
ρ(θ′ , ϕ′ ) =
∞
l
∑
∑
l′ =0 m′ =−l′
59
′
′
′
Al′m Ylm
(θ′ , ϕ′ )
′
(613)
′
′
Al′m = δm′ 0
(614)
把(611)和(614)带入(607)得到
(l − m)! m
Y (θ0 , ϕ0 ).
(l + m)! l
dm0
=
l
(615)
把(603)中m′ = 0得到
Pl′ (cos θ′ ) =
∞ ∑
l
∑
m
fllm0
′ Yl (θ, ϕ)
(616)
l=0 m=−l
′
=
l
∑
m
dm0
l′ Yl′ (θ, ϕ)
(617)
m=−l′
′
=
l
∑
(l′ − m)! m
Y (θ0 , ϕ0 )Ylm
′ (θ, ϕ)
′ + m)! l′
(l
′
(618)
m=−l
上式被人们称为球函数的加法公式。新旧坐标的关系还可以等价地写为
cos θ′ = cos θ0 cos θ + sin θ0 sin θ cos(ϕ − ϕ0 ).
4.3
(619)
泊松方程和多极矩
我们考虑空间中电荷分布ρ(r′ , θ′ , ϕ′ )产生的电场，由电磁学里学过的叠加原理
知道该电场对应的电势为
∫
ρ(r′ , θ′ , ϕ′ ) ′ 2
u(r, θ, ϕ) =
r sin θ′ dr′ dθ′ dϕ′
(620)
|⃗r − ⃗r′ |
⃗r = (r sin θ cos ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos θ)
(621)
′
′
′
′ ′
′
′ ′
′
⃗r = (r sin θ cos ϕ , r sin θ sin ϕ , r cos θ )
(622)
√
′
′
(623)
|⃗r − ⃗r | = r2 − 2rr′ cos Θ + r 2
′
′
′
cos Θ = cos θ cos θ + sin θ sin θ cos(ϕ − ϕ ).
(624)
根据勒让德多项式母函数关系
1
1
=√
2
′
|⃗r − ⃗r′ |
r − 2rr cos Θ + r′ 2
′
∞
∑
rl
Pl (cos Θ), r > r′
=
rl+1
(625)
(626)
l=0
再利用球函数的加法公式
′
∞
l
∑
1
r l ∑ (l − m)! m ′ ′ m
Y (θ , ϕ )Yl (θ, ϕ)
=
|⃗r − ⃗r′ |
rl+1
(l + m)! l
l=0
m=−l
60
(627)
把上式代入(620)得到
u(r, θ, ϕ)
∫
′
∞
l
∑
′
r l ∑ (l − m)! m ′ ′ m
= ρ(r′ , θ′ , ϕ′ )
Yl (θ , ϕ )Yl (θ, ϕ)r 2 sin θ′ dr′ dθ′ dϕ′
l+1
r
(l + m)!
l=0
m=−l
(628)
∞
∑
l
∑
Ylm (θ, ϕ) m
Il ,
rl+1
l=0 m=−l
∫
′
(l − m)!
Ilm ≡
ρ(r′ , θ′ , ϕ′ )r l+2 Ylm (θ′ , ϕ′ ) sin θ′ dr′ dθ′ dϕ′
(l + m)!
∫
′
(l − m)!
=
ρr l Ylm d3⃗r′
(l + m)!
=
(629)
(630)
(631)
Ilm 被人们称为电荷分布的多极矩。具体地，l = 0叫单极子(矩)；l = 1叫偶极
子(矩)；l = 2叫四极子(矩)；依次类推叫做2l 极子(矩)。
上述物理问题同泊松方程定解问题对应。Ilm 是泊松方程源的多极矩展开，
而泊松方程解在远场区可以写成通解
∞ ∑
l
∑
Blm m
u(r, θ, ϕ) =
Y (θ, ϕ)
rl+1 l
(632)
l=0 m=−l
其中的展开系数Blm 就是源的多极矩。
泊松方程和多极矩的上述关系在电磁学、天体引力场反演等问题中有非常广
泛的应用。
作业：
1、在半径为r0 的球内部和外部分别求解下述定解问题
∇2 u = 0,
(
)
1
u(r = r0 , θ, ϕ) = 4 sin2 θ cos ϕ sin ϕ +
.
2
(633)
(634)
2、在半径为r0 的球内部和外部分别求解下述定解问题
∇2 u = 0,
(635)
1
ur (r = r0 , θ, ϕ) = cos2 θ cos2 ϕ − cos2 ϕ + .
3
(636)
3、在球壳区域r1 < r < r2 求解下述定解问题
∇2 u = 0,
u(r = r1 , θ, ϕ) = u1 cos θ,
u(r = r2 , θ, ϕ) = u2 sin θ cos θ sin ϕ.
61
(637)
(638)
(639)
4.4
带自旋权重的球函数
在很多物理文献中我们还会遇到推广形式的球函数方程
( 2
)
(
)
1 ∂
∂
∂Y
1
∂
2
2
−
s
cos
θ
Y = −λY
sin θ
− sY +
+
2is
cos
θ
sin θ ∂θ
∂θ
∂ϕ
sin2 θ ∂ϕ2
(640)
这个方程被人们称为带自旋权重s的球函数方程。
如果把分离变量形式Y = Θ(θ)Φ(ϕ)代入上述方程，我们得到
(
)
( 2
)
dΦ
1 d
dΘ
1
d Φ
2
2
Θ
+
2is
cos
θ
Θ
−
s
sin θ
Φ − sΘΦ +
cos
θΘΦ
sin θ dθ
dθ
dϕ
sin2 θ dϕ2
+ λΘΦ = 0
(641)
(
)
2
2is cos θ dΦ
sin θ d
dΘ
d Φ1
+
− s2 cos2 θ + (λ − s) sin2 θ = 0
sin θ
+
Θ dθ
dθ
dϕ2 Φ
Φ
dϕ
(642)
我们发现上式一般说来不能分离变量。但如果把Φ = eimϕ 代入上式我们可以得
到
(
)
sin θ d
dΘ
sin θ
− m2 − 2ms cos θ − s2 cos2 θ + (λ − s) sin2 θ = 0 (643)
Θ dθ
dθ
(
) [
]
1 d
dΘ
(m + s cos θ)2
sin θ
− s+
Θ + λΘ = 0.
(644)
sin θ dθ
dθ
sin2 θ
我们可以称这个方程为带自旋权重s的勒让德方程。实际上我们可以一开始就假
定分离变量形式Y = Θ(θ)eimϕ ，然后代入(640)后得到上面的方程。
对于上述带自旋权重s的勒让德方程(644)，南北极点给出的自然边界条件定
出本征值
λ = (l − s)(l + s + 1)
(645)
本征函数为带自旋权重s的勒让德函数
2l θ
m
s Pl (cos θ) = sin
2
∑
k+s−m
k
Cl−s
Cl+s
(−1)l−s−k cot2k+s−m
k
θ
2
(646)
0 ≤ k ≤ l − s, 0 ≤ k + s − m ≤ l + s
(647)
max(0, m − s) ≤ k ≤ min(l, l + m)
(648)
总的说来带自旋权重s的球函数表为
m
m
imϕ
.
s Yl (θ, ϕ) = s Pl (cos θ)e
正交不归一关系
∫ π ∫ 2π
m
m′
s Yl s Yl′ sin θdθdϕ =
0
0
4π (l + m)! (l + s)!
δll′ δmm′
2l + 1 (l − m)! (l − s)!
62
(649)
(650)
带自旋权重s的所有函数构成一个函数空间，s Ylm 对这个空间来说是完备
的。自旋权重为0的函数空间对应球面上所有光滑函数组成的空间。自旋权重
为s ̸= 0的函数空间比自旋权重为0的函数空间要小。
s f (θ, ϕ) =
l
∞ ∑
∑
m
m
s fl s Yl (θ, ϕ),
l=0 m=−l
m
s fl =
2l + 1 (l − |m|)!
4π (l + |m|)!
(651)
∫ π ∫ 2π
0
0
f (θ, ϕ)s Ylm (θ, ϕ) sin θdθdϕ
63
(652)
5
柱函数
所谓的柱函数是指跟贝塞尔方程相关的函数。我们之前的讨论已接触过贝塞尔
方程、虚宗量贝塞尔方程和球贝塞尔方程。基于对贝塞尔方程的求解我们学过
了贝塞尔函数、诺伊曼函数和汉克尔函数。这三种函数被人们称为第一类、第
二类和第三类柱函数。
5.1
柱函数在自然边界处的极限行为
在柱坐标系中，x = 0和x = ∞构成两个自然边界。当x → 0时，我们有
J0 (x) → 1,
Jν (x) → 0, ν > 0
Jν (x) → ∞, ν < 0
(653)
(654)
(655)
Iν (x) → i−ν Jν (x),
Kν (x) → ∞,
(656)
(657)
N0 (x) → −∞
Nν (x) → ±∞, ν ̸= 0
(658)
(659)
(1,2)
H0
(x) → 1 ± i∞
Hν(1,2) (x) → ±i∞
当x → ∞时，我们有
(661)
√
2 i(x−νπ/2−π/4)
e
,
πx
√
2 −i(x−νπ/2−π/4)
Hν(2) (x) →
e
πx
√
2
Jν (x) →
cos(x − νπ/2 − π/4)
πx
√
2
sin(x − νπ/2 − π/4)
Nν (x) →
πx
Iν (x) → ∞,
Kν (x) → 0.
Hν(1) (x) →
5.2
(660)
(662)
(663)
(664)
(665)
(666)
(667)
柱函数递推关系
利用贝塞尔函数的级数表达式
∞
∑
Jν (x) =
(−1)k
k=0
( x )ν+2k
1
k!Γ(ν + k + 1) 2
(668)
我们可以推算出柱函数的递推关系。用Zν 表达任意阶任意类柱函数，我们有递
推关系
Zν′ (x) − νZν (x)/x = −Zν+1 (x),
64
(669)
Zν′ (x) + νZν (x)/x = Zν−1 (x),
(670)
2Zν′ (x) = Zν−1 (x) − Zν+1 (x),
(671)
(672)
Zν+1 (x) − 2νZν (x)/x + Zν−1 (x) = 0.
5.3
整数阶贝塞尔函数的母函数、积分表示和加法公式
通过对比级数展开结果我们可以验证
1
∞
∑
1
e 2 x(z− z ) =
Jm (x)z m , 0 < |z| < ∞
(673)
m=−∞
该式的样子跟勒让德多项式母函数公式很相似，被人们称为整数阶贝塞尔函数
的母函数公式。通过变量变换，我们还可以写出等价形式来
z = eiζ ,
(674)
∞
∑
eix sin ζ =
Jm (x)eimζ ,
(675)
m=−∞
ζ =ψ−
π
,
2
e−ix cos ψ =
(676)
∞
∑
(−1)m Jm (x)eimψ ,
(677)
m=−∞
ψ = θ + π,
eix cos θ =
(678)
∞
∑
im Jm (x)eimθ .
(679)
m=−∞
把(675)看作傅里叶级数展开，则
∫ π
∫ π
1
1
ix sin ζ −imζ
Jm (x) =
e
e
dζ =
eix sin ζ−imζ dζ
2π −π
2π −π
∫ π
1
=
eimζ−ix sin ζ dζ
2π −π
∫
(−i)m π ix cos ψ+imψ
=
e
dψ
2π
−π
∫
im π −ix cos θ+imθ
=
e
dθ.
2π −π
(680)
(681)
(682)
(683)
这些就是整数阶贝塞尔函数的积分表达式。上述积分公式可以推广到任意阶的
三类柱函数，但积分需要换成特定积分路径的复数积分。这样的积分公式被人
们称为索末菲积分公式。
根据整数阶贝塞尔函数的母函数公式(673)，我们得到
∞
∑
1
1
1
1
1
1
Jm (a + b)z m = e 2 (a+b)(z− z ) = e 2 a(z− z ) e 2 b(z− z )
m=−∞
65
(684)
=
∞
∑
Jm (a)z m
m=−∞
Jm (a + b) =
∞
∑
Jn (b)z n
(685)
Jk (a)Jm−k (b)
(686)
n=−∞
∞
∑
k=−∞
上式被人们称为整数阶贝塞尔函数的加法公式。
5.4
柱函数的零点和齐次边条件对应的本征值
在柱坐标系求解拉普拉斯问题中，分离径向变量出来的贝塞尔方程把涉及的分
√
离变量常数λ2 隐藏到变换后的自变量符号x ≡ λ2 ρ中了。如果是x = 0和x =
∞两个自然边界，只有特别的柱函数被挑出来，但不涉及λ2 的本征值问题。这
有点象谐振子方程作为施图姆-刘维尔问题的常微分方程配以无穷空间，这时实
际上对本征值没要求，傅里叶级数变成傅里叶积分，或者说傅里叶变换。
类似地，跟有限区间上的谐振子方程对应，我们很可能遇到的问题是柱坐标
的径向坐标只能取有限区间。这时候的齐次边界条件就会对本征值λ2 给出限制
要求。
对于第一类齐次边界条件R(ρ0 ) = 0，我们有
√
R(ρ0 ) = Zν ( λ2 ρ0 ) = 0.
(687)
√
也就是说x = λ2 ρ0 必须是柱函数Zν (x)的零点，由此确定本征值
( )2
xn
λ2n =
,
(688)
ρ0
其中xn 是柱函数Zν (x)的第n个零点。
对于第二类齐次边界条件R′ (ρ0 ) = 0，我们有
√
√
√
d
R′ (ρ0 ) =
Zν ( λ2 ρ0 ) = λ2 Zν′ ( λ2 ρ0 ) = 0
dρ
√
′
Zν ( λ2 ρ0 ) = 0
√
也就是说x = λ2 ρ0 必须是柱函数导数Zν′ (x)的零点，由此确定本征值
( )2
xn
λ2n =
,
ρ0
(689)
(690)
(691)
其中xn 是柱函数导数Zν′ (x)的第n个零点。
对于第三类齐次边界条件R(ρ0 ) + HR′ (ρ0 ) = 0，我们有
√
√
d
R(ρ0 ) + HR′ (ρ0 ) = Zν ( λ2 ρ0 ) + H Zν ( λ2 ρ0 ) = 0
dρ
√
√
√
′
Zν ( λ2 ρ0 ) + H λ2 Zν ( λ2 ρ0 ) = 0
√
√
H√
Zν ( λ2 ρ0 ) +
λ2 ρ0 Zν′ ( λ2 ρ0 ) = 0
ρ0
66
(692)
(693)
(694)
也就是说x =
√
λ2 ρ0 必须是代数方程
Zν (x) +
H
xZ ′ (x) = 0
ρ0 ν
(695)
的根，由此确定本征值
(
λ2n =
xn
ρ0
)2
,
(696)
其中xn 是代数方程(695)的第n个根。
5.5
柱 函数 与 施 图 姆-刘
刘维 尔 本 征 值 问 题
在上一章中，我们曾经讲到如果把ν阶贝塞尔方程和ν阶虚宗量贝塞尔方程
的ν 2 当作本征值，其不满足施图姆-刘维尔定理的条件。在拉普拉斯方程和亥姆
霍兹方程的实际问题中ν = m已被ϕ方向的常微分方程决定下来。我们真正关心
√
的分离变量常数λ2 作为本征值隐藏到变换后的自变量符号x ≡ λ2 ρ中。所以我
们把柱函数与施图姆-刘维尔本征值问题联系应该看自变量代换前的方程。
贝塞尔方程对应的是(342)和(353)，等价地
(
) (
)
1 d
dR
m2
ρ
+ λ−
R=0
(697)
ρ dρ
dρ
ρ
对应施图姆-刘维尔型常微分方程形式(409)我们有
k(x) = x,
(698)
2
(699)
(700)
q(x) = m ,
ρ(x) = x,
函数光滑且均为正，满足施图姆-刘维尔定理的条件。于是我们有广义傅里叶级
数基函数性质
∫ ρ0
√
√
Jm ( λ2k ρ)Jm ( λ2l ρ)ρdρ = (Nk )2 δkl ,
(701)
0
(
)
√
√
1
m2
1
′
(Nk )2 =
ρ20 −
[Jm ( λ2k ρ0 )]2 + ρ20 [Jm
( λ2k ρ0 )]2 .
(702)
2
λ2k
2
这是对应定解问题区域为0 < ρ < ρ0 的情形。如果区域为ρ1 < ρ < ρ2 则Jm 和Nm 都
会涉及，但它们分属不同本征值，相互正交。
虚宗量贝塞尔方程对应的也是(342)和(353)，如果ρ的取值范围是有限范
围，上面的分析知道(342) 和(353)对应本征值问题满足施图姆-刘维尔定理的条
件，从而λ2 > 0，所以不会出现虚宗量贝塞尔方程的物理情形。反过来说，虚
宗量贝塞尔方程的出现一定对应ρ的无限取值范围情形。
前面我们提到在无穷空间情形下，谐振子方程作为施图姆-刘维尔问题给出
傅里叶变换。类似地，我们利用m阶贝塞尔方程可以给出广义傅里叶变换。或
者叫做傅里叶-贝塞尔变换
∫ ∞
f (ρ) =
F (ω)Jm (ωρ)ωdω,
(703)
0
67
∫ ∞
F (ω) =
f (ρ)Jm (ωρ)ρdρ.
(704)
0
实际上贝塞尔函数的广义傅里叶变换来源于2维傅里叶变换
∫∫
⃗
f (⃗r) =
F (⃗k)eik·⃗r d2⃗k
∫ ∞ ∫ 2π
′
=
F (k, ϕ′ )eikr cos(ϕ−ϕ ) kdkdϕ′
0
(705)
(706)
0
利用(679)我们可以继续计算上式
∫ ∞ ∫ 2π
f (⃗r) =
0
∞
∑
F (k, ϕ′ )
0
′
im Jm (kr)eim(ϕ−ϕ ) kdkdϕ′
(707)
m=−∞
我们可以把F (k, ϕ′ )中的k看作参数，关于ϕ′ 做傅里叶展开
∞
∑
F (k, ϕ′ ) =
′
′
Fm′ (k)eim ϕ
(708)
m′ =−∞
于是上式变为
∫ ∞ ∫ 2π
f (⃗r) =
0
=
=
0
∞
∑
=
∞
∑
m=−∞
∞
∑
m=−∞
∞
∑
m
i
im
′
m′ =−∞
∫ 2π
∞
∑
m′ =−∞
∞
∑
∫ ∞
i 2π
′
im Jm (kr)eim(ϕ−ϕ ) kdkdϕ′ (709)
m=−∞
e
i(m′ −m)ϕ′
′
∫ ∞
dϕ
0
Fm′ (k)Jm (kr)eimϕ kdk (710)
0
∫ ∞
Fm′ (k)Jm (kr)eimϕ kdk
2πδmm′
(711)
0
m′ =−∞
m
∞
∑
′
Fm′ (k)eim ϕ
Fm (k)Jm (kr)kdkeimϕ
(712)
0
m=−∞
对于f (⃗r)我们用极坐标来看
f (r, ϕ) =
∞
∑
fm (r)eimϕ
(713)
m=−∞
F (⃗k) =
=
=
1
(2π)2
1
(2π)2
1
(2π)2
∫∫
⃗
f (⃗r)e−ik·⃗r d2⃗r
∫ ∞ ∫ 2π
0
′
f (r, ϕ)e−ikr cos(ϕ−ϕ ) rdrdϕ
(715)
0
∫ ∞ ∫ 2π
f (r, ϕ)
0
(714)
0
∞
∑
′
′
′
(−i)m Jm′ (kr)e−im (ϕ−ϕ ) rdrdϕ
m′ =−∞
(716)
68
1
=
(2π)2
F (k, ϕ′ ) =
∫ ∞ ∫ 2π ∑
∞
0
0
fm (r)eimϕ
1
(−i)m
2π m=−∞
∫ ∞
′
′
′
(−i)m Jm′ (kr)e−im (ϕ−ϕ ) rdrdϕ
m′ =−∞
m=−∞
∞
∑
∞
∑
(717)
fm (r)Jm (kr)rdreimϕ
′
(718)
0
(719)
对比(712)和(713)我们知道
fm (r) = 2πim
∫ ∞
Fm (k)Jm (kr)kdk
(720)
0
对比(708)和(718)我们知道
1
(−i)m
2π
Fm (r) =
∫ ∞
fm (r)Jm (kr)rdr
(721)
0
这两个公式和(703)与(704)是等价的。
类似地，我们还有贝塞尔函数的三维形式广义傅里叶变换。
∫∫∫
⃗
f (⃗r) =
F (⃗k)eik·⃗r d3⃗k
∫ ∞ ∫∫
=
F (k, θ′ , ϕ′ )eikr cos Θ k 2 sin θ′ dkdθ′ dϕ′
(722)
(723)
0
cos Θ = cos θ cos θ′ + sin θ sin θ′ cos(ϕ − ϕ′ )
∫ ∞ ∫∫
∞
∑
f (⃗r) =
F (k, θ′ , ϕ′ )
im Jm (kr)eimΘ k 2 dkdΩ′
0
eimΘ =
=
∞
∑
(724)
(725)
m=−∞
ηl (θ′ , ϕ′ )Ylm (θ, ϕ)
l=0
∞ ∑
∞
∑
(726)
m
′
′
ηll′ Ylm
′ (θ , ϕ )Yl (θ, ϕ)
(727)
l=0 l′ =0
∫ ∞ ∫∫
f (⃗r) =
F (k, θ′ , ϕ′ )
0
=
∫ ∞
∞ ∑
∞
∞
∑
∑
∫∫
f (⃗r) =
im Jm (kr)
∞ ∑
∞
∑
m
2
′
′
′
ηll′ Ylm
′ (θ , ϕ )Yl (θ, ϕ)k dkdΩ
l=0 l′ =0
m=−∞
l=0 l′ =0 m=−∞
Flm
′ (k) ≡
∞
∑
(728)
m
Flm
Jm (kr)ηll′ k 2 dkYlm (θ, ϕ)
′ (k)i
′
′
′
F (k, θ′ , ϕ′ )Ylm
′ (θ , ϕ )dΩ
∫ ∞
∞
∞
∑
∑
l=0 m=−∞
(729)
0
(730)
Flm (k)im Jm (kr)k 2 dkYlm (θ, ϕ)
0
69
(731)
Flm (k) ≡ ηll′ Flm
′ (k)
(732)
由于Ylm = 0, |m| > l
f (⃗r) =
∞ ∑
l
∑
im
∫ ∞
l=0 m=−l
0
l
∞ ∑
∑
m
Flm (k)Jm (kr)k 2 dkYlm (θ, ϕ)
(733)
类似地我们可以得到
F (⃗k) =
(−i)
∫ ∞
l=0 m=−l
flm (r) ≡ ηll′ flm
′ (r)
∫∫
flm
′ (r) ≡
flm (r)Jm (kr)r2 drYlm (θ, ϕ)
(734)
0
(735)
′
′
′
f (r, θ′ , ϕ′ )Ylm
′ (θ , ϕ )dΩ
(736)
根据球函数级数展开关系，我们有
F (⃗k) =
∞ ∑
l
∑
Flm (k)Ylm (θ, ϕ)
(737)
flm (r)Ylm (θ, ϕ)
(738)
l=0 m=−l
f (⃗r) =
∞ ∑
l
∑
l=0 m=−l
对比上述关系，我们得到
∫ ∞
Flm (k) = (−i)m
flm (r)Jm (kr)r2 dr
∫ ∞0
m
m
fl (r) = i
Flm (k)Jm (kr)k 2 dk
(739)
(740)
0
等价地我们有
∫ ∞
F (k) =
∫ ∞
f (r)Jm (kr)r2 dr
(741)
F (k)Jm (kr)k 2 dk
(742)
0
f (r) =
0
5.6
应用柱函数求解定解问题
例一：定解问题
∇2 u = 0, 0 < ρ < ρ0
uρ (ρ = ρ0 , ϕ, z) = 0,
u(ρ, ϕ, z = 0) = f1 (ρ),
(743)
(744)
(745)
u(ρ, ϕ, z = L) = f2 (ρ).
(746)
70
上述问题是一个轴对称问题，最后的解一定不依赖于ϕ。所以ρ方向在0
<
√
ρ < ρ0 给出贝塞尔方程，J0′ ( λ2 ρ0 )的零点定下分离变量常数λ2 。注意到
J0′ (x) = −J1 (x)
(747)
(1)
x
由于J1 (x)的第一个零点是0，所以第一个本征函数J0 ( ρ10 ) = J0 (0)为常数。其
中(1)表示1阶贝塞尔函数的零点。而此时z方向的解为A
1 + B1 z。对于非零的零
√
± λ2 z
点，z方向的解为e
。
所以在考虑z方向的边界条件之前我们有通解
u(ρ, z) = A1 + B1 z +
∞
∑
(Ak e
(1)
x
k
ρ0 z
(1)
x
+ Bk e
− ρk z
0
k=2
(1)
x
)J0 ( k )
ρ0
(748)
代入z方向的边界条件，利用贝塞尔广义傅里叶级数展开，我们可以定下系
数Ak 和Bk 从而得到上述问题的解。
例二：定解问题
ut − a2 ∇2 u = 0, 0 < ρ < ρ0
(749)
u(t, ρ = ρ0 , ϕ, z) = u0 ,
u(t, ρ, ϕ, z = 0) = u0 ,
uz (t, ρ, ϕ, z = L) = 0,
(750)
(751)
(752)
u(t = 0, ρ, ϕ, z) = u0 + f1 (ρ)f2 (z).
(753)
首先为了非齐次边界条件，我们引入
u = u0 + v
(754)
vt − a2 ∇2 v = 0, 0 < ρ < ρ0
v(t, ρ = ρ0 , ϕ, z) = 0,
(755)
(756)
v(t, ρ, ϕ, z = 0) = 0,
vz (t, ρ, ϕ, z = L) = 0,
(757)
(758)
v(t = 0, ρ, ϕ, z) = f1 (ρ)f2 (z).
(759)
转化定解问题为
上述问题实际上是一个轴对称问题。设分离变量形式为
v = T (t)R(ρ)Z(z)
(760)
得到常微分方程
T ′ + λ1 a2 T = 0,
′′
Z + λ2 Z = 0,
(
)
1 d
dR
ρ
+ (λ1 − λ2 )R = 0.
ρ dρ
dρ
71
(761)
(762)
(763)
(762)配以z方向的齐次边界条件，我们可以得到本征值和本征函数分别为
(
)2
p + 21
π , p = 0, 1, ...,
λ2 =
L
√
p + 21
Z = sin( λ2 z) = sin(
πz)
L
(764)
(765)
(763)配以ρ方向的齐次边界条件，我们可以得到本征值和本征函数分别为
(
λ1 − λ2 =
(0)
xn
ρ0
)2
, n = 1, ...,
(766)
(0)
R = J0 (
xn
ρ).
ρ0
(767)
(763)的解为
T = Ae−λ1 a t ,
(
)
(
)2 ( (0) )2
(0) 2
p + 12
xn
xn
λ1 = λ2 +
=
π +
>0
ρ0
L
ρ0
2
(768)
(769)
于是我们得到考虑初始条件前的通解
v=
∑
Ap,n e−λ1 a t J0 (
2
p,n
√
xn
ρ) sin( λ2 z)
ρ0
(0)
(770)
代入初始条件(759)
∑
(0)
√
xn
ρ) sin( λ2 z) = f1 (ρ)f2 (z),
(771)
ρ0
p,n
∫ ρ0
∫
(0)
p + 21
xn
2
2 L
f
(ρ)J
(
Ap.n =
ρ)ρdρ
·
f
(z)
sin(
πz)dz
1
0
2
(0)
ρ0
L 0
L
ρ20 [J0 (xn )]2 0
(772)
Ap,n J0 (
例三：定解问题
ut − a2 ∇2 u = 0, ρ1 < ρ < ρ2 , −∞ < z < ∞
(773)
u(t, ρ = ρ1 , ϕ, z) = u(t, ρ = ρ2 , ϕ, z) = U0 ,
u(t = 0, ρ, ϕ, z) = f (ρ).
(774)
(775)
该问题具有ϕ方向的轴对称性和z方向的平移不变性。所以其解只依赖于t和ρ。
首先用特解法来处理非齐次边界条件(774)
u = U0 + v.
72
(776)
定解问题转化为
vt − a2 ∇2 v = 0, ρ1 < ρ < ρ2 , −∞ < z < ∞
v(t, ρ = ρ1 , ϕ, z) = v(t, ρ = ρ2 , ϕ, z) = 0,
(777)
(778)
v(t = 0, ρ, ϕ, z) = f (ρ) − U0 .
(779)
设分离变量形式为
v = T (t)R(ρ)
(780)
T ′ + λa2 T = 0,
(
)
1 d
dR
ρ
+ λR = 0.
ρ dρ
dρ
(781)
得到常微分方程
(782)
根据(393)，方程(782)的通解为
√
√
R = AJ0 ( λρ) + BN0 ( λρ)
(783)
代入边界条件(782)
√
√
AJ0 ( λρ1 ) + BN0 ( λρ1 ) = 0,
√
√
AJ0 ( λρ2 ) + BN0 ( λρ2 ) = 0.
(784)
(785)
为了得到非零的A、B解来，我们需要上述代数方程组的系数行列式等于零
√
√
√
√
(786)
J0 ( λρ1 )N0 ( λρ2 ) − J0 ( λρ2 )N0 ( λρ1 ) = 0.
上述代数方程的解给出本征值λn , n = 1, 2, ...和
√
B
J0 ( λn ρ1 )
√
=−
A
N0 ( λn ρ1 )
(787)
由此得到本征函数
√
√
√
J0 ( λn ρ1 )
√
R = J0 ( λn ρ) −
N0 ( λn ρ)
N0 ( λn ρ1 )
(788)
把本征值λn 代入(781)解出
T = Ce−λn a t
2
(789)
所以我们得到不考虑初始条件的方程(792)的通解
v=
∞
∑
n=1
[
Cn
√
]
√
√
2
J0 ( λn ρ1 )
√
N0 ( λn ρ) e−λn a t
J0 ( λn ρ) −
N0 ( λn ρ1 )
73
(790)
代入初始条件(779)我们得到
√
[ √
]
∞
∑
√
J0 ( λn ρ1 )
√
N0 ( λn ρ) = f (ρ) − U0
Cn J0 ( λn ρ) −
N0 ( λn ρ1 )
n=1
(791)
[ √
]
√
√
J0 ( λ n ρ 1 )
√
N
(
根据施图姆-刘维尔定理，上式左端是 J0 ( λn ρ) − N
λ
ρ)
作为
0
n
( λ ρ )
0
n 1
基函数的广义傅里叶级数形式，我们只要把右边也做这样的广义傅里叶级数展
开，然后比较系数即可确定Cn 从而得到原来定解问题的解。
例四：求下述方程和驱动条件下的稳恒波动解
utt − a2 ∇2 u = 0, ρ > ρ0 , −∞ < z < ∞
uρ (t, ρ = ρ0 , ϕ, z) = v0 cos(ωt)
(792)
(793)
ρ0 ω ≪ a
(794)
这又是一个具有ϕ方向的轴对称性和z方向的平移不变性问题。所以其解只
依赖于t和ρ。驱动条件下的稳恒解在时间方向的行为跟驱动保持一致。所以对
于分离变量形式的解有
u = R(ρ) cos(ωt).
(795)
对于稳恒波动解，在无穷远处应该是一个往外传播的行波
lim u ∝ cos(kρ − ωt + ϕ0 )
ρ→∞
(796)
而实数形式分离变量的解(795)只能是驻波。若干实数形式分离变量解的线性叠
加可以生成行波，但需要仔细调节叠加相位，比较复杂。我们注意到复数形式
分离变量解直接就可以表现为行波的。比如e±ikρ eiωt ，无论取实部还是取虚部
都对应行波解。于是我们把(795)拓展到复数范围来考虑
u = R(ρ)e−iωt .
(797)
(
)
dR
ω2
ρ
+ 2 R = 0.
dρ
a
(798)
代入方程(792)得到
1 d
ρ dρ
上述方程复数范围的通解为
(1)
R = AH0 (
ωρ
(2) ωρ
) + BH0 ( )
a
a
(799)
代回(797)我们得到
]
[
(2) ωρ
(1) ωρ
u = AH0 ( ) + BH0 ( ) e−iωt .
a
a
[
(800)
把通解(800)代入无穷远边界条件(796)
]
[
]
ωρ
ωρ
π
π
(1) ωρ
(2) ωρ
AH0 ( ) + BH0 ( ) e−iωt → Aei( a − 4 ) + Be−i( a − 4 ) e−iωt (801)
a
a
74
所以B = 0。再代入边界条件(793)
A
d (1) ωρ
H ( )
= v0
dρ 0
a ρ=ρ0
(802)
由于
d (1) ωρ
ω d
(1) ωρ
H ( )=
H0 ( ),
dρ 0
a
a d ωρ
a
a
∞
∑
2i
d (1)
H0 (x) =
+
cn xn
dx
πx n=0
(803)
(804)
和条件(794)我们得到
2i
= v0
πρ0
πρ0 v0
A = −i
2
A
(805)
(806)
于是我们得到
[ πρ v
]
0 0
(1) ωρ
u = −ℜ i
H0 ( )e−iωt .
2
a
(807)
∇2 u = 0, 0 < ρ < ρ0 , 0 < z < L
kuρ (ρ = ρ0 , ϕ, z) = q0
u(ρ, ϕ, z = 0) = u0 ,
(808)
(809)
(810)
u(ρ, ϕ, z = L) = u0 .
(811)
例五：定解问题
这又是一个具有ϕ方向的轴对称性问题。所以其解只依赖于ρ和z。先处理非齐
次边界条件
u = u0 + v,
(812)
∇ v = 0, 0 < ρ < ρ0 , 0 < z < L
(813)
kvρ (ρ = ρ0 , ϕ, z) = q0
v(ρ, ϕ, z = 0) = 0,
(814)
(815)
v(ρ, ϕ, z = L) = 0.
(816)
2
设分离变量形式为
v = R(ρ)Z(z)
(817)
(
)
dR
ρ
− λR = 0,
dρ
(818)
得到常微分方程
1 d
ρ dρ
75
Z ′′ + λZ = 0.
(819)
(819)配以z方向的齐次边界条件，我们可以得到本征值和本征函数分别为
λ=
( pπ )2
, p = 1, ...,
L(
pπz )
Z = sin
.
L
(820)
(821)
把本征值(820)代入方程(818)我们得到0阶虚宗量贝塞尔方程，考虑到ρ = 0的自
然边界条件，解为
( pπρ )
(822)
R = I0
L
所以得到通解
v=
∞
∑
A p I0
( pπρ )
L
p=1
sin
( pπz )
L
(823)
代入边界条件(814)得到
∞
∑
Ap
p=1
Ap =
( pπz ) q
pπ ′ ( pπρ0 )
0
I0
sin
= ,
L
L
L
k
(824)
2Lq0
( pπρ0 ) [1 − (−1)p ]
(825)
p2 π 2 kI0′
L
例六：定解问题
∇2 u = 0, 0 < ρ < ρ0 , 0 < z < L
kuρ (ρ = ρ0 , ϕ, z) = q0
(826)
(827)
u(ρ, ϕ, z = 0) = f1 (ρ),
u(ρ, ϕ, z = L) = f2 (ρ).
(828)
(829)
为了处理非齐次边界条件
u = w + v,
(830)
∇ v = 0, 0 < ρ < ρ0 , 0 < z < L
kvρ (ρ = ρ0 , ϕ, z) = q0
(831)
(832)
v(ρ, ϕ, z = 0) = 0,
v(ρ, ϕ, z = L) = 0.
(833)
(834)
∇2 w = 0, 0 < ρ < ρ0 , 0 < z < L
wρ (ρ = ρ0 , ϕ, z) = 0,
(835)
(836)
w(ρ, ϕ, z = 0) = f1 (ρ),
w(ρ, ϕ, z = L) = f2 (ρ).
(837)
(838)
2
76
而v的解在(823)已经得到，w的解在(748)已经得到。
例七：定解问题
∇2 u = 0, ρ > ρ0 , 0 < z < L
u0 z
u(ρ = ρ0 , ϕ, z) =
L
u(ρ, ϕ, z = 0) = 0,
u(ρ, ϕ, z = L) = u1 .
(839)
(840)
(841)
(842)
先处理非齐次边界条件
u1 z
+ w,
L
∇2 w = 0, ρ > ρ0 , 0 < z < L
u0 − u1
z,
w(ρ = ρ0 , ϕ, z) =
L
w(ρ, ϕ, z = 0) = 0,
w(ρ, ϕ, z = L) = 0.
u=
(843)
(844)
(845)
(846)
(847)
设分离变量形式为
得到常微分方程
1 d
ρ dρ
w = R(ρ)Z(z)
(848)
(
)
dR
ρ
− λR = 0,
dρ
(849)
Z ′′ + λZ = 0.
(850)
(850)配以z方向的齐次边界条件，我们可以得到本征值和本征函数分别为
( pπ )2
λ=
, p = 1, ...,
(851)
L(
)
pπz
Z = sin
.
(852)
L
把本征值(851)代入方程(849)我们得到0阶虚宗量贝塞尔方程，考虑到ρ → ∞的
自然边界条件，解为
( pπρ )
R = K0
(853)
L
所以得到通解
v=
∞
∑
Ap K0
( pπρ )
L
p=1
sin
( pπz )
L
(854)
代入边界条件(845)得到
∞
∑
p=1
Ap K0
( pπρ )
0
L
sin
( pπz )
77
L
=
u0 − u1
z,
L
(855)
Ap = (−1)p
2(u0 − u1 )
( 0 ).
pπK0 pπρ
L
(856)
作业：
1、匀质圆柱半径为ρ0 、高为L。上底有均匀分布的强度为q0 的热流进入，
下底保持温度u0 ，侧面温度分布为f (z)，求解柱体内的稳恒温度分布。对应定
解问题
∇2 u = 0, 0 < ρ < ρ0 , 0 < z < L
u(ρ, ϕ, z = 0) = u0 ,
uz (ρ, ϕ, z = L) = q0 .
(857)
(858)
(859)
u(ρ = ρ0 , ϕ, z) = f (z).
(860)
提示：u = q0 z + u0 + v。
2、匀质圆柱半径为ρ0 、高为L。上底温度分布u2 ρ2 ，下底保持温度u1 ，侧
面温度分布为u0 z，求解柱体内的稳恒温度分布。对应定解问题
∇2 u = 0, 0 < ρ < ρ0 , 0 < z < L
u(ρ, ϕ, z = 0) = u1 ,
(861)
(862)
u(ρ, ϕ, z = L) = u2 ρ2 .
(863)
u(ρ = ρ0 , ϕ, z) = u0 z.
(864)
提示：u = u0 z + v。
5.7
球贝塞尔方程和球贝塞尔函数
之前我们讲过用球坐标系处理亥姆霍兹方程时会得到(348)
r2
d2 R
dR
+ 2r
+ (k 2 r2 − λ1 )R = 0.
dr2
dr
(865)
通过变量代换得到(351)
√
x = kr, R =
x2
π
y,
2x
(866)
d2 y
dy
1
+x
+ [x2 − (λ1 + )]y = 0.
dx2
dx
4
(867)
其中分离变量常数λ1 = l(l + 1)已被球函数决定下来。于是上式继续变为
x2
d2 y
dy
1
+x
+ [x2 − (l + )2 ]y = 0.
2
dx
dx
2
(868)
这是一个l + 12 (半奇数阶)阶贝塞尔方程。
根据我们之前学过的知识，l + 12 阶贝塞尔方程解的常用形式包括
(1)
(2)
2
2
Jl+ 21 , J−(l+ 12 ) , Nl+ 12 , Hl+ 1 , Hl+ 1
78
(869)
从中任意取两个线性组合可以得到l + 12 阶贝塞尔方程的通解。
回到原来的变量R，人们把相应形式的解称为球贝塞尔函数
√
√
π
π
1 (x)
jl (x) =
Jl+ 12 , j−l (x) =
J
2x
2x −l+ 2
√
π
N 1 (x)
nl (x) =
2x l+ 2
√
√
π (1) (2)
π (2)
(1)
hl (x) =
Hl+ 1 , hl (x) =
H 1 (x).
2
2x
2x l+ 2
(870)
(871)
(872)
它们分别叫做球贝塞尔函数，球诺伊曼函数，第一类和第二类球汉克尔函数。
类似于柱函数用Z来统一表示，我们用z来统一表示这些球贝塞尔函数。
利用Z的递推关系我们可以得到z的递推关系
zl+1 (x) =
2l + 1
zl (x) − zl−1 (x).
x
(873)
根据贝塞尔函数同诺伊曼函数，第一类和第二类汉克尔函数的关系我们可以
得到
nl (x) = (−1)l+1 j−(l+1) (x),
(874)
(1)
hl (x) = jl (x) + inl (x) = jl (x) + i(−1)l+1 j−(l+1) (x),
(2)
(1)
hl (x) = jl (x) − inl (x) = jl (x) − i(−1)l+1 j−(l+1) (x) = h̄l (x).
(875)
(876)
具体计算可以得到
cos x
sin x
, j0 (x) =
,
x
x
sin x
cos x
n−1 (x) =
, n0 (x) = −
,
x
x
1
i
(1)
(1)
h−1 (x) = eix , h0 (x) = − eix ,
x
x
1
i
(2)
(2)
h−1 (x) = e−ix , h0 (x) = e−ix .
x
x
j−1 (x) =
(877)
(878)
(879)
(880)
再根据递推关系(873)我们就可以得出其他阶球贝塞尔函数的表达式。
根据柱函数的级数表达式，我们还可以得到球贝塞尔函数的级数表达式
√
( )l+ 21 +2k
∞
1
π∑
1
(−1)k
xl+2k ,
3
2
2
)
k!Γ(l
+
k
+
2
k=0
√ ∞
( )−l− 21 +2k
π∑
1
1
l+1
k
nl (x) = (−1)
(−1)
x−l+2k−1
1
2
2
k!Γ(−l
+
k
+
)
2
k=0
jl (x) =
79
(881)
(882)
5.8
球贝塞尔函数在自然边界处的行为
r = 0和r = ∞对应球坐标的自然边界，对应x = 0和x = ∞。从级数表达
式(881)和(882)可以得到
j0 (0) = 1
jl (0) = 0, l > 0
jl (0) = ∞, l < 0
(883)
(884)
(885)
n−1 (0) = 1,
nl (0) = 0, l < −1
(886)
(887)
nl (0) = ∞, l > −1
(888)
根据贝塞尔函数在x → ∞时的渐进行为和球贝塞尔函数与贝塞尔函数的关系，
我们可得到，当x → ∞时
(
)
1
l+1
jl (x) → cos x −
π
(889)
x
2
(
)
1
l+1
nl (x) → sin x −
π
(890)
x
2
1
(1)
hl (x) → (−i)l+1 eix
(891)
x
1
(2)
hl (x) → il+1 e−ix
(892)
x
5.9
球贝塞尔函数的广义傅里叶级数
球贝塞尔方程定义在区间r1 < r < r2 上，配以适当边界条件就构成施图姆-刘
维尔本征值问题。本征函数为Ajl (kn r) + Bnl (kn r)，边界条件同时确定本征
值kn 和系数比A/B。
如果区间为0 < r < r0 ，由于r = 0的自然边界条件导致本征函数为jl (kn r)，r0 处
的边界条件决定本征值kn 。
以0 < r < r0 为例，广义傅里叶级数展开形式为
f (r) =
∞
∑
fm jl (km r),
(893)
m=1
∫ r0
1
f (r)jl (km r)r2 dr
2
Nm
0
∫ r0
2
jl2 (km r)r2 dr
Nm =
fm =
(894)
(895)
0
5.10
应用球贝塞尔函数求解定解问题
例一：定解问题
ut − a2 ∇2 u = 0,
80
(896)
u(t = 0, r, θ, ϕ) = u0 ,
(897)
u(t, r = r0 , θ, ϕ) = U0
(898)
首先处理非齐次边界条件
u = U0 + w,
(899)
2
wt − a ∇ w = 0,
w(t = 0, r, θ, ϕ) = u0 − U0 ,
(900)
(901)
w(t, r = r0 , θ, ϕ) = 0
(902)
2
显然这是一个球对称问题，所以l = 0，只剩下t和r
w = T (t)R(r)
′
(903)
2 2
T + k a T = 0,
(904)
2
r2
dR
d R
+ 2r
+ [k 2 r2 − l(l + 1)]R = 0.
2
dr
dr
(905)
如果k = 0，(905)为欧拉型微分方程，解为
R=A+
B
r
(906)
r = 0处自然边界条件确定B = 0，r = r0 处齐次边界条件确定A = 0。所以此时
为0解。
如果k > 0，(905)为球贝塞尔方程，配以r = 0处自然边界条件，其解为
R = j0 (kr) =
sin(kr)
kr
(907)
r = r0 处齐次边界条件确定本征值
j0 (km r0 ) = 0
(908)
sin(kn r0 ) = 0
nπ
kn =
r0
(909)
T = e−k a t
(911)
(910)
结合(904)的解
2 2
我们得到考虑初始条件(901)前的通解
w=
∞
∑
n=1
An
sin( nπ
r0 r) −k2 a2 t
e
nπ
r0 r
(912)
带入初始条件(901)，根据球贝塞尔函数的广义傅里叶级数展开得到
An = (−1)n 2(U0 − u0 )
81
(913)
例二：求小球面稳恒声波发射
utt − a2 ∇2 u = 0,
(914)
ur (t, r = r0 , θ, ϕ) = v0 P1 (cos θ)e
ωr0
≪1
a
−iωt
(915)
(916)
类似于我们前面讲过的小柱面稳恒声波发射，时间部分的行为同驱动一致
为e−iωt 。再注意到问题的轴对称性，分离变量的解形式为
u = R(r)Θ(θ)e−iωt
(917)
根据我们之前学过的球函数性质得到
( ω )2
d2 R
dR
+
2r
+
[
r2 − l(l + 1)]R = 0
dr2 ( dr ) a
1 d
dΘ
sin θ
+ l(l + 1)Θ = 0
sin θ dθ
dθ
r2
(918)
(919)
这两个方程的解分别为
ω
R = zl ( r)
a
Θ = Pl (cos θ)
(920)
(921)
所以在考虑边界条件(915)前的通解为
u=
∞
∑
l=0
ω
Al zl ( r)Pl (cos θ)e−iωt
a
(922)
(1)
根据无穷远处的外行波边界条件zl 只能是hl ，于是
u=
∞
∑
l=0
(1) ω
Al hl ( r)Pl (cos θ)e−iωt
a
(923)
再带入边界条件(915)
∞
∑
l=0
ω (1)′ ω
Al hl ( r0 )Pl (cos θ)e−iωt = v0 P1 (cos θ)e−iωt
a
a
(924)
定出
Al = 0, l ̸= 1
(925)
v0 ω 2 r03
A1 ≈ −i
2a2
(926)
上式中的约等号是使用了条件 ωra 0 ≪ 1。
82
5.11
用球面波展开平面波
⃗
对任意平面波eik·⃗r ，我们可以把它看作是亥姆霍兹方程的解。既然是亥姆霍兹
方程的解，我们就可以从球坐标的视角来看待这个解
∇2 u + k 2 u = 0.
(927)
这里的k = |⃗k|，是由平面波的波矢给定的。在球坐标下分离变量后，径向方程
中的k就对应这个k，再考虑到r = 0处的自然边界条件后，我们得到通解
u(r, θ, ϕ) =
∞ ∑
l
∑
Anlm jl (kr)Ylm (θ, ϕ).
(928)
l=0 m=−l
我们选取坐标系使得z 轴指向平面波的波矢⃗k 方向，用对应的球坐标表达
为eikr cos θ 。我们现在把上述展开式用于这个平面波函数
eikr cos θ =
∞
∑
Al jl (kr)Pl (cos θ)
(929)
Al jl (ρ)Pl (x)
(930)
l=0
上式等效地可以写为
e
iρx
=
∞
∑
l=0
上式可看作eiρx 的勒让德多项式广义傅里叶级数展开。展开系数具有关系
∫
2l + 1 1 iρx
Al jl (ρ) =
e Pl (x)dx
(931)
2
−1
既然上面的方程左右两边都是ρ的函数，在ρ → ∞时自然也成立。
Al iρ−ilπ/2
Al jl (ρ) →
(e
− eiρ+ilπ/2 )
2iρ
∫
∫
2l + 1 1 iρx
2l + 1 1 iρx
e Pl (x)dx =
e Pl (x)d(iρx)
2
2iρ −1
−1
[
]
∫ 1
2l + 1
=
(Pl (x)eiρx )|1−1 −
eiρx Pl′ (x)dx
2iρ
−1
2l + 1
(Pl (x)eiρx )|1−1 + O(ρ−2 )
=
2iρ
2l + 1 ilπ/2 iρ−ilπ/2
→
e
(e
− eiρ+ilπ/2 )
2iρ
Al = (2l + 1)il
(932)
(933)
(934)
(935)
(936)
(937)
最终我们得到
eikr cos θ =
∞
∑
(2l + 1)il jl (kr)Pl (cos θ)
l=0
83
(938)
如果想换到其他任意指向的坐标系，我们只需要在上面结果基础上使用勒让德
函数的加法公式即可。这就实现了用球面波展开平面波。
有趣地，结合我们之前学过的贝塞尔函数母函数关系式，我们有
eikr cos θ =
∞
∞
∑
∑
(2l + 1)il jl (kr)Pl (cos θ) =
im Jm (kr)eimθ .
5.12
(939)
m=−∞
l=0
贝塞尔函数在开普勒轨道中的应用
开普勒轨道也就是椭圆轨道，涉及三个重要的角度概念，平近点角(M )、偏近
点角(E)和真近点角(f )。它们之间满足关系
cos E − e
1 − e cos E
M = E − e sin E
cos f =
(940)
(941)
其中e为轨道离心率。三个角度中，表明天体在轨道上真正位置的真近点角f 动
力学非常复杂，平近点角的动力学行为最为简单
M = nt
(942)
n为常数。但平近点角和真近点角之间连表明直接关系的方程都写不出来。这
也是引入这三个角度的原因。有趣的是，f 相对于M 的复杂依赖关系可以利用
贝塞尔函数直接连起来
∞
∑
2
cos f = −e + (1 − e2 )
Jk (ke) cos(kM )
e
(943)
k=1
sin f =
√
1 − e2
∞
∑
[Jk−1 (ke) − Jk+1 (ke)] sin(kM ).
(944)
k=1
注意到整数阶贝塞尔函数的级数表达式
Jm (x) =
∞
∑
k=0
≈
(−1)k
( x )m+2k
1
k!(m + k)! 2
1 ( x )m
,x ≪ 1
m! 2
(945)
(946)
所以在近圆轨道或者说小离心率近似条件下，我们有
cos f = −e + (1 − e2 ) [cos(M ) + e cos(2M )]
84
(947)
格林函数法
6
前面讲的分离变量法主要针对齐次方程。如果方程是非齐次的，我们之前的办
法是先不管初边界条件，猜出方程的一个特解来，利用定解问题的线性性把原
问题转化为齐次方程问题。这里讲的格林函数方法也是针对非齐次方程的。
格林函数又被人们称为点源影响函数，它代表一个点源在一定的初边界条件
下产生的场。知道了点源的场，利用线性叠加性就可以求出任意源产生的场。
6.1
泊松方程的格林函数法
我们先来看看格林函数法的基本原理。对于两个函数u(⃗r)和v(⃗r)，高斯定理给
出下述关系
∫∫
∫∫∫
u∇v · dS =
∇ · (u∇v)dV
(948)
∫Σ∫ ∫
∫T∫ ∫
∇u · ∇vdV
u∇2 vdV +
=
T
(949)
T
上式被人们称为第一格林公式。其中T 表示边界Σ包围的区域。把u(⃗r)和v(⃗r)位
置对调得到
∫∫
∫∫∫
∫∫∫
v∇u · dS =
v∇2 udV +
∇v · ∇udV
(950)
Σ
T
T
把上面两个等式相减得到
∫∫
∫∫∫
(u∇v − v∇u) · dS =
(u∇2 v − v∇2 u)dV
Σ
∫∫
(951)
T
∂v
∂u
(u
− v )dS =
∂n
∂n
Σ
∫∫∫
(u∇2 v − v∇2 u)dV
(952)
T
∂
其中 ∂n
是外法向导数的意思。这个公式被人们称为第二格林公式。
现在我们考虑泊松方程定解问题
∇2 u = f (⃗r), ⃗r ∈ T
[
]
∂u
α
+ βu = φ(M), M ∈ Σ
∂n
Σ
(953)
(954)
f (⃗r)就是泊松方程的源。我们先考虑点源产生的场
∇2 v = δ(⃗r − ⃗r0 ), ⃗r, ⃗r0 ∈ T
我们把(953)和(955)中的u, v跟第二格林公式中的u, v对应起来，得到
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
(u∇2 v − v∇2 u)dV = −
vf dV +
uδ(⃗r − ⃗r0 )dV
T
T
T
85
(955)
(956)
由于格林公式中涉及的函数需要是光滑函数，而v在⃗r0 点奇异，所以为了使用第
二格林公式，我们需要把⃗r0 点排除。为此，我们用一个半径为ϵ、球心在⃗r0 的小
球Kϵ 把奇异点包起来，然后对区域T − Kϵ 使用第二格林公式
∫∫
∫∫∫
∫∫
∂u
∂v
∂u
∂v
− v )dS +
(u
− v )dS (957)
(u∇2 v − v∇2 u)dV =
(u
∂n
∂n
∂n
∂n
T −Kϵ
Σϵ
Σ
其中Σϵ 代表小球Kϵ 的表面。同时类似于(956)并注意到⃗r0 在区域T − Kϵ 之外，
我们得到
∫∫
∫∫
∫∫∫
∂v
∂u
∂v
∂u
(u
− v )dS +
(u
− v )dS = −
vf dV
(958)
∂n
∂n
∂n
∂n
Σ
T −Kϵ
Σϵ
因为v是点源产生的场，跟据库伦定律我们知道在Σϵ 上的点，v表现为
v=−
所以
∫∫
v
∂u
dS =
∂n
Σϵ
∫∫
−
1
4πϵ
(959)
1 ∂u 2
ϵ
ϵ dΩ = −
4πϵ ∂n
4π
Σϵ
∫∫
∂u
dΩ
∂n
(960)
Σϵ
其中dΩ表示球坐标系角方向的小微元sin
θdθdϕ。因为u在⃗r0 点附近是光滑函
∫∫ ∂u
∂u
数，所以 ∂n
是有限值，积分 ∂n
dΩ也就是有限值。故
Σϵ
∫∫
lim
v
ϵ→0
∂u
dS = 0.
∂n
(961)
Σϵ
再考虑
∫∫
∂v
u dS = −
∂n
Σϵ
∫∫
∂
u
∂r
(
)
1
−
dS
4πr
(962)
Σϵ
等号右端的第一个等号是因为在Σϵ 上关于T − Kϵ 的外法向与关于小球体Kϵ 的外
法向是相反的。继续计算得到
∫∫
∫∫
∂v
1
1
u dS = −
u 2 r2 dΩ
(963)
∂n
4π
r
Σϵ
Σϵ
∫∫
1
∂v
(964)
lim
u dS = − u(⃗r0 )4π = −u(⃗r0 ).
ϵ→0
∂n
4π
Σϵ
所以(958)变为
]
∫∫∫
∫∫ [
∂v(⃗r, ⃗r0 )
∂u(⃗r)
− u(⃗r)
dS. (965)
u(⃗r0 ) =
v(⃗r, ⃗r0 )f (⃗r)dV −
v(⃗r, ⃗r0 )
∂n
∂n
T
Σ
86
到目前位置我们还只是要求v满足点源泊松方程而还没有指定v需要满足的边界
条件。
如果原问题(953)的边界条件是第一类边界条件(即α = 0)，我们可以要
求v满足第一类齐次边界条件v(M) = 0，于是(965) 变为
∫∫
∫∫∫
∂v(⃗r, ⃗r0 )
v(⃗r, ⃗r0 )f (⃗r)dV +
φ(⃗r)
u(⃗r0 ) =
dS.
(966)
∂n
T
Σ
只要在格林函数v被求出的前提下，上式就可以给出原问题的解了。
如果原问题(953)的边界条件是第三类边界条件(即α ̸= 0)，我们要求v满足
第三类齐次边界条件
[
]
∂v
+ βv = 0, M ∈ Σ
(967)
α
∂n
Σ
[
]
∂v
αu
+ βvu = 0, M ∈ Σ
(968)
∂n
Σ
同时基于原边界条件我们得到
]
[
∂u
+ βvu = vφ(M), M ∈ Σ
αv
∂n
Σ
(969)
(969)-(968)得到
[
]
vφ(M)
∂u
∂v
=
v
−u
,M ∈ Σ
∂n
∂n Σ
α
(970)
代入(965)得到
∫∫∫
u(⃗r0 ) =
1
v(⃗r, ⃗r0 )f (⃗r)dV −
α
T
∫∫
v(⃗r, ⃗r0 )φ(⃗r)dS.
(971)
Σ
只要在格林函数v被求出的前提下，上式就可以给出原问题的解了。
如果原问题(953)的边界条件是第二类边界条件(即β = 0)，上面的分析过程
看起来不受影响。但定解问题
∇2 v = δ(⃗r − ⃗r0 ), ⃗r, ⃗r0 ∈ T
[ ]
∂u
= 0, M ∈ Σ
∂n Σ
(972)
(973)
无解。物理上上述问题对应某区域内存在一个点热源，区域边界还绝热，这样
的话整个区域会无限变热，从而不存在稳恒温度分布。为了解决这个问题，我
们可以引入推广的格林函数
∇2 v = δ(⃗r − ⃗r0 ) −
87
1
, ⃗r, ⃗r0 ∈ T
VT
(974)
[
]
∂u
= 0, M ∈ Σ
∂n Σ
(975)
其中VT 是T 的体积。这样，(956)将修正为
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
2
2
(u∇ v − v∇ u)dV =
vf dV −
uδ(⃗r − ⃗r0 )dV +
T
T
T
u
dV
VT
T
(976)
从而(965)将修正为
]
∫∫∫
∫∫ [
∂u(⃗r)
∂v(⃗r, ⃗r0 )
u(⃗r0 ) =
v(⃗r, ⃗r0 )f (⃗r)dV −
v(⃗r, ⃗r0 )
− u(⃗r)
dS + ⟨u⟩T
∂n
∂n
T
Σ
(977)
∫∫∫
udV
其中⟨u⟩T ≡ T VT 表示u在全空间的平均值。(971)将修正为
∫∫∫
∫∫
1
u(⃗r0 ) =
v(⃗r, ⃗r0 )f (⃗r)dV −
v(⃗r, ⃗r0 )φ(⃗r)dS + ⟨u⟩T .
α
T
(978)
Σ
只要在格林函数v被求出的前提下，上式就可以给出原问题的解了。实用地
说，我们先算
∫∫∫
∫∫
1
′
u (⃗r0 ) =
v(⃗r, ⃗r0 )f (⃗r)dV −
v(⃗r, ⃗r0 )φ(⃗r)dS.
(979)
α
T
Σ
′
然后把所得u 代入边界条件(954)可算出
] }
{
[
∂u′
′
+ βu
/β.
⟨u⟩T = φ(M) − α
∂n
Σ
(980)
上面对格林函数提齐次边界条件是从实用的角度为了格林函数的求解方便而
提的。实际上，从线性叠加原理上来说，如果我们直接提同原问题相同的边界
条件
[
]
∂v
α
+ βv = φ(M), M ∈ Σ
(981)
∂n
Σ
[
]
∂v
+ βuv = uφ(M), M ∈ Σ
(982)
αu
∂n
Σ
[
]
∂u
α
+ βu = φ(M), M ∈ Σ
(983)
∂n
Σ
[
]
∂u
αv
+ βvu = vφ(M), M ∈ Σ
(984)
∂n
Σ
[
]
∂u
∂v
α v
−u
= φ(M)[v − u]Σ = 0
(985)
∂n
∂n Σ
88
[
]
∂u
∂v
−u
= 0, if α ̸= 0
∂n
∂n Σ
∫∫∫
u(⃗r0 ) =
v(⃗r, ⃗r0 )f (⃗r)dV
v
(986)
(987)
T
不过上式的物理意义比较奇怪。处于⃗r0 的点源把全空间的场以源函数为权重叠
加后得到⃗r0 处的场！
6.1.1
格林函数的对称性
我们考虑两个点源分别产生的场
∇2 u = δ(⃗r − ⃗r1 ), ⃗r, ⃗r1 ∈ T
(988)
∇ v = δ(⃗r − ⃗r2 ), ⃗r, ⃗r2 ∈ T
(989)
2
用K1,2ϵ 两个小球分别包住两个点源，然后把上述u, v代入第二格林公式得到
∫∫
∫∫∫
∂v
∂u
(u
− v )dS =
(u∇2 v − v∇2 u)dV
(990)
∂n
∂n
T −K1,2ϵ
Σ+Σ1,2ϵ
由于在T − K1,2ϵ 区域内u, v都满足拉普拉斯方程，所以上式右边等于0。如
果u, v满足第一类齐次边界条件则直接可见
[
]
∂u
∂v
v
−u
= 0, M ∈ Σ
(991)
∂n
∂n Σ
如果u, v满足第三类齐次边界条件则类似于上一小节的分析可见上式也成立。
所以
∫∫
∂v
∂u
(u
− v )dS = 0.
(992)
∂n
∂n
Σ
所以(990)给出
∫∫
∂v
∂u
− v )dS = 0.
∂n
∂n
(993)
0 − v(⃗r1 ) + u(⃗r2 ) − 0 = 0
u(⃗r2 ) = v(⃗r1 )
(994)
(995)
(u
Σ1,2ϵ
让ϵ → 0，上式给出
物理上，u是点源在⃗r1 产生的场，对应格林函数G(⃗r, ⃗r1 ) = u(⃗r)。类似地，G(⃗r, ⃗r2 ) =
v(⃗r)。所以(995)等价于
G(⃗r2 , ⃗r1 ) = G(⃗r1 , ⃗r2 )
89
(996)
也就是说，点源在⃗r1 处于⃗r2 处产生的场等于点源在⃗r2 处于⃗r1 处产生的场。这就
说所谓的格林函数对称性。
基于格林函数的对称性，(987)改写为
∫∫∫
v(⃗r0 , ⃗r)f (⃗r0 )dV0
(997)
u(⃗r) =
∫ T∫ ∫
u(⃗r) =
v(⃗r, ⃗r0 )f (⃗r0 )dV0
(998)
T
这个公式的物理意义就很自然了，处于把全部源函数以处于源点的点源在所关
心点处产生的场为权重叠加后得到所关心处的场。这就是叠加原理的体现了。
利用格林函数的对称性后，第一类边界条件泊松方程给出解
∫∫∫
∫∫
∂G(⃗r, ⃗r0 )
u(⃗r) =
G(⃗r, ⃗r0 )f (⃗r0 )dV0 +
φ(⃗r0 )
dS0 .
(999)
∂n0
T
Σ
第三类边界条件泊松方程给出解
∫∫∫
∫∫
1
u(⃗r) =
G(⃗r, ⃗r0 )f (⃗r0 )dV0 −
G(⃗r, ⃗r0 )φ(⃗r0 )dS0 .
α
T
6.2
(1000)
Σ
拉普拉斯方程的基本解
在偏数学的文献中有偏微分方程基本解的概念，它实际上指的是无界空间的格
林函数。更确切地说，基本解对应无穷远自然边界条件的格林函数。
我们先来考虑无界二维空间泊松方程的格林函数
∇2 u = δ(⃗r),
u(r → ∞) = 0
显然该问题具有旋转对称性，极坐标方便处理
(
)
1 d
d
1
r u =
δ(r),
r dr
dr
2π
(
)
1 d
d
r u = 0, r > 0
r dr
dr
u = A ln r + B, r > 0
(1001)
(1002)
(1003)
(1004)
(1005)
考虑到边界条件(1002)，B = 0。把高斯定理应用于心在原点，半径为ϵ的小球
∫∫∫
∫∫
du
2
∇ u=
dS
(1006)
dr
Kϵ
∫ 2π
1=
0
Σϵ
A
rdϕ = 2πA
r
90
(1007)
1
2π
1
u=
ln r.
2π
(1008)
A=
(1009)
一般地，拉普拉斯方程的基本解为
{1
ln r = − 1 ln 1 , n = 2
U (⃗r) = 2π Γ( n2 +1) 2π 1 r
,n > 2
n(n−2)π n/2 r n−2
(1010)
其中n是空间维数。
根据上面的描述我们可以写出格林函数和基本解的关系
G(⃗r, ⃗r0 ) = U (⃗r − ⃗r0 ).
6.3
(1011)
格林函数法求解泊松方程
例一：定解问题
∇2 u = 0, r < a
u(r = a, θ, ϕ) = f (θ, ϕ)
(1012)
(1013)
∇2 G = δ(⃗r − ⃗r0 ), r < a
G(r = a, θ, ϕ) = 0
(1014)
(1015)
先求格林函数
利用(508)的结果，我们有
G(⃗r, ⃗r0 ) = −
(
⃗r1 =
a
r0
)2
1
1
a
1
+
,
4π |⃗r − ⃗r0 | 4πr0 |⃗r − ⃗r1 |
(1016)
⃗r0
√
|⃗r − ⃗r0 | = r2 − 2rr0 cos Θ + r02
√
|⃗r − ⃗r1 | = r2 − 2rr1 cos Θ + r12
(1017)
cos Θ = cos θ cos θ0 + sin θ sin θ0 cos(ϕ − ϕ0 )
(1020)
(1018)
(1019)
格林函数法告诉我们
∫∫∫
u(⃗r) =
∫∫
G(⃗r, ⃗r0 )0dV +
T
∫ π ∫ 2π
φ(⃗r0 )
∂G(⃗r, ⃗r0 )
dS0
∂n0
∂G(⃗r, ⃗r0 ) 2
a sin θ0 dθ0 dϕ0
∂r0
0
0
∂G(⃗r, ⃗r0 )
a2 − r2
1
=
2
∂r0
4πa (r − 2ra cos Θ + a2 )3/2
Σ
=
(1021)
Σ
f (θ0 , ϕ0 )
91
(1022)
(1023)
例二：定解问题
∇2 u = 0, z > 0
(1024)
u(x, y, z = 0) = f (x, y)
(1025)
∇2 G = δ(⃗r − ⃗r0 ), z > 0
(1026)
G(x, y, z = 0) = 0
(1027)
先求格林函数
根据电像法可得
1
1
1
1
+
,
4π |⃗r − ⃗r0 | 4π |⃗r − ⃗r1 |
⃗r1 = (x0 , y0 , −z0 )
G(⃗r, ⃗r0 ) = −
格林函数法告诉我们
∫ ∞∫ ∞
∂G(⃗r, ⃗r0 )
u(⃗r) = −
f (x0 , y0 )
dx0 dy0
∂z0
−∞ −∞
z
∂G(⃗r, ⃗r0 )
1
=−
2 + (y − y )2 + z 2 ]3/2
∂z0
2π
[(x
−
x
)
0
0
Σ
(1028)
(1029)
(1030)
(1031)
电像法的实质是利用两个基本解叠加来满足边界条件。基于此提示，完成下
面两个作业。
作业：
1、求解圆内定解问题
∇2 u = 0, ρ < a
(1032)
u(r = a, ϕ) = f (ϕ).
(1033)
2、在上半平面求解定解问题
6.4
∇2 u = 0, −∞ < x < ∞, y > 0
(1034)
u(x, y = 0) = f (x).
(1035)
波动方程的格林函数法
对于波动方程定解问题
utt − a2 ∇2 u = f (t, ⃗r),
(
)
∂u
α
+ βu
= θ(t, M),
∂n
Σ
(1036)
u(t = 0, ⃗r) = φ(⃗r),
(1038)
92
(1037)
ut (t = 0, ⃗r) = ψ(⃗r).
(1039)
类似于前面个讲过的泊松方程的格林函数，我们这里考虑格林函数
vtt − a2 ∇2 v = δ(t − t0 )δ(⃗r − ⃗r0 ),
(
)
∂v
= 0,
α
+ βv
∂n
Σ
(1040)
(1041)
v(t = 0, ⃗r) = 0,
(1042)
vt (t = 0, ⃗r) = 0.
(1043)
我们把上述格林函数记为G(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 ) = v(t, ⃗r)。首先我们证明这个格林函数的
对称性G(t2 , ⃗r2 ; t1 , ⃗r1 ) = G(−t1 , ⃗r1 ; −t2 , ⃗r2 )。
因为格林函数满足点源方程
G(t, ⃗r; t1 , ⃗r1 )tt − a2 ∇2 G(t, ⃗r; t1 , ⃗r1 ) = δ(t − t1 )δ(⃗r − ⃗r1 ),
(1044)
G(t, ⃗r; t2 , ⃗r2 )tt − a ∇ G(t, ⃗r; t2 , ⃗r2 ) = δ(t − t2 )δ(⃗r − ⃗r2 ).
(1045)
2
2
2
2
∂
∂
把上面第二个方程的时间反向，即t → −t, t2 → −t2 ，注意到 ∂(−t)
2 = ∂t2 ，我
们有
G(−t, ⃗r; −t2 , ⃗r2 )tt − a2 ∇2 G(−t, ⃗r; −t2 , ⃗r2 ) = δ(−t + t2 )δ(⃗r − ⃗r2 )
(1046)
这实际上反应了波动方程的时间反演不变性。把(1044)和(1046)的待求函数交
叉相乘以方程后相减得到
G(t, ⃗r; t1 , ⃗r1 )tt G(−t, ⃗r; −t2 , ⃗r2 ) − a2 G(−t, ⃗r; −t2 , ⃗r2 )∇2 G(t, ⃗r; t1 , ⃗r1 )
− G(−t, ⃗r; −t2 , ⃗r2 )tt G(t, ⃗r; t1 , ⃗r1 ) + a2 G(t, ⃗r; t1 , ⃗r1 )∇2 G(−t, ⃗r; −t2 , ⃗r2 )
= G(−t, ⃗r; −t2 , ⃗r2 )δ(t − t1 )δ(⃗r − ⃗r1 ) − G(t, ⃗r; t1 , ⃗r1 )δ(−t + t2 )δ(⃗r − ⃗r2 )
(1047)
∫ ∫ ∫ ∫ t′
[G(t, ⃗r; t1 , ⃗r1 )tt G(−t, ⃗r; −t2 , ⃗r2 ) − a2 G(−t, ⃗r; −t2 , ⃗r2 )∇2 G(t, ⃗r; t1 , ⃗r1 )
T
0
− G(−t, ⃗r; −t2 , ⃗r2 )tt G(t, ⃗r; t1 , ⃗r1 ) + a2 G(t, ⃗r; t1 , ⃗r1 )∇2 G(−t, ⃗r; −t2 , ⃗r2 )]dtdV
= G(−t1 , ⃗r1 ; −t2 , ⃗r2 ) − G(t2 , ⃗r2 ; t1 , ⃗r1 ), t′ > t1 , t2 > 0
(1048)
G(t, ⃗r; t1 , ⃗r1 )tt G(−t, ⃗r; −t2 , ⃗r2 ) − G(−t, ⃗r; −t2 , ⃗r2 )tt G(t, ⃗r; t1 , ⃗r1 )
d
= [G(t, ⃗r; t1 , ⃗r1 )t G(−t, ⃗r; −t2 , ⃗r2 ) − G(−t, ⃗r; −t2 , ⃗r2 )t G(t, ⃗r; t1 , ⃗r1 )] (1049)
dt
∫ t′
G(t, ⃗r; t1 , ⃗r1 )tt G(−t, ⃗r; −t2 , ⃗r2 ) − G(−t, ⃗r; −t2 , ⃗r2 )tt G(t, ⃗r; t1 , ⃗r1 )dt
0
t′
= [G(t, ⃗r; t1 , ⃗r1 )t G(−t, ⃗r; −t2 , ⃗r2 ) − G(−t, ⃗r; −t2 , ⃗r2 )t G(t, ⃗r; t1 , ⃗r1 )]|0
(1050)
根据初始条件和因果关系我们有
G(0 = t < t1 , ⃗r; t1 , ⃗r1 ) = 0, Gt (0 = t < t1 , ⃗r; t1 , ⃗r1 ) = 0
93
(1051)
G(−t′ = −t < −t2 , ⃗r; −t2 , ⃗r2 ) = 0, Gt (−t′ = −t < −t2 , ⃗r; t2 , ⃗r2 ) = 0.
(1052)
所以
∫ ∫ ∫ ∫ t′
[G(t, ⃗r; t1 , ⃗r1 )tt G(−t, ⃗r; −t2 , ⃗r2 ) − G(−t, ⃗r; −t2 , ⃗r2 )tt G(t, ⃗r; t1 , ⃗r1 )]dtdV
0
T
=0
(1053)
根据第二格林公式和格林函数满足的边界条件
∫∫∫
[G(t, ⃗r; t1 , ⃗r1 )∇2 G(−t, ⃗r; −t2 , ⃗r2 ) − G(−t, ⃗r; −t2 , ⃗r2 )∇2 G(t, ⃗r; t1 , ⃗r1 )]dV
T
∫∫
=
[G(t, ⃗r; t1 , ⃗r1 )
∂G(−t, ⃗r; −t2 , ⃗r2 )
∂G(t, ⃗r; t1 , ⃗r1 )
− G(−t, ⃗r; −t2 , ⃗r2 )
]dS
∂n
∂n
Σ
(1054)
=0
(1055)
所以(1048)变成
G(t2 , ⃗r2 ; t1 , ⃗r1 ) = G(−t1 , ⃗r1 ; −t2 , ⃗r2 )
(1056)
也就是说t1 时刻⃗r1 点源在t2 > t1 时刻⃗r2 处产生的场等于t2 时刻⃗r2 点源逆着时间演
化到t1 时刻⃗r1 处产生的场。
下面我们来讲述格林函数法求解波动方程。格林函数满足的定解问题为
G(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 )tt − a2 ∇2 G(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 ) = δ(t − t0 )δ(⃗r − ⃗r0 ),
(
)
∂G(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 )
α
+ βG(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 )
= 0,
∂n
Σ
(1057)
(1058)
G(t = 0, ⃗r; t0 , ⃗r0 ) = 0,
(1059)
Gt (t = 0, ⃗r; t0 , ⃗r0 ) = 0.
(1060)
由于格林函数的对称性和波动方程的时间反演形式不变性，上面的方程意味着
G(t0 , ⃗r0 ; t, ⃗r)tt − a2 ∇2 G(t0 , ⃗r0 ; t, ⃗r) = δ(t − t0 )δ(⃗r − ⃗r0 ),
(
)
∂G(t0 , ⃗r0 ; t, ⃗r)
α
+ βG(t0 , ⃗r0 ; t, ⃗r)
= 0,
∂n
Σ
(1061)
(1062)
G(t0 , ⃗r0 ; t = 0, ⃗r) = 0,
(1063)
Gt (t0 , ⃗r0 ; t = 0, ⃗r) = 0.
(1064)
上述方程和原始波动方程定解问题可以形式上改写为
G(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 )t0 t0 − a2 ∇20 G(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 ) = δ(t − t0 )δ(⃗r − ⃗r0 ),
(
)
∂G(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 )
α
+ βG(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 )
= 0,
∂n0
Σ
94
(1065)
(1066)
G(t, ⃗r; t0 = 0, ⃗r0 ) = 0,
(1067)
Gt0 (t, ⃗r; t0 = 0, ⃗r0 ) = 0.
(1068)
ut0 t0 − a ∇20 u = f (t0 , ⃗r0 ),
(1069)
2
(
α
∂u
+ βu
∂n0
)
= θ(t0 , M0 ),
(1070)
Σ
u(t0 = 0, ⃗r0 ) = φ(⃗r0 ),
(1071)
ut0 (t0 = 0, ⃗r0 ) = ψ(⃗r0 ).
(1072)
把(1065)和(1069)的待求函数交叉相乘以方程后相减得到
[ut0 t0 G(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 ) − uG(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 )t0 t0 ]
− a2 [G(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 )∇20 u − u∇20 G(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 )]
= G(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 )f (t0 , ⃗r0 ) − uδ(t − t0 )δ(⃗r − ⃗r0 )
∫ ∫ ∫ ∫ t+ϵ
u(t, ⃗r) =
G(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 )f (t0 , ⃗r0 )dt0 dV0
∫∫∫
0
T
∫ t+ϵ
−
[ut0 t0 G(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 ) − uG(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 )t0 t0 ]dt0 dV0
T
(1073)
(1074)
0
∫ ∫ ∫ ∫ t+ϵ
[G(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 )∇20 u − u∇20 G(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 )]dt0 dV0 .
+ a2
∫ t+ϵ
T
(1075)
0
[ut0 t0 G(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 ) − uG(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 )t0 t0 ]dt0
0
t+ϵ
= [ut0 G(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 ) − uG(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 )t0 ]|0
.
(1076)
根据格林函数的初始条件
G(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 )|t0 =t = 0, G(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 )t0 |t0 =t = 0,
∫ t+ϵ
[ut0 t0 G(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 ) − uG(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 )t0 t0 ]dt0
(1077)
0
= − [ut0 G(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 ) − uG(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 )t0 ]|t0 =0 .
又因为
(1078)
∫∫∫
[G(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 )∇20 u − u∇20 G(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 )]dV0
T
∫∫
=
[G(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 )
Σ
∂u
∂G(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 )
−u
]dS0
∂n0
∂n0
所以我们得到
∫∫∫ ∫ t
u(t, ⃗r) =
G(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 )f (t0 , ⃗r0 )dt0 dV0
T
0
95
(1079)
∫∫∫
[ψ(⃗r0 )G(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 ) − φ(⃗r0 )G(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 )t0 ]|t0 =0 dV0
+
T
∫ t ∫∫
+ a2
[G(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 )
Σ
0
∂u
∂G(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 )
−u
]dS0 dt0 .
∂n0
∂n0
(1080)
(1081)
同前面的泊松方程类似，如果把格林函数满足的边界条件不从实际求解角度
考虑取齐次，而取同原始定解问题相同的边界条件(α ̸= 0)，则上式第三项不再
出现，变成
∫∫∫ ∫ t
G(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 )f (t0 , ⃗r0 )dt0 dV0
u(t, ⃗r) =
∫∫∫
T
0
[ψ(⃗r0 )G(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 ) − φ(⃗r0 )G(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 )t0 ]|t0 =0 dV0 .
+
(1082)
T
源项和初值贡献的场线性叠加的行为就很清楚了。
6.5
波动方程的基本解和格林函数
波动方程的基本解指的是下述无穷大空间定解问题的解U (t, ⃗r)
Utt − a2 ∇2 U = 0,
(1083)
U (t = 0, ⃗r) = 0,
Ut (t = 0, ⃗r) = δ(⃗r).
(1084)
(1085)
相应的无穷大空间格林函数G(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 )满足
Gtt − a2 ∇2 G = δ(t − t0 )δ(⃗r − ⃗r0 ),
G(t = 0, ⃗r; ⃗r0 ) = 0,
(1086)
(1087)
Gt (t = 0, ⃗r; ⃗r0 ) = 0.
(1088)
根据我们之前学过的齐次化原理(杜哈曼原理)，或者说冲量定理，上述基本解
和格林函数实际上存在关系
G(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 ) = U (t − t0 , ⃗r − ⃗r0 ).
(1089)
利用达朗贝尔公式我们可以得到(1083)对应的一维波动方程基本解
∫ x+at
1
U (t, x) =
δ(ξ)dξ
2a x−at
{
∫ x+at
1, (x − at)(x + at) < 0
δ(ξ)dξ =
= H(−(x − at)(x + at))
0, (x − at)(x + at) > 0
x−at
1
H(a2 t2 − x2 )
U (t, x) =
2a
96
(1090)
(1091)
(1092)
上面我们使用了达朗贝尔公式来得到基本解。由于没有齐次边界条件，我们
没法使用分离变量法求解。但我们可以使用谱方法来求解。谱展开待求函数
∫ ∞
U (t, x) =
T (t)eikx dk
(1093)
−∞
T ′′ + k 2 a2 T = 0
T = C1 e
(1094)
−iakt
iakt
+ C2 e
∫ ∞
T (0)eikx dk = 0 → T (0) = 0
U (0, x) =
(1095)
C1 = −C2
∫ ∞
1
δ(x) =
eikx dk
2π −∞
∫ ∞
1
Ut (0, x) =
T ′ (0)eikx dk = δ(x) → T ′ (0) =
2π
−∞
1
i
iak(C1 − C2 ) =
→ C1 = −C2 = −
2π
4πak
i
sin(akt)
T =−
(eiakt − e−iakt ) =
4πak ∫
2πak
∞
1
1
1
sin(akt) ikx
U (t, x) =
e dk =
H(at − |x|) =
H(a2 t2 − x2 )
2π −∞
ak
2a
2a
(1097)
(1096)
−∞
(1098)
(1099)
(1100)
(1101)
(1102)
对应基本解(1092)，我们有格林函数
1
H(a2 (t − t0 )2 − (x − x0 )2 )
2a
G(t, x; t0 , x0 )t0 = −a(t − t0 )δ(a2 (t − t0 )2 − (x − x0 )2 )
= −a(t − t0 )[δ(−a(t − t0 ))/|2a(t − t0 )| + δ(a(t − t0 ))/|2a(t − t0 )|]
1
= [δ(−a(t − t0 )) + δ(a(t − t0 ))].
2
G(t, x; t0 , x0 ) =
(1103)
(1104)
(1105)
(1106)
于是对于一维含源波动方程我们有显式解如下
∫∫∫ ∫ t
u(t, x) =
G(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 )f (t0 , ⃗r0 )dt0 dV0
∫∫∫
T
0
[ψ(⃗r0 )G(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 ) − φ(⃗r0 )G(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 )t0 ]|t0 =0 dV0
+
(1107)
T
∫ t ∫ x+a(t−t0 )
∫ x+at
1
1
f (t0 , x0 )dx0 dt0 +
ψ(x0 )dx0
=
2a 0 x−a(t−t0 )
2a x−at
1
+ [φ(x − at) + φ(x + at)]
2
s = t − t0 ,
97
(1108)
(1109)
∫ t ∫ x+a(t−t0 )
∫ 0 ∫ x+as
f (t − s, x0 )dx0 (−ds)
f (t0 , x0 )dx0 dt0 =
0
x−a(t−t0 )
∫ t ∫ x+as
t
f (t − s, x0 )dx0 ds
=
0
(1110)
x−as
(1111)
x−as
∫ t ∫ x+as
∫ x+at
1
1
u(t, x) =
f (t − s, x0 )dx0 ds +
ψ(x0 )dx0
2a 0 x−as
2a x−at
1
+ [φ(x − at) + φ(x + at)]
2
(1112)
刚好是(55)和达朗贝尔公式(30)的结果组合。
6.6
格林函数法求解有限区间波动方程
定解问题
πx
sin(ωt),
l
ux (t, x = 0) = ux (t, x = l) = 0,
u(t = 0, x) = ut (t = 0, x) = 0
utt − a2 uxx = A cos
(1113)
(1114)
(1115)
先考虑对应的格林函数
Gtt − a2 Gxx = δ(x − x0 )δ(t − t0 ),
(1116)
Gx (t, x = 0) = Gx (t, x = l) = 0,
G(t = t0 , x) = Gt (t = t0 , x) = 0
(1117)
(1118)
利用冲量定理转化问题为
Gtt − a2 Gxx = 0,
(1119)
Gx (t, x = 0) = Gx (t, x = l) = 0,
G(t = t0 , x) = 0,
(1120)
(1121)
Gt (t = t0 , x) = δ(x − x0 )
(1122)
分离变量法求解可得
G(t, x; t0 , x0 ) =
∞
t − t0
2 ∑1
nπa(t − t0 )
nπx0
nπx
+
sin
cos
cos
l
πa n=1 n
l
l
l
(1123)
我们发现格林函数是所有正则模式cos nπx
l 的叠加，这也体现了正则模式的完备
性，对应施图姆-刘维尔定理的内容。由于格林函数的边界条件同原问题一样，
而且原问题的初始条件都为零，所以只剩下格林函数同源函数乘积积分项，计
算可得
(
)
1
πat πa
πx
Al
ω sin
−
sin(ωt) cos
.
(1124)
u=
2 a2
π
2
πa ω − l2
l
l
l
98
热传导方程的格林函数法
6.7
对于热传导方程定解问题
ut − a2 ∇2 u = f (t, ⃗r),
(
)
∂u
α
+ βu
= θ(t, M),
∂n
Σ
u(t = 0, ⃗r) = φ(⃗r).
(1125)
(1126)
(1127)
类似于前面个讲过的泊松方程的格林函数，我们这里考虑格林函数
vt − a2 ∇2 v = δ(t − t0 )δ(⃗r − ⃗r0 ),
)
(
∂v
= 0,
α
+ βv
∂n
Σ
v(t = 0, ⃗r) = 0.
(1128)
(1129)
(1130)
我们把上述格林函数记为G(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 ) = v(t, ⃗r)。类似于前述波动方程，首先我
们证明这个格林函数的对称性G(t2 , ⃗r2 ; t1 , ⃗r1 ) = G(−t1 , ⃗r1 ; −t2 , ⃗r2 )。
因为格林函数满足点源方程
G(t, ⃗r; t1 , ⃗r1 )t − a2 ∇2 G(t, ⃗r; t1 , ⃗r1 ) = δ(t − t1 )δ(⃗r − ⃗r1 ),
(1131)
G(t, ⃗r; t2 , ⃗r2 )t − a ∇ G(t, ⃗r; t2 , ⃗r2 ) = δ(t − t2 )δ(⃗r − ⃗r2 ).
(1132)
2
2
∂
∂
= − ∂t
，我
把上面第二个方程的时间反向，即t → −t, t2 → −t2 ，注意到 ∂(−t)
们有
− G(−t, ⃗r; −t2 , ⃗r2 )t − a2 ∇2 G(−t, ⃗r; −t2 , ⃗r2 ) = δ(−t + t2 )δ(⃗r − ⃗r2 )
(1133)
这个方程形式同原来的热传导方程不同，实际上反应了热传导方程不具有时间
反演不变性。把(1131)和(1133)的待求函数交叉相乘以方程后相减得到
G(t, ⃗r; t1 , ⃗r1 )t G(−t, ⃗r; −t2 , ⃗r2 ) − a2 G(−t, ⃗r; −t2 , ⃗r2 )∇2 G(t, ⃗r; t1 , ⃗r1 )
+ G(−t, ⃗r; −t2 , ⃗r2 )t G(t, ⃗r; t1 , ⃗r1 ) + a2 G(t, ⃗r; t1 , ⃗r1 )∇2 G(−t, ⃗r; −t2 , ⃗r2 )
= G(−t, ⃗r; −t2 , ⃗r2 )δ(t − t1 )δ(⃗r − ⃗r1 ) − G(t, ⃗r; t1 , ⃗r1 )δ(−t + t2 )δ(⃗r − ⃗r2 )
(1134)
∫ ∫ ∫ ∫ t′
[G(t, ⃗r; t1 , ⃗r1 )t G(−t, ⃗r; −t2 , ⃗r2 ) − a2 G(−t, ⃗r; −t2 , ⃗r2 )∇2 G(t, ⃗r; t1 , ⃗r1 )
T
0
+ G(−t, ⃗r; −t2 , ⃗r2 )t G(t, ⃗r; t1 , ⃗r1 ) + a2 G(t, ⃗r; t1 , ⃗r1 )∇2 G(−t, ⃗r; −t2 , ⃗r2 )]dtdV
= G(−t1 , ⃗r1 ; −t2 , ⃗r2 ) − G(t2 , ⃗r2 ; t1 , ⃗r1 ), t′ > t1 , t2 > 0
G(t, ⃗r; t1 , ⃗r1 )t G(−t, ⃗r; −t2 , ⃗r2 ) + G(−t, ⃗r; −t2 , ⃗r2 )t G(t, ⃗r; t1 , ⃗r1 )
d
= [G(t, ⃗r; t1 , ⃗r1 )G(−t, ⃗r; −t2 , ⃗r2 )]
dt
∫ t′
G(t, ⃗r; t1 , ⃗r1 )t G(−t, ⃗r; −t2 , ⃗r2 ) + G(−t, ⃗r; −t2 , ⃗r2 )t G(t, ⃗r; t1 , ⃗r1 )dt
0
99
(1135)
(1136)
t′
= [G(t, ⃗r; t1 , ⃗r1 )G(−t, ⃗r; −t2 , ⃗r2 )]|0
(1137)
根据初始条件和因果关系我们有
G(0 = t < t1 , ⃗r; t1 , ⃗r1 ) = 0
G(−t′ = −t < −t2 , ⃗r; −t2 , ⃗r2 ) = 0.
(1138)
(1139)
所以
∫ ∫ ∫ ∫ t′
[G(t, ⃗r; t1 , ⃗r1 )t G(−t, ⃗r; −t2 , ⃗r2 ) + G(−t, ⃗r; −t2 , ⃗r2 )t G(t, ⃗r; t1 , ⃗r1 )]dtdV
0
T
=0
(1140)
根据第二格林公式和格林函数满足的边界条件
∫∫∫
[G(t, ⃗r; t1 , ⃗r1 )∇2 G(−t, ⃗r; −t2 , ⃗r2 ) − G(−t, ⃗r; −t2 , ⃗r2 )∇2 G(t, ⃗r; t1 , ⃗r1 )]dV
T
∫∫
=
[G(t, ⃗r; t1 , ⃗r1 )
∂G(−t, ⃗r; −t2 , ⃗r2 )
∂G(t, ⃗r; t1 , ⃗r1 )
− G(−t, ⃗r; −t2 , ⃗r2 )
]dS
∂n
∂n
Σ
(1141)
=0
(1142)
所以(1135)变成
G(t2 , ⃗r2 ; t1 , ⃗r1 ) = G(−t1 , ⃗r1 ; −t2 , ⃗r2 )
(1143)
也就是说t1 时刻⃗r1 点源在t2 > t1 时刻⃗r2 处产生的场等于t2 时刻⃗r2 点源逆着时间演
化到t1 时刻⃗r1 处产生的场。这同波动方程的结论是一样的。
下面我们来讲述格林函数法求解热传导方程。格林函数满足的定解问题为
G(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 )t − a2 ∇2 G(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 ) = δ(t − t0 )δ(⃗r − ⃗r0 ),
(
)
∂G(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 )
α
+ βG(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 )
= 0,
∂n
Σ
G(t = 0, ⃗r; t0 , ⃗r0 ) = 0.
(1144)
(1145)
(1146)
由于格林函数的对称性和热传导方程的时间反演变化形式，上面的方程意味着
− G(t0 , ⃗r0 ; t, ⃗r)t − a2 ∇2 G(t0 , ⃗r0 ; t, ⃗r) = δ(t − t0 )δ(⃗r − ⃗r0 ),
(
)
∂G(t0 , ⃗r0 ; t, ⃗r)
α
+ βG(t0 , ⃗r0 ; t, ⃗r)
= 0,
∂n
Σ
(1147)
G(t0 , ⃗r0 ; t = 0, ⃗r) = 0.
(1149)
(1148)
上述方程和原始热传导方程定解问题可以形式上改写为
− G(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 )t0 − a2 ∇20 G(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 ) = δ(t − t0 )δ(⃗r − ⃗r0 ),
100
(1150)
(
α
)
∂G(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 )
+ βG(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 )
= 0,
∂n0
Σ
(1151)
G(t, ⃗r; t0 = 0, ⃗r0 ) = 0.
(1152)
ut0 − a ∇20 u = f (t0 , ⃗r0 ),
(1153)
2
(
α
∂u
+ βu
∂n0
)
= θ(t0 , M0 ),
(1154)
Σ
u(t0 = 0, ⃗r0 ) = φ(⃗r0 ).
(1155)
把(1153)和(1150)的待求函数交叉相乘以方程后相减得到
[ut0 G(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 ) + uG(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 )t0 ]
− a2 [G(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 )∇20 u − u∇20 G(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 )]
= G(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 )f (t0 , ⃗r0 ) − uδ(t − t0 )δ(⃗r − ⃗r0 )
∫ ∫ ∫ ∫ t+ϵ
u(t, ⃗r) =
G(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 )f (t0 , ⃗r0 )dt0 dV0
(1156)
0
T
∫ ∫ ∫ ∫ t+ϵ
−
[ut0 G(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 ) + uG(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 )t0 ]dt0 dV0
T
∫ ∫ ∫ ∫ t+ϵ
[G(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 )∇20 u − u∇20 G(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 )]dt0 dV0 .
+ a2
∫ t+ϵ
0
(1157)
0
(1158)
0
T
t+ϵ
[ut0 G(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 ) + uG(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 )t0 ]dt0 = [uG(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 )]|0
.
(1159)
根据格林函数的初始条件
G(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 )|t0 =t = 0,
(1160)
∫ t+ϵ
[ut0 G(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 ) + uG(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 )t0 ]dt0 = − [uG(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 )]|t0 =0 . (1161)
0
又因为
∫∫∫
[G(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 )∇20 u − u∇20 G(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 )]dV0
T
∫∫
=
[G(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 )
Σ
∂u
∂G(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 )
−u
]dS0
∂n0
∂n0
(1162)
所以我们得到
∫∫∫ ∫ t
u(t, ⃗r) =
∫∫∫
+
G(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 )f (t0 , ⃗r0 )dt0 dV0
T
0
[φ(⃗r0 )G(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 )]|t0 =0 dV0
T
101
(1163)
∫ t ∫∫
2
+a
[G(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 )
0
Σ
∂u
∂G(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 )
−u
]dS0 dt0 .
∂n0
∂n0
(1164)
同前面的泊松方程和波动方程类似，如果把格林函数满足的边界条件不从实
际求解角度考虑取齐次，而取同原始定解问题相同的边界条件，则上式第三项
不再出现，变成
∫∫∫ ∫ t
G(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 )f (t0 , ⃗r0 )dt0 dV0
u(t, ⃗r) =
T
∫∫∫
+
0
[φ(⃗r0 )G(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 )]|t0 =0 dV0 .
(1165)
T
也表现为源项和初值贡献的场线性叠加的结果。
6.8
热传导方程的基本解和格林函数
热传导方程的基本解指的是下述无穷大空间定解问题的解U (t, ⃗r)
Ut − a2 ∇2 U = 0,
(1166)
U (t = 0, ⃗r) = δ(⃗r).
(1167)
相应的无穷大空间格林函数G(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 )满足
Gt − a2 ∇2 G = δ(t − t0 )δ(⃗r − ⃗r0 ),
G(t = 0, ⃗r; t0 , ⃗r0 ) = 0.
(1168)
(1169)
根据我们之前学过的齐次化原理(杜哈曼原理)，或者说冲量定理，上述基本解
和格林函数实际上存在关系
G(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 ) = U (t − t0 , ⃗r − ⃗r0 ).
(1170)
对于一维热传导方程(1166)的基本解，由于没有齐次边界条件，我们没法使
用分离变量法求解，也没有类似达朗贝尔公式之类的显式解可用。但我们可以
使用谱方法来求解。谱展开待求函数
∫ ∞
U (t, x) =
T (t)eikx dk
(1171)
−∞
T ′ + k 2 a2 T = 0
(1172)
T = Ce−a k t
∫ ∞
1
U (0, x) =
T (0)eikx dk = δ(x) → T (0) = C =
2π
−∞
√
∫ ∞
π − x22
−a2 k2 ikx
e
e dk =
e 4a
a
−∞
∫ ∞
x2
2 2
1
1
U (t, x) =
e−a k t eikx dk = √ e− 4a2 t
2π −∞
2a πt
(1173)
2 2
102
(1174)
(1175)
(1176)
对应地，我们有格林函数
2
G(t, x; t0 , x0 ) =
(x−x0 )
1
−
√
e 4a2 (t−t0 ) .
2a π(t − t0 )
(1177)
于是对于一维含源热传导方程我们有显式解如下
∫∫∫ ∫ t
u(t, x) =
G(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 )f (t0 , ⃗r0 )dt0 dV0
T
∫∫∫
+
0
[φ(⃗r0 )G(t, ⃗r; t0 , ⃗r0 )]|t0 =0 dV0
(1178)
T
∫ t∫ ∞
2
(x−x0 )
1
−
√
e 4a2 (t−t0 ) f (t0 , x0 )dx0 dt0
0
−∞ 2a π(t − t0 )
∫ ∞
(x−x0 )2
1
√ e− 4a2 t φ(x0 )dx0 .
+
−∞ 2a πt
=
6.9
(1179)
推广的格林公式和格林函数
格林函数求解定解问题的关键是把待求函数u表达成格林函数G与源函数和初边
值条件乘积积分的形式。其间的关键是利用格林公式把体积分转化为面积分，
利用点源的奇异性挑出点源位置处的未知函数来。中间的问题实质是寻求方程
对应算子L的伴随算子M ，然后把GLu − uM G表达成一个函数散度的形式。
103
积分变换法
7
积分变换包括傅里叶变换和拉普拉斯变换。其中傅里叶变换实际上是我们之前
讲过的谱方法往无穷大空间的推广，离散谱变成“连续谱”。
7.1
傅里叶变换
步骤包括典型的两步，第一步是把方程和初值做关于空间的傅里叶变换，然后
得到关于时间的方程并进行求解；第二步是把得到的解进行关于空间的逆傅里
叶变换得到最终的解。
例一：定解问题
utt − a2 uxx = 0, −∞ < x < ∞
u(t = 0, x) = φ(x), ut (t = 0, x) = ψ(x)
(1180)
(1181)
对方程(1180)相对于x进行傅里叶变换得到
U ′′ + k 2 a2 U = 0
U (0) = Φ(k), U ′ (0) = Ψ(k)
(1182)
(1183)
U = A(k)eikat + B(k)e−ikat
(1184)
1
1 1
A(k) = Φ(k) +
Ψ(k)
(1185)
2
2a ik
1 1
1
Ψ(k)
(1186)
B(k) = Φ(k) −
2
2a ik
1
1 1
1
1 1
U (t, k) = Φ(k)eikat +
Ψ(k)eikat + Φ(k)e−ikat −
Ψ(k)e−ikat
2
2a ik
2
2a ik
(1187)
±ikat
现在再进行傅里叶逆变换。上式第一和第三项的e
对应平移±at。上式第二
∫x
1
和第四项中的 ik 对应积分 −∞ ψ(ξ)dξ的傅里叶变换，e±ikat 也对应平移±at。所
以
∫ x+at
∫ x−at
1
1
1
1
u(t, x) = φ(x + at) +
ψ(ξ)dξ + φ(x − at) −
ψ(ξ)dξ
2
2a −∞
2
2a −∞
(1188)
∫ x+at
1
1
= [φ(x + at) + φ(x − at)] +
ψ(ξ)dξ
(1189)
2
2a x−at
我们得到了达朗贝尔公式的结果。
例二：定解问题
ut − a2 uxx = f (t, x), −∞ < x < ∞
u(t = 0, x) = φ(x)
(1190)
(1191)
对方程(1190)相对于x进行傅里叶变换得到
U ′ + k 2 a2 U = F (t, k)
104
(1192)
U (0) = Φ(k)
(1193)
先求齐次方程的特解，再用常数变异法求得通解
∫ t
2 2
−k2 a2 t
U (t, k) = Φ(k)e
+
F (τ, k)e−k a τ dτ
(1194)
0
现在再进行傅里叶逆变换。
∫ ∞
∫ ∞∫ t
2 2
2 2
u(t, x) =
Φ(k)e−k a t eikx dk +
F (τ, k)e−k a τ dτ eikx dk
(1195)
−∞
−∞ 0
∫ ∞
∫ ∞
2 2
1
=
φ(ξ)e−ikξ dξe−k a t eikx dk
2π
−∞
−∞
∫ ∞
∫ ∞∫ t
2 2
1
+
f (τ, ξ)e−ikξ dξe−k a τ dτ eikx dk
(1196)
2π
−∞
−∞ 0
∫ t∫ ∞
∫ ∞
(x−ξ)2
(x−ξ)2
1
1
−
√
√ e− 4a2 t φ(ξ)dξ.
=
e 4a2 (t−τ ) f (τ, ξ)dξdτ +
0
−∞ 2a π(t − τ )
−∞ 2a πt
(1197)
与前面格林函数法求得结果一致。
7.2
拉普拉斯变换
上述傅里叶变换方法对空间无穷时适用。如果空间存在边界，特别是非齐次边
界条件，那样的“谱”方法就不再适用。这时可以使用拉普拉斯变换方法，其
变换相对于时间进行。无论是波动方程还是热传导方程，拉普拉斯变换导致非
齐次亥姆霍兹方程，利用之前讲过的特解法搭配分离变量法都可以求解。该方
法的困难之处在于拉普拉斯逆变换。
例：定解问题
utt − a2 uxx − b2 u = 0
(1198)
u(t = 0, x) = φ(x), ut (t = 0, x) = ψ(x)
(1199)
配以初始条件(1199)拉普拉斯变换方程(1198)得到
p2 U − pφ − ψ − a2 Uxx − b2 U = 0
(1200)
先求齐次方程的特解，再用常数变异法求得通解
∫ x −ξ√p2 −b2 /a
√ 2 2
1
e
√
[ψ(ξ) + pφ(ξ)]dξ}
U (p, x) = ex p −b /a {A −
2a x1
p2 − b2
∫ x ξ√p2 −b2 /a
√
e
1
−x p2 −b2 /a
√
+e
[ψ(ξ) + pφ(ξ)]dξ}
(1201)
{B +
2a x2
p2 − b2
105
常数A和x1 相互约束，常数B和x2 相互约束。代入边界条件U (t, ±∞)有限，我
们得到
√
√ 2 2 1 ∫ ∞ e−ξ p2 −b2 /a
√
[ψ(ξ) + pφ(ξ)]dξ
U (p, x) = ex p −b /a
2a x
p2 − b2
∫ x ξ√p2 −b2 /a
√
e
−x p2 −b2 /a 1
√
+e
[ψ(ξ) + pφ(ξ)]dξ
(1202)
2a −∞
p2 − b2
现在再进行拉普拉斯逆变换。
∫ x+at
1
b√ 2 2
u(t, x) =
I0 (
a t − (x − ξ)2 )ψ(ξ)dξ
2a x−at
a
1
+ [φ(x + at) + φ(x − at)]
2
∫
bt x+at
1
b√ 2 2
√
+
I0′ (
a t − (x − ξ)2 )φ(ξ)dξ
2
2
2
2 x−at
a
a t − (x − ξ)
(1203)
注意到
I0′ (x) = −I1 (x)
I0 (0) = 0
当b = 0上面的解回到达朗贝尔公式。
106
(1204)
(1205)
8
保角变换法
8.1
保角变换的基本性质
对于二维拉普拉斯算子，在直角坐标下我们知道
∇2 u =
∂2u ∂2u
+ 2
∂x2
∂y
(1206)
引入坐标变换
ξ = ξ(x, y), η = η(x, y)
(1207)
拉普拉斯算子变为
∇2 u = (ξx2 + ξy2 )uξξ + 2(ξx ηx + ξy ηy )uξη + (ηx2 + ηy2 )uηη
+ (ξxx + ξyy )uξ + (ηxx + ηyy )uη
(1208)
利用复数形式来表达上述坐标变换
z ≡ x + iy, ζ ≡ ξ + iη
(1209)
ζ = ζ(z)
(1210)
如果ζ(z)是解析函数，则
ξx η x + ξy η y = 0
ξxx + ξyy = ηxx + ηyy = 0
(1211)
(1212)
ξx2 + ξy2 = ηx2 + ηy2 = |ζ ′ (z)|2
(1213)
∇2 u = |ζ ′ (z)|2 (uξξ + uηη ).
(1214)
也就是说
仔细的分析会发现，在解析函数对应的变换下，两条相交曲线所成角度以前
后两个坐标系的眼光来看，形式上把两个坐标系都当直角坐标，是相等的。所
以人们把这样的坐标变换叫做保角变换。如果ζ(z) = ζ̃(z̄)，其中ζ̃是解析函数，
也会给出保角变换的性质来，但会把右手坐标系变成左手坐标系。这样的坐标
变换被人们称为第二类保角变换。
实际上，拉普拉斯算子可以用几何度规的形式来表达
(
)
√
1 ∂
∂u
(1215)
∇2 u = √
|g|g ij
∂xj
|g| ∂xi
对于二维空间，如果一个坐标变换是一个共形变换
′
gij
= Ω2 gij
(1216)
′
g ij = Ω−2 g ij
(1217)
107
g ′ = Ω4 g
(1218)
(
)
√
1 ∂
2
ij ∂u
∇ u= √
|g|g
∂xj
|g| ∂xi
(
)
√
′
1
∂
ij ∂u
′
=√
|g |g
∂x′j
|g ′ | ∂x′i
(
)
√
1
∂
ij ∂u
√
=
|g|g
∂x′j
Ω2 |g| ∂x′i
(1219)
(1220)
(1221)
形式上两个坐标系写出来的拉普拉斯算子只差到一个总的Ω2 共形因子。对应坐
标变换(1207)，我们有度规形式
g ij = δ ij
(

g ′ij = 
∂ξ
∂x
)2
(
+
∂ξ
∂y

)2
∂ξ ∂η
∂ξ ∂η
∂x ∂x + ∂y ∂y
(
∂ξ ∂η
∂ξ ∂η
∂x ∂x + ∂y ∂y 
)2 ( )2 
∂η
+ ∂η
∂x
∂y
(1222)
(1223)
再根据条件(1211)和(1213)，我们有
g ′ij = |ζ ′ |2 δ ij .
(1224)
由此可见，保角变换实际上就是共形变换。而共形变换只变长短不变夹角的
性质就很明显了。
8.2
常用的保角变换
8.2.1
分式线性变换
ζ=
az + b
, ad − bc ̸= 0
cz + d
(1225)
其中a, b, c, d为四个复常数。把复平面上任意的一个圆变成一个圆，圆上对称的
点变换后还对称。这个变换又叫单应变换(homographic transformation)或者默
比乌斯变换。
特别地，如果c = 0, d = 1，我们得到线性函数，对应平移b，旋转Arg(a)并
放大|a|倍。
如果a = d = 0, c = 1, b = R2 , R ∈ ℜ，我们得到圆反演变换
ζ=
R2
,R ∈ ℜ
z
把圆|z| = R的外部变到内部，内部变到外部。
108
(1226)
8.2.2
幂函数
ζ = zα
(1227)
把复平面变成张角为2π的α倍的三角区域。
8.2.3
指数函数
ζ = ez
(1228)
ζ = ln z
(1229)
把直角坐标变成极坐标。
8.2.4
对数函数
把极坐标变成直角坐标。
8.2.5
茹科夫斯基(Rokovsky)函
函数
ζ=
1
2
(
)
1
z+
.
z
(1230)
茹科夫斯基变换把心在原点的同心圆变成共焦点椭圆，从原点出发的共点射线
变成共焦点双曲线。茹科夫斯基变换还把心不在原点的圆变成机翼的剖面。
8.2.6
施瓦茨(Schwarz)-克
克里斯托弗(Christoffel)变
变换
∫
z = z0 + A
(ζ − b1 )−θ1 /π (ζ − b2 )−θ2 /π ...(ζ − bn )−θn /π dζ
b i , θi ∈ ℜ
(1231)
(1232)
把上半平面变成多边形。
8.3
保角变换法求解二维拉普拉斯方程
根据保角变换的性质我们知道，保角变换后的坐标系下拉普拉斯方程形式上仍
然是
∂2u ∂2u
+ 2 =0
∂ξ 2
∂η
109
(1233)
所以对于复杂边界情形的拉普拉斯方程定解问题，我们可以通过适当的
保角坐标变换把边界变成新坐标的坐标边界，在形式上得到矩形区域上
的拉普拉斯方程定解问题。把得到的解反坐标变换回原来的坐标就完成求
解u(ξ(x, y), η(x, y))。
例一： π3 角域上的拉普拉斯方程，边界上u = V0 。
引入保角变换
ζ = z3
(1234)
u = V0 + Cη
(1235)
把 π3 角域变成上半平面，然后得到解
由于不知道渐近边界条件，C定不下来。物理上对应上半平面边界η = 0处的电
荷密度不确定，所以C定不下来。反坐标变换得到解
u = V0 + Cℑ(ζ) = V0 + Cℑ(z 3 ) = V0 + C(3x2 y − y 3 )
这个问题的边界不算复杂，也可以使用极坐标系来进行求解
(
)
1 ∂
∂u
1 ∂2u
π
ρ
+ 2 2 = 0, 0 < ϕ <
ρ ∂ρ
∂ρ
ρ ∂ϕ
3
π
u(ρ, ϕ = 0) = u(ρ, ϕ = ) = V0
3
(1236)
(1237)
(1238)
特解法先处理非齐次边界条件
u = V0 + v
(
)
1 ∂
∂v
1 ∂2v
π
ρ
+ 2 2 = 0, 0 < ϕ <
ρ ∂ρ
∂ρ
ρ ∂ϕ
3
π
v(ρ, ϕ = 0) = v(ρ, ϕ = ) = 0
3
(1239)
(1240)
(1241)
分离变量得到
v = R(ρ)Φ(ϕ)
(1242)
′′
Φ + λΦ = 0
′′
(1243)
′
ρ R + ρR − λR = 0
2
(1244)
ϕ方向齐次边界条件解出
√
Φ = sin( λϕ)
(1245)
2
λ = m , m = 3k, k = 1, 2, ....
(1246)
接下来ρ方向得到欧拉型常微分方程，得到通解
R = Aρm +
110
B
ρm
(1247)
考虑到ρ = 0时的自然边界条件B = 0。所以得到通解
v=
∞
∑
Ak ρ3k sin(3kϕ)
(1248)
k=1
但无穷远处的渐近边界条件无法确定，所以Ak 系数无法进一步确定。不像上述
保角变换法可以得到自然的无穷远边界条件。
例二：二维半平面底部挖掉高度为h厚度忽略不计的区域，渐近边界条件
为u → Cx。
跟上一个例子一样，该问题中的边界条件数学表述不清楚，通过保角变换
z1 = z 2
(1249)
2
z2 = z1 + h
√
ζ = z2
(1250)
(1251)
把上半平面还变成上半平面，同时把高度为h的薄片藏到了半平面边界ℜ(ζ) =
0中。现在只剩下渐近边界条件为u → Cξ，所以解为
u = Cξ
(1252)
接下来反坐标变换回x, y就得到解。
例三：定解问题
Q
∂2u ∂2u
+ 2 =−
δ(x)δ(y − a), −∞ < x < ∞, 0 < y < ∞
2
∂x
∂y
2πϵ0
u(x, y = 0) = 0
(1253)
(1254)
保角变换
ζ=
z − ia
z + ia
(1255)
把上半平面变成圆盘，(0, a)对应到了圆心。很容易得到解
u=−
Q
Q
x2 + (y − a)2
ln |ζ| = −
ln 2
.
2πϵ0
4πϵ0 x + (y + a)2
(1256)
例四：二维平面挖掉两个半径分别为R1,2 圆心相距L > R1 + R2 的圆盘，一
个圆周u = 0一个圆周u = V0 。
保角变换
ζ=
z − x1
z − x2
(1257)
√
1
[(L2 + R12 − R22 ) − (L2 + R12 − R22 )2 − 4R12 L2
2L
√
1
[(L2 + R12 − R22 ) + (L2 + R12 − R22 )2 − 4R12 L2
x2 =
2L
x1 =
111
(1258)
(1259)
把所求区域变成两个同心圆中间的环状区域。很容易得到解
u = C ln |ζ|.
(1260)
例五：两个半径分别为R1,2 圆心相距L + R1 < R2 的圆圈中间的区域。
保角变换
z − x1
z − x2
√
1
x1 =
[(L2 + R12 − R22 ) − (L2 + R12 − R22 )2 − 4R12 L2
2L
√
1
x2 =
[(L2 + R12 − R22 ) + (L2 + R12 − R22 )2 − 4R12 L2
2L
ζ=
(1261)
(1262)
(1263)
把所求区域变成两个同心圆中间的环状区域。很容易得到解
u = C ln |ζ|.
例六：上半平面挖掉原点为心，半径为1的半圆。
茹科夫斯基变换
(
)
1
1
ζ=
z+
.
2
z
(1264)
(1265)
把上述区域变成上半平面。
例七：二维空间挖掉长短半轴分别为a, b的椭圆，渐近地u → v0 x，椭圆上
法向导数为0。
茹科夫斯基变换
√
(
)
a2 − b2
1
ζ=
z+
.
(1266)
2
z
把挖掉椭圆变成挖掉圆。接下来利用极坐标分离变量法即可求解。
例八：二维平面挖掉两条射线(−∞ < x < 0, ± d2 )。射线上u分别为±v0 两个
固定值。
保角变换
d
d 2 d
z = −i −
z + ln z1
2 2π 1 π
(1267)
把两条射线连起来变成上半平面的x轴，原来的区域变成上半平面。但这时的
边界条件不连续，不好求解。
进一步保角变换
ζ = 2 ln z1
(1268)
把上半平面变成(−∞ < x < ∞, 0)(对应原来的x正半轴)和(−∞ < x < ∞, 2π)(对
应原来的x负半轴)中间的区域。此时很容求得
u = −v0 +
112
v0
ℑ(ζ)
π
(1269)
9
非线性数学物理方程
非线性数学物理方程粗略地分为两类，一类被称为可积系统，另一类被称
为 混 沌 系 统 。 可 积 系 统 具 有 可 积 结 构 ， 包 括Hamilton(哈 密 顿)守 恒 、 孤 立
子、Lax(拉克斯)对等。这些可积结构使得相应方程可以用特别的方法来处理，
包括反散射方法、贝克隆(Backlund)变换方法、达布(Darboux)变换方法等。混
沌系统则体现出一种随机性，通常被人们称之为系统对初边值的敏感依赖性。
这种随机性表现为广域功率谱分布、分形和正的李雅普诺夫(Lyapunov)指数。
9.1
KdV方
方程 和 反 散 射 方 法
非线性数学物理方程
ut + αuux + uxxx = 0
(1270)
被称为KdV[Korteweg(科特韦格)-de Vries(德弗里斯)]方程，对应文献中常说的
浅水波方程。把上述方程的解u(t, x)代入定态薛定谔方程
−ψ ′′ + u(t, x)ψ = Eψ
(1271)
把t当作参数，我们可以得到一系列离散本征值(En < 0)和连续本征值(E >
0)。离散本征值对应束缚态，连续本征值对应散射态。束缚态和散射态的渐近
行为被称为薛定谔方程的散射数据
√
kn ≡ −En
(1272)
ψn (x → ∞) → Cn (kn )e−kn x
(1273)
ψn (x → −∞) → Cn (kn )e
∫ ∞
|ψn |2 dx = 1
(1274)
kn x
(1275)
−∞
ψ(x → ∞) → e−ikx + R(k)eikx
ψ(x → −∞) → T (k)e
−ikx
|R(k)| + |T (k)| = 1
2
2
(1276)
(1277)
(1278)
散射数据关于时间的依赖关系是
dkn
=0
dt
3
Cn (kn , t) = Cn (kn , 0)e−4kn t
R(k, t) = R(k, 0)e
T (k, t) = T (k, 0)
8ik3 t
(1279)
(1280)
(1281)
(1282)
也就是说，只要初始时刻的散射数据能求到，以后时刻的散射数据就可以很
容易得到。反过来，只要我们能够从散射数据反推出势函数u(t, x)则相当于求
到了KdV方程的解。
113
从散射数据反推势函数u(t, x)的问题叫做反散射问题，原则上可以通过GLM
[Gel’fand(盖尔方德)-Levitan(列维坦)-Marchenko(马尔琴科)]方法来完成
u(t, x) = −2
d
K(x, x, t)
dx
∫
(1283)
∞
K(x, y, t) + B(x + y, t) +
B(y + z, t)K(x, z, t)dz = 0, y > x
x
B(x + y, t) =
N
∑
Cn2 (kn , t)e−kn (x+y) +
n=1
1
2π
∫ ∞
R(k, t)eik(x+y) dk.
(1284)
(1285)
−∞
例：用反散射方法求解
ut − 6uux + uxxx = 0
(1286)
2
u(t = 0, x) = −2 sech x
(1287)
2, R(k, 0) = 0
(1288)
即这是一个无反射势问题。进而得到整个散射数据
√
k1 = 1, C1 (k1 , t) = 2e4t , R(k, 0) = 0
(1289)
由初始势函数可以计算得出初始散射数据
k1 = 1, C1 (k1 , 0) =
√
根据GLM方法
B(x + y, t) = C12 (k1 , t)e−k1 (x+y) = 2e8t−(x+y)
K(x, y, t) = −
(1290)
x−y
2e
1 + e2x−8t
(1291)
所以
u(t, x) = −2 sech2 (x − 4t).
9.2
(1292)
混沌和李雅普诺夫指数
不可积非线性系统表现的特征往往是混沌，即对初边值敏感依赖的随机性。
敏感就体现为e指数的函数形式。具体地，初值给出来的小偏差随着时间演化
被e指数地放大
∆ = ∆0 eλt
(1293)
从形式上来说，如果λ < 0则偏差不是放大而是缩小，所以对应原始运动状态的
稳定性；如果λ > 0则是对应偏差被e指数，对应初值敏感依赖形行为，也对应
原始运动状态的不稳定性。所以正的李雅普诺夫指数是混沌行为最为有力的表
征。
114